1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 88
Текст из файла (страница 88)
поле А(Р) лишено источников, а в йб, по2 мы видели, что в таком поле Я А„ ВВ вполне определяется граничной кривой С куска поверхности Я н не зависит от выбора этой поверхности. В левой части формулы Стокса стоит именно этот интеграл, и задача состоит в том, чтобы его преобразовать в такое выражение, которое вполне определяется граничной кривой С. Для этой цели будем исходить из обычного параметрического представления поверхности 8 с помощью двух параметров и и о, так что она отображается взаимно однозначно на область В плоскости 1ш По общему правилу преобразования двойного интеграла имеем )) А„г(В= ') ) (А, йу да + А, дг дх+ Аа г(х ду) = о Подынтегральную функцию в правой части мы преобразуем, собирая вместе члены с Во потом с В, и, наконец, с Во Так, собирая члены, содержащие производные от Вь получим дВ,(дх ду ду дх', дВ,(дх да дг дх'1 ду ~,ди до ди до( дг (,ди до ди до(' Е этому выражению мы прибавим еше член тождественно равный нулю, и тогда совокупность членов подынтегрального выражения, содержащих производные от Вь запишется так: дх (дВ, дх+дВ, ду дВ, дав дх (дВ1 дх дВ, ду дВ,дх1 до (дх ди ду ди да ди ди дх до ду до дх до( дВ, дх дВ, дх ди до до ди ' Таким же путем получаем остальные два члена подынтегральной функции: дВ, ду дВ.
ду дВ, дя дВ, да я 3 ди до до ди ди до до ди' Итак, 419 а а. твогвма стокса в пэостванствв по ориентированной области й, контур К которой имеет ориентацию, соответствующую ориентации кривой С. Теперь мы воспольвуемся формулой (ь), выведенной в $2, и'5. Заменив в этой формуле х на сс, у на е, а на В, и и на х, по- лучим О Ол -) ~8,— а -~-в,— а)=) в,ш=)в, — н. ди вв ~=~ =~ йа причем ориентации области ь) и граничных кривых К н С должны быть согласованы.
С помощью той же формулы (") (9 2, пь 5) преобразуются остальные два двойных интеграла в криволинейные интегралы по контуру С, и сложив все три формулы, проходим к окончательному результату: ~А.л ~(в,'", ~-в,~-~-о,ф~ ='увал-)а ь, 2 а так как А = го1 В, то формула Стокса 1 1 (Г01В)„г18= $ В$ г(з 5 с доказана. Эта формула верна, если вектор-функция точки А=го1 В непрерывна в рассматриваемой области пространства, а поверхность Ю состоит из одного или нескольких кусков, которые могут быть заданы параметрическими уравнениями вида л= х(п, и), у=у(и, и), г =г(гг, о), причем этн функции имеют непрерывные производные первого порядка. В э б в конце п~ 1 было показано, что в векторном поле, дивергенция которого тождественно равна нулю„ поток вектора поля через кусок поверхности зависит только от выбора контура (граничной кривой) этого куска и не зависит от выбора поверхности, натянутой на данный контур.
Возник вопрос: как выразить зависимость поверхностного интеграла (потока) от граничной кривой куска поверхности? Теорема Стокса дает возможность ответить на этот вопрос. 8 дополнении к этой главе, в 9 2 будет доказано, что всякое векторное поле А (Р), дивергенция которого тождественно равна нулю,. может быть представлено в виде А=го1В. Стало быть, теорема Стокса и выражает эту зависимость интеграла по куску поверхности 8 от его граничной кривой.
2. Фнзнческий смысл теоремы Стокса. Физический смысл теоремы Стокса в пространстве аналогичен ее физическому истолкованию 14" 420 гл. ч. кяиволинзйныз ннтзгеллы. интзгвалы по повзэхности и на плоскости '). Векторное поле В(Р) и здесь истолковывают как поле скоростей стационарного течения несжимаемой жидкости и интеграл ф В1йа=ф Вйг называют циркуляцией скорости потока с с вдоль замкнутой кривой С. Теорема Стокса утверждает, что циркуляция скорости вдоль ориентированной замкнутой кривой равна интегралу от ротора скорости по любой поверхности, ограниченной этой кривой, причем ориентация поверхности и ориентация граничной кривой должны быть согласованы по правилу правого винта. Применим теорему Стокса к элементу поверхности Я с непрерывно изменяющейся касзтельной плоскостью.
Разделим обе части формулы Стокса для этого элемента поверхности на его площадь и перейдем к пределу, заставляя этот элемент и его граничную кривую стягиваться к точке Р, оставаясь неизменно на взятой поверхности Я Тогда мы в левой части формулы получим производную поверхностного интеграла от го1 В по области интегрирования, равную проекции вектора гМВ на положительную нормаль в точке Р поверхности Я В правой части получится величина, которую естественно назвать удельной циркуляцией или плотностью циркуляции скорости В на поверхности Ю в ее точке Р. Следовательно, проекция вектора готВ на положительную нормаль поверхности в ее точке Р равна плотности циркуляции вектора В на этой поверхности в той же точке Р.
При этом направление циркуляции и положительная нормаль должны совместно образовать правый винт, Вместе с тем зто рассуждение показывает, что ротор векторного поля имеет смысл, ие зависящий от системы координат и, стало быть, действительно является вектором. Векторное поле В(Р) можно также интерпретировать как силовое поле механической или электрической природы.
Тогда криволинейный интеграл в правой части формулы Стокса выражает работу, совершземую полем, когда частица, испытывая его воздействие, описывает кривую С. Теорема Стокса дает преобразование выражения для этой работы в интеграл по поверхности 8, ограниченной кривой С, причем подынтегральная функция этого интеграла равна проекции ротора силы поля В на положительное направление нормали. Из теоремы Стокса можно извлечь новый вывод условия независимости криволинейного интеграла в пространстве от пути интегрирования (ср. также замечание, напечатанное петитом, в конце э 2, п' 3), Основной вопрос заключался в следующем: каким свойством должно обладать векторное поле В (Р), чтобы криволинейный суВЫг вдоль любой замкнутой кривой обращался в нуль"г Так вот из теоремы ') Заслуживает внимания тот факт, что иа плоскости теоремы Гаусса н Стокса отличаются между собой формально лишь знаком, между тем как в пространстве существенно различно яе только физическое содержание этих двух теорем, ио и их формальное выражение.
ат. о связи мвждг дивввввнцивовлннвм н интиггивовлнием 42! Стокса сразу видно, что условие го1 В= О обеспечивает обращение в нуль этого интеграла '). Поэтому обращение в нуль ротора или, как говорят, безвихрлвой характер векторного поля является достаточным условием обращения в нуль интеграла фВйг вдоль любой замкнутой кривой, а следовательно, и достаточным условием независимости криволинейного интеграла от пути. (В й 1 мы видели, что оно является и необходимым условием.) Из $ 1 мы знаем, что при этом условии, т. е.
в поле, лишенном вихрей, вектор поля В(Р) может быть представлен в виде градиента некоторой скалярной функции У(х, у, х), называемой лотенщгалом В=ягаб У. Если наше безвихревое поле не имеет к тому же и источников, т. е. и б)чВ=О, то функция У(х, у, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению б)ч ягаг) У=О или, в координатной записи, дзсГ дЧГ дз(1 Стало быть, векторное поле В(Р), лишенное вихрей и источников, имеет потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа ЧзУ= О, с которым мы уже встречались в.т. 1, гл. Х и которое принадлежит к числу важнейших дифференциальных уравнений анализа.
ф 7. Принципиальные соображения о связи между днффереицмрованием и интегрированием в пространстве многих переменных Полезно резюмировзть факты, установленные в этой главе, с единой, общей точки зрения. В случае одной независимой переменной мы в гл. П первого тома сочли основной теоремой дифференциального и интегрального исчисления взаимную связь между дифференцированием и интегрированием. Эта основная теорема (формула Ньютона — Лейбница) выражается для функции одного аргумента следующим образом: если функция У(х) непрерывна в замкнутой облзсти а -.х =Ь, а Р(х) — ее первообразная, то г)г (х)йх=р(Ь) — Р(а) а ') Впрочем, здесь содержится молчаливое предположение, что яа згу кривую можно действительно лиатянутьъ поверхность описанного выше типа.
Тлк клк зто может приводить к затруднениям (иапример, лля кривых, имеющих узловые точки), то доказательство втой теоремы, данное в ф 1, следует предпочесть. $ т. О сзязн мяждг йнвэвзвпцняозлннвм н интвгвнзозаннвм 423 Нетрудно показать, что для заданной поиынтегральноя функции /(х,у) двойного ийтеграла действнтально существует большой пронззол в выборе дР дР, функций Ра (х, у) н Р, (х, у), удовлетворяющих уравнению — ~ + -д — ' —— =У(х, у). В самом деле, можно, например, положить Р,(х, у) равной тож- дественно нулю или равной любой известной функции у, а затея определить дР, дР, соответствующую функцию Р (х у) из уравнении — =У вЂ” —. Тогда 1 дх ду ' Р,= ~ ~/ — — ~ «х, где у при интегрировании по х рассматривается кая дР,1 ду постоянный параметр. Полученное таким путем ваяторное поле можно еще сложить с произвольным векторным полем, дивергенция которого равна нулю, и мм опять получим первообразяое векторное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
