1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Для того чтобы достигнуть той же степени общности в отношении, например, теоремы Стокса на пло- скости, надо еще доказать, что всякая область О плоскости того типа, который рзссматривался в йрежнем доказательстве, может быть по- крыта семейством кривых О„обладающих перечнсленнымн свойствами непрерывности и дифференцируемости. Тзкое доказательство возможно, но оно столь сложно, что прежний метод доказательства заслуживает предпочтения. ф 2. Представление векторного поля, лишенного источников, в виде ротора В связи с замечанием, сделанным на стр.
419 в конце п' 1, исследуем теперь вопрос, можно ли всякое векторное поле, лишенное источников, представить в виде ротора, Другими словами: для всякого лп векторного поля А(Р), в котором д)чАыО в некоторой замкнутой 428 дополнения к глава ч области 0 пространства хуг, существует такое другое векторное поле В(Р), что А=го$В всюду в Ог Мы сейчас докажем, что это действительно так. Наша задача состоит в том, чтобы по данному векторному полю А(Р)=(А1(х,у, «), А,(х, у.
г), А,(х, у, «)) найти векторное поле В(Р)=)В1(х у, г), В,(х у,г), В,(ху,г)), удовлетворяющее в области 0 трем дифференциальным уравнениям с частными производными: дВ, дВ, А1= — ' — — ' ду д«' дВ, дВ, дВ, дВ, Ая — — — ' — — ' А = — * — — ', да дк ' я дк ду ' дВя дВ, дВ, дВ, — '= — Аь — '=Ая — ' — — 1 =Аа ° Из первого уравнения находим интегрированием по г одно из решений Вя = — ~ А1(х, у, () У.', яя причем х и у играют роль постоянных величии, а гя и встречающееся ниже уя, означают аппликату и ординату произвольной постоянной точки Р, области О. Из второго уравнения определяем В~ — — ~ Ая (х, у, ч) Ж + а (х, у), где а(х,у) есть произвольная функция от х и у, пока еше совершенно неопределенная.
Подставляя найденные выражения для Вя и В1 в третье уравнение, получаем уравнение для определения функции а(х, у): Яя Лля упрошения мы предположим, что область О, в которой опре- делено векторное поле А(Р) и выполняется условие дйаА= д '+ дА, дк + — + — =О, является прямоугольным параллелепипедом. Наша дА, дА, ду дг система уравнений определяет решение неоднозначно, и при нахождении Вь Вм Вя остается еше большой произвол. Поэтому мы наложим дополнительное условие Во=О в О.
Тогда система уравнений упро- щается: а х повдстлвлвнив ввктовного поля в вида зотова 429 В силу условия б)ч А = О, имеем †' + †' = — †' и последнее дА1 дАа дАв уравнение приводится к следующему виду: а„(х, у) = ~ ' ' ' Ж". — Аа(х, у, «)= — Аз(х, у, ге). Г дА, (х,у, ь) Из этого уравнения получаем интегрированием по у функцию а(х,у), которая до сих пор оставалась неопределенной: а(х,у)= — ~ Аз(х, т~ «е)с(т1 (берем лишь одну из первообразованных). Теперь искомая вектор- функция В=(Вн Вм Вз) определилась так: л 1 Вг — — ~ Ат(х,у,г)й",— ~ Аз(х, ч, «е)с(ъ ы ха л Ве — — — ~ А1(х,у, ь)д"., ла Ва=О, и мы нашли такое векторное поле В(Р), что А =го1В. Но найденное поле В является не единственным ответом задачи, что видно уже из хода решения. И действительно, если составить векторную сумму В+ игад (у, где (7(х, у, «) — произвольная двзжды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, то также будем иметь го1(В+исай())=А, ибо всегда го(игаб(7=0 (гл.
11, й 7, по7). С другой стороны, обратно, если Ве есть любая вектор-функция точки, для которой ю(Ве=А, то го((Ве — В)=О, в силу чего (гл. Ъ; $1, п'7, стр. 378) вектор Ве — В может быть представлен в виде градиента некоторой скалярной функции Б(х, у, «). Таким образом, векторное поле Ве=В+йгаб () является самым общим решением нашей задачи. Упражнения 1. Пусть У(х,у) — непрерывная функция, имеющая непрерывные первые и вторые производные. Доказать, что если у„„.ух„— у„,~ о то преобразование и =ул (х, у), о =у„(х, у), ю = — л+ хул (х, у) +у«у (х, у) однозначно обратимо, и обратное преобразование имеет следующий вид: х = ил (и, о), у = ие (и, о), л — св + ийл (и, о) + оде (и, о), 430 ПОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч 2. Представить гравитационное векторное поле А ) х л ю '»е» 'е' Ф'("»»'» 'г' гте»е»*')) в виде А =гогВ, СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч 1.
Пусть ч(г), а(г) и Ь(г) — непрерывно дифференцируемые функции параметра Г в интервале 0(Г~2в, причелт а(2г) =а(О), Ь(2к) =Ь(0), 1(2в) =»(0)+2пз (где и — целое число), и пусть х и у — постоянные, Рзссматривая уравнения Ь=хсозч — уз)ну+а, ч=-ха)па+усову+Ь как иараыетриччские уравнения замкнутой плоской кривой Г (с параметром Г), доказать, что 2 ~ (Ь йэ —, йН = А (х'+ у') + Вх+ Су+ (), 1 Г г где 1 Г А= 2 ~>йч,, В=~'(агаву+э МПЧ)йу г г С = ~ ( — а юп ч + Ь соз») йу, йр Пусть плоскость 0 как целое движется относительно неподвижной плоскости П, с которой она совпадает, таким образом, что каждая ее точка Р описывает замкнутую кривую плоскости П, ограничивающую площадь алгебраической величины 8 (Р).
Обозначим через 2лв (л — целое число) величину полного вращения паоскости 1;) относительно неподвижной плоскости П. 1(оказать следующие результаты: а) Если нфО, то на плоскости 1',) существует такая точка М, что для всякой другой точки Р этой плоскости 3 (Р) = ниМР' + 3 (М). б) Если и=О, то возможны два случая: б,) на плоскости () существует такая ориентированная прнмая Ь, что для всякой точки Р втой плоскостй Я(Р) =Лй(Р), где т((Р) есть расстояние точки Р от прямой д, а й — постоянный положительный коэффициент, либо ба) 3(Р) имеет одинаковое значение для всех точен Р плоскости () (л~еорелгаа Шляейяера). 3». Прямолинейный отрезок АВ соверщает в плоскости П периодическое движение наподобие шатуна: точка В движется против часовой стрелки по окружности с центром С, когда точкз А движется периодически вдоль прямой, проходящей через С.
Применить результаты упр. 2 для определении площади, ограниченной замкнутой кривой, которую описывает в плоскости П точка К, жестка скрепленная с отрезком АВ. 4. Конечные точки А и-В прямолинейного стержня АВописмвают полный оборот вдоль замкнутой выпуклой кривой Г. Точка К стержня АВ, для которой АК=а, КВ=Ь, описывает в результате этого лвижсния замкнутую кривую Г'. Локазать, что площадь, заключенная между криаымн Г и Г', равна саЬ (глеарежа Хольдича — Но1бнс10.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч 5». Доказать, что если к каждому элементу лз жесткой гаадкой занкнулз той пространственной кривой Г приложить силу величины — по направле- Р нию главного нормального вектора (стр. 106), то кривая Г останется в равновесии. Кривизну 1(Р кривой Г в точке злемента аз будем предполагать конечной и непрерывной на всей этой кривой. (На основании принципов статики твердого тела задача сводится к доказательству того, что и — аз=О и — па=О„ Г [ги] Р г где и — единичный главный нормальный вектор кривой Г длн элемента оз, а г — его радиус-зектор.) 6.
Доказать, что замкнутая жесткая поверхность Е остается в равновесии под действием равномерно па ней распределенного давления, направленного внутрь, (Если обозначить через ит единичный нормааьный вектор, направленный внутрь, и через г радиус-вектор элемента поверхности пЗ, то задача сводится к доказательству векторных равенств И и~й6=0 и ф гди,'] во=О.) Е е 7». Твердое тело объема тг, ограниченное поверхностью Г, полностью погружена в жидкость удельного веса 1. Доказать, что статический эффект давления жидности на тело эквизааентен силе )ч величины 1', направленной вертикально вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
х .Р л 8'. Дая эллипсоид В: — + — + — !. Обозначим через р рзсстояние ал от центра эллппсоида до касательной плоскости в его точке Р(х, у, л) и через ай — элемент площади в этой точке. Доказать следующие соотношения: а) Яр «а = 4»лЬЕ, б) Й вЂ” аЗ вЂ”,(Ь"с»+ с'в'+ а»Ь»).
эу р ЗлЬс Е 3 9. Обыкновенный пйоский угол измеряется длиной дуги, вырезаемой его сторонами из единичной окружности с центром в вершине угла. Эту идею можно использовать и для измерения шелесяага угла, ограниченного коничеснай поверхностью с вернп|най А, следующим образом. В порядке определения величина телесного )тла принимается равной площади, вырезаемой нм иэ единичной сферы с центром А. Например, мерл телесного угла октанта х~ О, у=-О, Е~О равна 4»18 = влй Обозначим теперь через Г замкнутую пространственную нривую, через à — поверхность, «натянуттю» на зту кривую и ограниченную ею, н через Л вЂ” фиксирована)ю точку, не лежащую нй на Г, нн нл Г. Элемент площади ПЭ в точке М поверхности Е определяет элементарный конус с вершиной в Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
