1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 78
Текст из файла (страница 78)
от выбора лараметра й Действительно, если ввести новый параметр Т=Т(Г), где у(Т) — непрерывно дифференцируемая функция, причем о'(1))0 в промежутке интегрирования а~« =.р, то этот последний интервал преобразуется взаимно однозначно на интервал а, ( т ~ р, и а м 6~ "."2 = й Г(х, у, «)-„— а«= ~ Г(х, у, «) — — „йт= ~ Г"(х,у, «) — — б«. 2. Векторная запись криволинейного интеграла, В приложениях криволинейные интегралы обычно возникают в следующей стандартной комбинации: ~ сг (х, у, «) бх+ ~ с«(х, Р, «) йу + ~ с«(х, у, «) й«, с с где с1(х, у, «), г«(х, у, «), Р«(х, у, «) — три функции точки, непрерывные в некоторой области, содержащей дугу С. Эту комбинацию можно привести к следующему виду: а ~ У«бх+ ЮЬ+ Р«б«) = ~ К,.' + Р«У + (««а) бТ, с « $1.
НРиВОлинейные интегРалы НХ где, как обычно, й=„—, н т. д. Обозначим через г переменный радиус-вектор (вектор положения) точки области, г = (х, у, г). Функции рь рь рв можно рассматривать как прямоугольные координаты вектора вч(х, у, г), точнее, вектор-функции точки р=р(г)=1рь рв рв). Величины х, р, г являются координатами вектора г= — (пронаводвгг ной от радиус-вектора переменной точки дуги), н подынтегральное выражение можно записать как скалярное произведение раг=вчгйв. Таким образом, комбинированный криволинейный ин~еграл приводятся к следующему виду: в ~(р!йх+ райк+рве(г) ~~ в(г с с в Такой интеграл мы будем называть криволинейным интегралом переменного вектора Р вдоль дуги С.
(С этой точки зрения, если криволинейный интеграл содержит лишь один член: )у(х,у, г)ах, ')г"(х,у, г)йу нли )г(х,у, г)ал, с с с то это означает, что подлежащая интегрированию вектор-функция имеет постоянное направление, параллельное одной вз осей координат.1 Криволинейные интегралы на плоскости ~ у(х, у) йх, ~ у(х, у) йу, 1 (Гв (х, у) йх+ рв(х, у) йу) с с с можно ввести как частный случай криволинейных интегралов в пространстве. Далее, понятие криволинейного интеграла можно распространить и на функции от и переменных. В этом общем случае мы предполагаем, что заданы и непрерывных функций параметра Й хв=хв(с), ха=ха(6 ", х.=х.(с) имеющих кусочно непрерывные производные в интервале и~ С» 3. Этн и уравнений определяют криволинейную дугу в л-мерном пространствц 'Ввриволинейный инлвеграл мы определяем пвогда выраанением У'(хь хь ..., х„) йхв —— г (хв(1), хв(в), ..., х„(С)) — 'йа (=1,й, „НЛ Так, в и-мерном пространстве проще всего определять криволинейный Интеграл сразу как некоторый обычный определенный интеграл.
372 Гл. ч. кРиВОлинейные интеГРАлы. интеГРАлы по пОВВРхнОсти 1а И здесь можно рассматривзть и функций Рь Рь ..., Р„от и переменных хь хь ..., х„и составить криволинейный интеграл общего вида (в координатной и в векторной записи): в ~ (РГГ(х!+Рзг(хз+... +Р„Г(х„)=! РГ(х=т Рхаг, с с е где радиус-вектор (вектор положения) теперь удобно обозначить полужирной буквой х„х=(хь х„..., хв), а Р=(РР Р„..., Р„) есть вектор-функция точки.
С примером криволинейного интеграла (иа плоскости) мы уже фактически встречались при вычислении площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой С (т. 1, гл. Ч, стр. 3!7). Если замкнутая кусочно гладкая кривая С плоскости ху, сама себя яе пересекающая, задана параметрическими уравнениями х=х(Г), у=у(Г), то площадь Ю, ею ограниченная, выражаетея так: 1 8 = — т уУ пг = хя аг = — т (хе — ух) и, 2 В нашей нынешней терминологии ато просто криволинейные интегралы 1 Г 3 = — у ах = х ау = — ( — у ах+ х Пу), 2 ~) взятые вдоль замкнутой кривой С в направлении возрастания параметра г.
Нолечком, надетым на символ интеграла, отмечено, что интеграл берется вдоль замкнутой кривой, а стрелкой указано направление ее обхода. 3. Основные свойства. Нетрудно вывести некоторые свойства криволинейного интеграла, пользуясь его пырзжением через определенный интеграл. 1) Значение криволинейного интеграла зависит от направления, в котором описывается кривая С, и умножается на — 1, если зта же кривая пробегаетгя в противоположном направлении, т. е.
от Р к Р, вместо прежнего направления от Ре к Р. Доказательство этого свойства очевидно. В силу этого свойства целесообразно всегда считать, что символ С обозначает кривую,снзбженную определенным направлением или, как принято говорить, ориентированную кривую (ср. т. 1, гл. Ч, $ 2, стр. 311 †3). Если определенная ориентированная кривая обозначена через С, то эту же кривую, но описываемую в противоположном направлении, мы будем обозначать символом — С.
2) Если путь интегрирования С образован путем соединения двух дуг Са и Сь пробегаемых последовательно одна за другой (это записывается символически: С=С! + Са), то соответствующие криволинейные интегралы связаны соотношением $ ь кРиволинейные интегРАлы 3) Особенно важна следующая теорема разбиения, относящаяся к интегралу по замкнутой кривой. Возьмем сначала случай двух переменных х и у и рассмотрим криволинейный интеграл (Р, бх+ Р«г(у), взятый по ориентированной замкнутой кривой С (рис. 82), причем предполагаем, что векторное поле Р=(Рг, Р«) определено и непрерывно в некоторой области, содержащей кривую С. Разобьем область О, ограниченную кривой С, Рис.
82. дугами кривых на и частичных областей 0«, О«, ..., О„, ограниченных замкнутыми кривыми Сь С„... ..., С„с тем же направлением обхода, что и у кривой С. Тогда (Р, дх + Р, !(у) = ф (Р, г(х + Р, Фу) + ! -~ у (г « ~- « ««! «- .: «- т !«, « -; «, «»! « » при любом разбиении описанного выше типа. Еще раз подчеркиваем, что как кривая С, так и границы всех частичных областей следует обходить в одном и том же направлении. Для доказательства заметим, что все те дуги кривых Сь Сь..., С„, которые лежат внутри данной кривой С, служат общими границами двух соседних частичных областей.
Поэтому при сложении интегралов в правой части доказываемого равенства каждая из этих дуг обходится два раза в двух противоположных направлениях, так что соответсгвующне этим дугам интегралы взаимно сокращаются. Таким образом, остаются лишь интегралы по тем дугам кривых Сь Ся,..., С которые лежат н на кривой С, но эти интегралы складываются в должном направлении в интеграл по замкнутой кривой С. Теорема доказана. Эта теорема легко обобщается на пространство трех (и большего числа) измерений следующим образом. Представим себе, что на пространственную замкнутую кривую С, не имеющую самопересечений, «натянута» какая-нибудь поверхность.
Разобьем кусок поверхности, ограниченный кривой С, на и частей, ограниченных замкнутыми кривыми Сь Сь ..., С„. Все эти кривые снабдим одинаковой ориентацией. Тогда для соответствующих криволинейных интегралов справедлива формула Рбх= Рг(х+ Рбх+ ... + Р«(х. ! Ф н 374 гл. т. кяиволинвйныв ннтвгвллы. ннтвгаллы по поввяхностн н 4) Несколько иное применение этого принципа раабиеивя представляет следующая теорема.
На две одинаково ориентированные аамкиутые кривые С и С' (рис. 83) нанесены соответственно точки Аь Аь ° ", А„и Вь Вь ..., В„, эанумерованные в порядке ориен- тации кривых. Каждая пара точек с одна иаковым номером соединена какой-ни- будь линией. Обоаиачим через С~ л г ~ эамкнутую ориентированную кривую В,,) А~А;+1В,+гВ;; тогда ~~г~=~гг — ~гг*. Локаэывается эта теорема, как это ясно А иа рис.
83, тем же методом, что и преРяс. 83. дыдущая. Кстати, для ее справедливости не обявательно, чтобы кривые С и С не пересекали сани себя или друг друга. 5) В заключение приведем формулу оценки криволинейного интеграла 1=| ~ Р г(г ! = ! ~ (Г1 Ых + Га йУ + Ра бг) ~ ( М(., где М вЂ” верхняя граница модуля вектора Р на пути интегрирования С: 1Р1=УРз+Ра+Ра ™- а Ь вЂ” длина дуги С. Локааательство легко получается из очевидного неравенства !';и ~=~" ~;и'~=~ ~й' лз где — — производная от длины дуги линии С по параметру, лг 4. Механическое истолкование криволинейного интеграла. Выше уже было сказано, что понятие криволинейного интеграла тесно связано с фианческим понятием работы. Если материальная точка движется под действием силового поля р=(рь рь ра), изменяющегося, вообще говоря, от точки к точке, и описывает при этом кривую С, то криволинейный интеграл ~ рбг выражает работу, затра- с ченную полем при этом движении.
Лействительно, если сила постоянна по величине и направлению, а движение прямолинейно, то работа, по определению, равна скалярному проиэведению вектора-силы на вектор-перемещение. Лля того чтобы естественным образом обобщить это определение, ааменим путь С вписанной в пего ломаной линией с вершинами Ра Рь Рь ..., Р„= Р, а действующую фактически переменную силу р=р(г) — воображаемой силой, которая сохраняет по- 375 Е 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ стоянную величину и постоянное направление на каждом звене Р,РЕИ ломаной н равна вектору-силе, действующей в начзльной точке Рь Работа этой воображаемой силы на перемещении Р Ргьт равна Р(гг)йгг=Л(хьхь «1)йхг+уз(хг,рь «)Ьуг+Л(хьуг, «)й«ь Суммируя эти выражения по всем ввеньям ломаной и переходя к пределу и-ь со, при условии, что длина наибольшего звена ломаной стремится и нулю, мы и получим криволинейный интеграл ~ Рйг, с который, стало быть, действительно дает работу силового поля при указанном движении материальной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
