1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Заметим кстати, что из теоремы Стокса для плоскости вытекает новое дра дрг простое доказательство того факта, что условие — = обеспечивает дх оу независимость криволинейного интеграла ~(Р, ах + Ра Иу1 от пути интегрирования (т. е. доказательство достаточности зтого условия). Мы уме знаем, что независимость от пути равносильна обращению з нуль интеграла вдоль ,любой замкнутой кривой. Если такая замкнута» кривая С явл»етс» границей области 0 рассмотреияого выше тапа, то теорема С~окса преобразовы- 390 Гл. ч. кРиВОлинейные интеГРАлы.
КнтеГРАлы по поВеРхности 14 вает криволинейный интеграл ~(Р,ах+ Р,ду) а двойной интеграл вырадр, дР, жения — ' — — ' по области Гу. Ясно, что из обращения в нуль этого выдх ду ражеиия вытекает обращение в нуль криволинейного интеграла вдоль контура С области О. е. формулы Грина. С теоремой Гаусса тесно связаны некоторые другие преобразования интегралов, известные под названием теорем илн формул Гринз и часто применяемые в теории дифференциальных уравнений. )(Ля вывода этих формул возьмем две функции и(х, у) и е(х, у), имеющие в области 0 непрерывные производные первого и второго порядка. Применяя теорему Гаусса к функциям Р,=ие„ и Рэ —— ие„и учитывая, что д д д — „.
(ио.)+ ду (и'у) =(илпх+" -)+(иу'у+ ипуу) = =и„е„+и„е„+и7'е, где 7э есть оператор Лзпласа (гл. 11, $7, пэ 7), получим ()) (и,та + илеУ) йх йу + ) ) 1геяейх йу = ~ ( — игл йх + ие„йу). а а +с Эта интегральная формула называется первой формулой Грини Из условии теоремы Гаусса видно, что эта формула доказана, если функ- ции и е„и, е, е„„е непрерывны в аамкнутой области О. Если функции и„и й тоже непрерывны, то справедлива также анало- гичная формула ~~ (ихох+ ГГУЕУ) йХ "у + Д Е7'ГГ йХ йу = ~ ( — ЕиУ йХ+ Еил йу).
а Вычитая эту формулу из предыдущей, получим следующее соотно- шение: '))(и7эе — е7эи)йхйу= ~ )(еи — ие,)йх — (еи,— ие„)йу), а +с которое носит название второй формулы Грина. Криволинейные интегралы в формулах Грина можно ззписать в несколько ином виде, воспользовавшись тем, что производная От функции точки у(х, у) по направлению внешнеп нормали и= (р, — ус) выражается так: 0 )(х, у)=иигайг =у„р — у Ф, если длина дуги в возрастает в направлении положительного обхода граннцы. Отсюда видно, что в первой формуле Грина — иЕУ йХ + иол йУ = И ( — Е„Х + Е„Р) йз = и0„Е йа, а во второй формуле Грина (еи — ие„) йх — (еи„— ие,) йу = = и (ЕлУэ — туХ) йа — Е (и „У" — и У) йв = (и0ло — ЕО„и) йв.
й а а связь макая кяиволннвйным и двойным интвгаллом 391 Стало быть, формулы Грина принимают следующий вид: Ц(и„о +и„от)г(хг(у+ )Г)иЧЯагьхоу= ~ иРлогга а а +с ~1)С)(г Чяо — иЧ'и) г)х Ыу = ~ (иРло — оР„ы) Ыа. а +с Заметив, что и о„+ ир, = йгаб и ягай о (скалярному произведению двух градиентов), а Чао=йгаб йчо, можно первую формулу Грина представить и в векторной записи: Ддгабийгаб од8+Ци б)чйгабэИЯ= ~ ггР„иггя. а а +с Б. Двойной интеграл от якобиана. Можно вывести еше одну замечательную формулу преобразования двойного интеграла следующим образом, Двойные интегралы от функций д д — (п~у) = ~г„ц, + п™т д — (по„) = пт™„+ г~,у д преобразуем каждый з отдельности по теореме Гаусса в криволинейные интегралы, а затем вычтем из первого соотношения второе.
Получится следующая формула: ')') (и,о„— и„о,) вгх Иу = ~ (пик ьгх+ ио„Ыу). а +с Эта формула осве~цает по-новому смысл якобиана. Подынтегральной функцией двойного интеграла является якобиан — '. Предд(и, о) д(к, у) ' положим, что якобиан положителен в односвязной области О и что область О плоскости ху отображается на область О' плоскости ио с помощью преобразования и=и(х, у), о=о(х, у) с сохранением направления обхода (ибо д ' )О).
Как известно, д(и, о) д(к, у) криволинейным интегралом (гге„гтх+ по г(у) = и гЬ, вычисленным вдоль граничной кривой С' области О' в положительном направлении, выражается площадь области О'. Стало быть, и двойной интеграл от якобиана равен плошади отображающей области О'. Но, с другой стороны, площадь О' равна ))г(пс(о. Поэтому 392 гл. в. квиволинвйныв ннтвгэалы.
интвгвалы по повввхностн 10 Таким образом, получен новый вывод формулы преобразования двойного интегрзла (гл. 1Ъ', й 4, пч 1, стр. 275) для того частного случая, когда подынтегральная функция в левой части равна единице. Разделим теперь обе части последнего равенства на площадь области О, з затем заставим область 0 стягиваться в точку.
Тогда в правой части в пределе получится производная двойного интеграла ~ д ' Ых Ыу Г д(и, в) д(х, у) по области, равная подынтегральной функции, т. е. якобиану д(и, в) Стало быть, якобиан равен пределу отношения площади д(х, у)' изображения О' к площади изображаемой области, когда область 0 стягивается в точку, или, как принято говорить, коэффициенту искажения плошади в этой точке. Так как, по теореме интегрального исчисления о среднем значении, отношение площади области 0' к площади области 0 равно промежуточному значению якобиаиа, го уже нэ самого определения двойного интеграла почти сразу вытекает общая формула преобразования ~У(и, в)Ыидв= ~ У ' лхасу. Г д(и, о) д(х, у) а Детальное проведение этого рассуждения предоставляем читателю.
Еще одно полное доказательство этой формулы будет дано в В 3, п' 3. 6. Преобразование плоского лапласиана к новым(в частности, полярным) координатам. Метод, примененный в конце и'б, дает воэможность преобразовать лапласиан э э о = о „+ о к новым, крнролинейным, координатам. Для этой цели исходим иэ формулы ~ ~ г'о э(ж гу = ~ 7)„ а с получающейся из первой или из второй формулы Грина (в конце и 4) при и= 1.
Возьмем производные по области от обеих сторон этого равенства, т, е. Разделим каждую из них на площадь области Ои перейдем к пределу, когда область О стягивается в точку. Тогда в левой час~и получится 'гэо. Для того чтобы преобразовать чаи к новым координзтам, надо в правой части выполнить соответствуюшее преобразование криволинейного интеграла к новым координатам, разделить его на площадь области 0 и найти предел полученной дроби.
Преимущество этого способа по сравнению с прямым вычислением лзпласиана заключается в том, что мы избавляемся от трудоемкого преобразования вторых производных от о, так как криволинейный интеграл содержит лишь первые производные. В качестве важного примера заполним преобразование т'в к полярным координатам (г, 0). За область 0 примем малую ячейку сети полярных координат, ограниченную дугами окружностей (с центрами в начале координат) и 0 а. истолковании ииткгвлльных творвм для плоскости 893 радмусов г и г+ А и палупряиыми В и В+ я,' площадь етой ячейки равна, 1 как известно, Ир, тле р=г+ — й.
Согласно общему выводу, сделанному выше, 0'о йш !у оерз 1 г ь е РОД ф ь е Вычислим теперь криволинейный интеграл вдоль границы нашей ячейки, учитывая, что производная по внешней нормали на окружности радиуса г+ Ь равна э, (г+ Л, О), яа окружности радиуса г оиа равна — о, (г, О), на 1 полупрямой В имеем Юле= — из(г, В), а иа полупрямой 6+А оиа равна г 1 — ое(г, В+0). Тогда Г 1 (! 1 (г+ л) о, (г+ Ь, 0) — гв (г, 6) ь-о Р '(Х 0) д г-о г+ а (' яе(г В+0) — ое(г, 6) Л Ь;) Вг г Применив последовательно теоремы о среднем значении дифференциального, а затем интегрального исчисления, приведем зто выражение к следующему виду: 1 1 ч'о =1!ш — г,п„(гь ВД+ о, (г„з,) + — оее (ги 6,)) л ар! г е-о где ги гз и В„В,— промежуточные значения переменных г и О, удоваетзоряющйе условиям (г<г„г,<г+ге) и (6 <0„0,<6+ в). и пределе при Ь вЂ” О, А — О сразу получим 1 1 р'и = — (гег), + —, вее.
г '' г' Это и есть искомая формула преобразования. ф 3. Наглядное истолкование интегральных теорем для плоскости и их приложения 1. Гидромехаиичесиое истолкование теоремы Гаусса. Дивергенция и ироииводительность источников. Изложенные выше интегральные теоремы для плоскости допускают наглядное истолкование с помощью представления о стационарном плоском потоке несжимаемой жидкости. Стационарным плоским потоком называется такое движение жидкости, распределенной иа плоскости с постоянной поверхностной плотностью, в котором состояние движения, т. е. вектор-скоростеч в каждой точке ие зависит от времени. Стало быть, такой поток вполне определяется плоским полем вектора-скорости о= (ен пе!.
Постоянную поверхностную плотность жидкости примем для простоты равной единице. 394 Гл. 7. ИРиВОлинейные интегРалы. интегРалы по пОВеРхности [1 Рассмотрим какую-либо дугу С и припишем ей в каждой ее точке единичный нормальный вектор и, направление которого непрерывно изменяется. Тем самым в каждой точке дуги выбрано положительное направление нормали; какую выбрать из двух возможностей — безразлично. Тогда общее количество жидкости, протекающей з единицу времени через дугу С в направлении положительной нормали, выражается интегралом ~ Ом йз = ~ о„йз, с с где з — переменная длина дуги кривой С. К атому интегралу приходят саедующии рассуждением. Саазала заменяют кривую ломаной линией, звенья которой имеют длины Ьаи Ьз„..., Ьь„, н предполагают, что вдоль каждого звена ломаной вектор о постоянен.
Затем совершают обычный предельный переход от ломаной к дуге кривой С. Если кривая С замкнута и является границей области О, а вектор л направлен в сторону внешней нормали, то теорема Гаусса авпз= ~ ~ й[чапЮ а утверждает, что общее количество жидкости, аьапенаюя[ей В единицу времени иа области О, равно двойному интегралу от дивергенции поля скоростей по области О. Из атого утверждения сразу получается наглядная вятерпретация понятия дивергенции. Если криволинейный интеграл на левой стороне равенства обращается в нуль, то это значит, что количество жидкости, вытекающей через часть границы С, компенсируется притоком жидкости через остальную часть границы и в области О не происходит ни накопления, ни убыли жидкости, что естественно, так как процесс не зависит от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
