1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В двумерном пространстве, помимо теоремы Гаусса и теоремы Стокса, которые в этом случае по существу равносильны, сущест- вует еще одно обобщение формулы Ньютона — Лейбница, а именно теорема, выражающая условие независимости криволинейного интег- рзла от пути интегрированна, Лело в том, что в двумерном прост- ранстве существуют замкнутые одномерные многообразия, имеющие нульмерные границы; это дуги кривых с двумя граничными точками, и задача состоит в том, чтобы криволинейный интеграл ) Рг)г по такой дуге привести к выражению, завнсжцему только от граничных точек.
Мы уже знаем из й 1, что такое приведение возможно в том и только в том случае, если существует такая скалярная «первооб- разная» функция (потенциал) У(х, у), что вектор Р поля является ее градиентом Р= пгаб У. Тогда (я> $ Рдг= ()(Р) — и(Р,) = и(а„;) — и6„Ъ,). <Рн Сравнивая этот результат с формулой Ньютона — Лейбница для обычного интеграла, убеждаемся, что выражение подынтегральноя скалярной функции в виде производной заменяется здесь представлением подынтегральной векторной функции в виде градиента, и роль первообразцой функции играет потенциал этого градиента.
Однако, есть н существенное различие в этом вопросе между обычным интегралом и криволинейным: не у всякого криволинейного интеграле цодынтегральная вектор-функция точки Р(Р) может быть предстзвлена как градиент; такое представление возможно в том н только в том слу- дР, дР, чае, если выполняется условие интегрируемости — '= — '.
В пространстве трех измерений дело обстоит вполне аналогично. Теорема Гаусса преобразует тройной интеграл по трехмерной области, ограниченной замкнутой поверхностью, в интеграл по этой граничной поверхности, которая представляет собой замкнутую двумерную 424 гл. ч. квиволннвйныв интвгвалы. ннтвгвдлы по повввхности область, вложенную в трехмерное пространство и не имеющую граничной кривой. Это преобразование связано с тем, что подынтегральную функцию тройного интеграла представляют в виде диаергенции векторного поля Р(Р)=(Рт(х, у, г), Рз(х, у, г), Рз(х, у„г)) и эта вектор-функция точки играет здесь в известном смысле роль первообразной функции. Как и в теореме Гаусса дая двумерной области, н здесь дая заданной попынтеграаьной функции у(х, у, г) всегда можно построить соответствующее ей первообразное векторное поле Р(Р), так что У=6ШР, и притом бесконечным числом способов.
С криволинейными интегралзми в трехмерном пространстве дело обстоит совершенно так же„как на плоскости; поэтому нет нздобности говорить о них особо. Но в трехмерном прострзнстве надо еще рзссмотреть поверхностный интеграл по двумернои области, т. е. по куску поверхности, ограниченному пространственной кривой; поверхностный интеграл занимзет там промежуточное место между криволинейным и тройным интегралом.
Приведение интеграла по куску поверхности к выражению, зависящему только от границы этого куска (в данном случае этим выражением является криволинейный интеграл вдоль граничной кривой), дается теоремой Стокса (э' 6). Такое положение дел у интегралов по поверхности аналогично ситуации у криволинейных интегралов. Для того чтобы подынтегральная функция поверхностного интеграла ))У(х, у, г)Ю=)) Р„да=Я~(Ртйудг+Рздгт(х+Р,тахт(у) 8 5 5 могла быть представлена в виде у(х, у, г)=(го1В)я=аго1В, необходимо выполнение условия б(чР=О, т.
е. — '+ д '+ д ' — — О. дР, дРа дРа дх Стало быть, преобразовзние интеграла по куску поверхности 8 в интеграл вдоль граничной кривой не всегда возможно. На деле это условие оказывается не только необходимым, но и достаточным (доказательство будет дзно в Дополнениях к этой главе, $ 2). Упражнения ьзь г 1. Вычисаить поверхностный интеграл у — д8 по той половине позерк- 3-У Р Ха уа га ности зглипсонда —,+ —,+ —,=1, для которой г~о, если 1 гх шу ля — = — + — + —, =от дз ег где 1, м, п — напразаяющие косин)сы внешней нормали.
425 $ !. ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРРМАМ ГАУССА И СТОКСА 2. Вычислить поверхностный интеграл (Й) Нг(З по шаровой поверхности х'-»-у'-»- я' = 1, если О = а„х' + алу' + а я' + За,х у'+ За уа'+ За хял. ЗУ Доказать обобщение теоремы Гаусса на л-мерное пространство [т. е. теорему Остроградского]. Пусть 0 есть некоторая область в и-мерном пространстве (х„хм ..л хл), и пусть ее граничная поверхность 8 задана уравнением Р(х„х„..., хл) =О, причем в области й вообще Тм;О. Даны л функций аг(х„х„..., хл), где !=1, 2, ..., л, и все оии непрерывно дифференцируемы в Ю Тогда л рлл ~ ~ ... ~ ( — "+ — "+...+ —,'") Фх,мх,...мх„= л — ! Рлл ~ (агя + алж + ...
+ аллл) г(З, л где лЗ есть элемент площади поверхности 8, определенный в гл. 1Ч, стр. 323, а л„ л„ ..л л — координаты единичного вектора внешней нормали, т. е. ч! = у'Тл,+Т',+" +Т'„ ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч ф 1. Замечания к теоремам Гаусса и Стокса В основном материале этой главы, при докззательстве теорем Гаусса и Стокса, мы исходили каждый раз из кратного интеграла по исходной многомерной области и по выполнении простого интегрирования приводили его к интегралу по грзничному многообразию этой гл области. Однако, формулы, выражающие эти теоремы, можно также а получить, двигаясь обратным путем. Соответствующие преобрззования, поучительные и сами по себе, мы здесь изложим вкратце для вывода теоремы Стокса на плоскости.
Возьмем на плоскости ху две постоянные точки Р и 9 и соединим их кривой С, представленной своими параметрическими уравнениями с параметром б Будем непрерывно деформировать эту кривую таким образом, чтобы в процессе деформзции, переходя из своего начального положения в конечное, кривая С покрывала однократно область 0 (рис. 94). Эту мысль мы уточним аналитически следующим образом: дополнения к гллвв и различные положения кривой С пусть определяются различными значениями некоторого параметра а, так что семейство кривых С задается параметрическими уравнениями х=хИ а) У=УС а), ~а~ ~~~в где хОь з), у(гь а) — координаты точки Р, а х(гь а), у(гь а) — координаты точки Я.
Обе эти точки неподвижны, и их координаты не должны зависеть от а, Итак, а есть параметр, каждое значение которого определяет одну из кривых семейства, а Г есть параметр, изменение которого определяет движение точки вдоль выбранной кривой. Когда и пробегает интервал аа~а~аь С описывает область О. Ыы предполагаем, что функции х(Г, а) и у(1, а) имеют непрермвные производные первого порядка по г и по а и непрерывные смешанные производные второго порядка — =х~ и — =у,, а также что всюду да,у дада " дада в области О, зз исключением точек Р и Я, якобиан — ' отличен д(х, у) д(б а) от нуля, например положителен.
Тогда область О, если не считать точек Р и О, отображена взаимно однозначно на прямоугольник заК.:а(аь са(С- '1~ плоскости а, С. допустим теперь, что в замкнутой области О заданы две функции а(х, у) и Ь(х, у), имеюпгие непрерывные производные, и рассиотрим криволинейный интеграл Ца) = $ (а (х, у) дх+ Ь (х, у) ду) = $ (ах, + Ьу ) гК с„ вдоль кривой С„семейства, соответствующей значению и параметра. Исследуем зависимость этого интеграла от а.
Для этой цели составим производную и — )= ~ ((и х,+ а у„)хг+(Ьах,+ Ьту )у~+ пхм+Ьум) а(а по правилу дифференцирования определенного интеграла по параметру. Интеграл от суммы последних двух членов преобразуем по правилу интегрирования произведения: и и $(ахм+Ьу,г)М (ах,+Ьу„)П вЂ” ~(иге,+Ьгу„)Й= м м и = — ~ [(и х~+лзЛ)ха+(Ь тг+Ьту~)уа) Ф проинтегрированный член обратился в нуль, ибо х„=у„=О при а х пввдставлвнив ввктовного поля в видя готовя 42? 1= 1, и при г.
1ь В результате имеем б — [ар (у.х, — у,х,) + Ь (х,уг — х,у„)) аг, Й!(«) « нли и — = ~ (а — Ь,)~ — -' — гК д1(«) Г д (х, у] д«д Р "д(Г«) ~о Это РавенствО мы пРоинтегРиРУем по а пО пРомежУткУ От аа дО ад «« 1(аг) — 1(ао)= ~ ~ (а — Ь ) — 'пгда, д(х; у) Р "д(г,«) ««г« Здесь справа стоит двойной интеграл по прямоугольнику У,~г~гь аа(а(а, плоскости аг, равный двойному интегралу по соответ- ствующей области О плоскости ху.
Следовзтельно, 1(аа) — 1(аг) = г) г )(܄— а „) Ых Ыу, о но теперь мы в левой части имеем криволинейный интеграл)(аИх+Ьг(у) вдоль контура области О, состоящего из кривой С„пробегаемой от Р до Я, и из кривой С«в пробегаемой от ьг до Р. Таким образом, коль скоро наши условия выполнены, теорема Стокса на плоскости доказана. Предоставляем читателю вывести тем же методом теорему Стокса в пространстве. Теорему Гаусса в пространстве тоже можно доказать, исходя из интеграла по куску поверхности, ограниченному замкнутой кривой, и деформируя эту поверхность с сохранением граничной кривой так, чтобы она описала пространственную область О. Следует, однако, заметить, что этот способ вывода интегральных теорем сам по себе не дает полностью того, что было получено с помощью прежних доказательств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
