1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 85
Текст из файла (страница 85)
кзиволинвйныв ннтвгаалы. ннтвгадлы по повзахности й Здесь и рассматривается как постоянная, а параметр о иа прямой равен алгебраической величине отрезка от точки Р окружности до переменной точки прямой. Будем теперь изменять также и параметр и в промежутке 0~ и ~2ч. Тогда отрезок прямой — 1о=6! данною 2 единицы опишет поверхность типа листа Мебиуса и уравнения (1) дают ее параметрическое представление с параметрами и и и. д) Ориентированная область пространства и тройной интеграл по такой области.
Трехмерные области в пространстве тоже можно снабдить определенной ориентацией. Это можно сделать следуюшим образом. Рассмотрим прострзнственную область О, ограниченную замкнутой поверхностью 8. Назовеи положятельной стороной поверхности ту из ее сторон, которая обращена внутрь области, а стало быть, нормальный вектор, на! правленный внутрь, определяет поло- жительное направление нормали. Если 1 мы присвоим поверхности такую ориентацию, т. е.
такое направление вращения, которое образует со внутренней нормалью правый винт, то будем называть пространственную область 0 положительно ориент рованяой (на рис. 92 изображен положительно ориентированный шар» если же присвоить поверкности такую ориентацию, котоеис. 92. рая образует с внутренней нормалью левый винт, то область 0 будем считать отрицательно ориентированной. Например, куб О ~ хи= 1, О ч-уч-1, О~ «( 1 будем иметь положительную ориентацию, если присвоить положительную ориентацию его основанию, лежашему в плоскости ху.
В пространстве целесообразно также приписывать объему области 0 положительный или отрицательный знак, смотря по току, присвоена ли области положительная или отрицательная ориентация. Соответственно этому условимся, что тройной интеграл по ориентированной области изменяет свой знак, если ориентация области изменяется на противоположную; Яу(х, у, «)ЫхйуЫ«= — Яу(х, у, «)Ихой«. — а +о Только при наличии такого соглашения формула преобразования Ц~ХЬ..,*И Оас=~~~л,м, Ч "* "~.л~ становится справедливой и в том случае, если якобиан отрицателен по всей области О. Действительно, тзким же методом 405 $ д интвгвАл по поввяхностц каким это сделано для преобразования функции двух переь|енных (гл.
!!), ф 3, конец пч 6), можно доказать, что в случае всюду отрицательного якобиана отображение области 0 на область 0' приводит к изменению знака ориентации пространственной области. В силу соглашения о знаке интеграла по ориентированной области, тройной интеграл должен при этом изменить знак, Таким образом, отрицательный знак якобнана погашается изменением анака интеграла.
2. Определенне интеграла по поверхности. После этих подготовительных соображений возможно уже дать обшее определение интеграла по поверхности (поверхностного интегрзла). Пусть в некоторой области 0 пространства ху«определены три функции гч1(«, у, «), Е~(х, у, «), Ва(х, у, «) з качестве координат вектор-функции точки )г=Р(Р).
!(ругими словами, пусть зздано векторное поле Г(!»)= (Р1(х, У, «), Ва(х, у, «), В»(«, У, «и. Рассмотрим кусок поверхности 8, имеюшнй своей проекцией на плоскость ху замкнутую область В этой плоскости и заданный уравнением «=«(х, у), где «(х, у) — однозначная функция, и предположим, что на 8 установлена определенная ориентация, которая в результате проектирования на плоскость ху переносится на проекцию В куска поверхности 8. Обозначим через а единичный нормальный вектор к поверхности 8, направленнь!й так, что в сочетании с ориентацией поверхности он образует правый винт.
Разобьем кусок поверхности 8 на т частей (ячеек) 8ь 8„ ..., 8 и обозначим площади этих ячеек через Ь8ь д8ь ..., Д8„,. Проектируя этн ячейки на плоскость ху, мы разобьем и область В на лг ячеек Вь В„..., В, площади которых обозначим через ЬВь ЛВь ..., ЬВ, причем эти т ячеек покрывают всю область В однократно и без пробелов. Площади Ь8» будем считать положительными; поэтому мы должны приписать площадям ЬВ» положительный нли отрицательный знак, смотря по тому, какую ориентацию (положительную или отрицательную) получили прн проектировании ячейки В» и область В в плоскости хУ. Площади Ь8ь Ь8ь ..., д8 связаны с площадями (!Вь йВм..., ЬВ„ соотношениями вида причем, когда ячейка 8» стягивается з точку (х, у, «) поверхности, го величина д» имеет своим пределом косинус угла у=у(х, у, «), образуемого нормальным вектором м с положительной осью «.
Выберем на ячейке 8» поверхности какую-либо ее точку (х», У», «»), так что «»= «(лм у»), и построим сумму Я~ Га(хы уы «») ЬВ» — — „Я~ В» (х» уь «») Ч»ц8». » ! »=! Заставим теперь число т ячеек разбиения неограниченно возрастзть, и притом так, чтобы наибольший поперечник ячеек 8» (а вместе 406 гл. ч. КРиВОлинейные интегРАлы интегРАлы по пОВеРхности и с тем и ячеек ВА) стремился к нулю. Тогда написанная выше сумма будет стремиться к пределу, который обозначают символом ))Рв(х, у, г)с(хНу или ))Ра(х, у, г)соауЮ. 8 8 Этот предел называют поверхностным интегралом, взятым по куску ловерхноста 8 или, короче, интегралом по поверхности 8.
Сразу ясно, что этот предел действительно существует, так как получающийся интеграл можно рассматривать как обычный двойной интеграл по ориентированной плоской области В, а именно как двойной интеграл )) Ра(х, у, г (х, у)) г(х ду. Переходя к обобщению введенного сейчас понятия интеграла по поверхности, подчеркнем, что для этого обобщения, а также и для приложений весьма существенно, чтобы область В была ориентированной областью. Если кусок поверхности 8 может быть также задан с помоптью однозначной функции х=х(у, г) или однозначной функции у= =у(г, х), то таким же точно путем можно определить интегралы Ц Р,(х, у, г)ИУИ«=')') Р1(х(у, г), у, г)НуЫ«=))Р1(х,у, г)созааЮ 8 в 8 и ') ) Р, (х, у, г) аг с(х = )) Р, (х, у (г, х), г) И» Ых = ~~ Р, (х, у, «) соз р И8, 8 в- 8 где В' и В" — ориентированные области координатных плоскостей у« и гх, полученные проектированием на них ориентированного куска поверхности 8, а а и р — углы, образуемые нормальным вектором и поверхности с положительными осями х и у.
Теперь мы дадим определение интеграла по поверхиости 8 от вектор-функции точки Р(Р)=(Р1(х,у, г), Р,(х,у, «), Р,(х, у, г)) как суммы трех определенных выше поверхностных интегралов: Ц (Р, (х, р, ») Ф ««+ Ря (х, у, »И 'х+ Ра (х у, ) х(х М =- = ')) (Рх (х, у, г) соа а + Ря (х, у, г) соа р+ Ра (х, у, г) сов у) Ы8= = Ц РМ8= Ц) Р„(8.
Здесь подынтегральная функция есть скалярное произведение Рп и равна проекции Рв вектора поля на направление положительной нормали к поверхности. З с ннтвгзлл по поввяхности 407 Если поверхность задана в параметрическом виде уравнениями х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о), причем ориентированному куску поверхности 8 соответствует ориентированная область В плоскости ио, то наш поверхностный интеграл можно записать в следующей форме: ~ ~ ~Р»(х У г) д(и э) + ья(х У, г)д(а, э) +ьз(х У г)у~ — ' — ~дадо.
в Стало быть, мы его привели к виду обыкновенного двойного интегрзла по области В плоскости ио. Теперь легко освободиться от сделанного выше специального допущения по поводу расположения поверхности относительно плоскостей координат. Это †допущен, что поверхность выражается уравнением г= г(х,у), где г(х,у) есть однозначная функция. Теперь мы только предположим, что ориентированную поверхность 8 можно разбить с помощью конечного числа глздких дуг на конечное число частей Вь Вь..., 8 таким образом, что каждая из этих частей может быть задана однозначными функциями х=х(у, г) или у=у(г,х), или г=г(х, у). Тогда можно взять поверхностный интеграл, согласно данному выше определению, по каждой из частей 8», и интеграл по ориентированной поверхности Яопределяем как сумму этих лг поверхностных интегралов. В том исключительном случае, когда какая-либо часть поверхности 8 или вся она является куском цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к одной из плоскостей координат, так что ее проекция на эту плоскость будет уже не двумерной областью, а линией, то соответствующий член подынтегральной функции можно опустить, ибо, когдз область интегрирования зырождзется в линию, двойной интеграл обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
