1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Собираясь в дзльнейшем выполнить интегрирование этой системы дифференциальных уравнений для конкретных вздзч, мы предварительно выведем из урзвнений движения несколько общих теорем. Из гл. х', $1, п' 4 мы уже анакомы с понятием работы, совершаемой силовым полем при движении вием материальной точки, и знаем, что эта работа выражается криволинейным интегралом ~Рагг= ~ Рг с(1=)(Хс(ус+ г'с(у+ лс(«) вдоль пути, описанного движущейся точкой.
Если силовое поле Р(Р) может быть представлено в виде градиента силовой функции Ф: Р= йтад Ф, то работа, совершаемая полем, не зависит от пути и вполне определяется его начальной и конечной точками (гл. 11, й 1, и' 5). Силовое поле, которое может быть представлено как градиент, называют, следуя Гельмгольцу, консервативным') силовылг полем. В таком поле векторное уравнение движения принимает следующий внд: (А) тг = — игаб У, если вместо силовой функции Ф ввести потенциал или потенциальную энергию У= — Ф (ср. гл, Ч, $1, и' 5).
Необходимо ззметить, что силовая функция и потенциал определяются по дзнному полю неоднозначно, тзк как они содержат произвольное постоянное слагаемое. В координатной записи мы получаем для консервативного силового поля систему дифференциальных уравнений тУ= — У тЯ= — У, пар= — Ум (А г) Эту систему дифференциальных уравнений невозможно решить в общем виде, но нз нее выводится новое уравнение, которое уже не содержит вторых производных, но в котором зато появляются первые производные от искомых функций х(1), у(у), «(1). для этой цели помножим векторное уравнение (А) скалярно на г.
Тогда в левой 1 з 1 части получится производная по 1 от выражения — тг'= — то', а в правой части — производная по 1 от скалярной функции — У: Й(2 ) йг( ') От латинского сопзсгтаге — сохранять, в связи с теоремой о сохранении энергия, которую мы сейчас докажем. 438 гл.
ш. сведения о дивэвавнцнлльных калвнвниях га Интегрируя это уравнение, получаем — г'= — (г+С, где С вЂ” произвольная постоянная, т. е. величина, не зависящая от времени Д Тот же результат можно вывести ив эквивалентной координатной системы дифференциальных уравнений (Ач). Три уравнения системы надо умножить последовательно иа х, р, а и результаты сложить. Получится уравнение 2вг( +1 + ) Я' 'ч 9 ч интегрирование которого приводит к тому же окончательному урав- нению, но в координатной записи: — (хч+уч+ ач)+ у= С Выражение Т = — (хч+яа+ йч) = — чр 2 2 навывается кинетической энергией или энергией движения материальной точки, а величина (г — ее потенциальной энергией или энергией пологкенпя.
Не имея воэможности подробно заняться фиаическям содержанием этих понятий, мы лишь устанавливаем, что полученное уравнение (В) выражает так называемый закон сохранения энергии. при двизкенгш в консервативном силовом поле полная энергая, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии, остается постоянной. В следующем параграфе ($2) мы увидим на конкретных вадачгх, как использовать закон сохранения энергии для интегрирования уравнений движения. 3. Равновесие. Устойчивость. Уравнения движения в сочетании с допущением, что р= — йгай у, дают возможность исследовать проблему равновесия в консервативном поле. Говорят, что материальная точка находится в равновесии в данном силовом поле, есля она остается в покое.
Это возможно лишь в том случае, если скорость и ускорение материальной точки равны нулю в течение всего рассматриваемого промежутка времени. Поэтому иэ уравнений движения вытекают следующие необходимые условия равновесия: ягад(г=О или У„=О, ггч=О, У,=О. Но этими же уравнениями определяются точки, в которых потенциальная энергия (г имеет стационарное значение. Особый интерес представляет тот факт, что точка, в которой потенциальная энергия имеет строгий минимум, является точкой м а ь дивэвввнцилльныв явлвнвния даижвния тачки 439 устойчивого равковвсил.
Равновесие называется устойчивым при следующем условии: если вызвать достаточно малое нарушение равновесна, то все последующее движение будет сколь угодно мало отличаться от состояния покоя. Точнее, по двум нзперед заданным произвольно малым положительным числам р н а можно найти два положительных числа 3 и я, столь малых, что если отклонять матернальную точку от ее положения покои меньше чем на в, сообщив ей прн этом еще скорость, меньшую по модулю чем ч, то во всем дальнейшем движении отклонение точки от положения равновесия не превысит расстояния р, а модуль ее скорости ме превзойдет начального значения а, Замечательно, что эту теорему об устойчивости равновесия можно доказзть, не доведя до конца интегрирование уравнений движения. Доказательство опирается только на допущение, что в рассматриваемом положении равновесия потенциальная энергия имеет собственный (строгий) миннмум.
Для упрощения мы предположим, что положение равновесия, в котором потенциальная энергия У имеет минимум, накодится в начзле координат; в противном случае эту точку можно привести в начало с помощью параллельного переноса осей координат. Мы знаем, что потенциальная энергия У, согласно своему определению, содержит произвольную адднтязную постоянную, нбо функция У и функция О+ сопят дают одно и то же силовое поле, так как при дифференцировании постоянная пропадает.
Поэтому можно принять без уменьшения общности, что минимальное значение 0(0, О, О)=0. Опишем вокруг начала координат сферу Ю, радиуса г; в силу нашего предположения, что функция (У имеет в начале координат минимум нуль, значение г (р можно выбрать столь малым, что на сфере Я, и внутри ее всюду будет У >О. Обозначим наименьшее значенне функции У нз сфере 8, через а; по условию, а) О.
Поэтому ясно, что мзтернальная точка никогдз не достигнет поверхности сферы Ю„ пока ее потенциальная энергия остается меньше чем а. Так как функция У непрерывнз, то можно найти число Ь, аавнсящее от а н столь малое, что в сфере 8а рздиуса 6 с центром в в начале значение У не превышает — . Выберем теперь начальное положение материальной точки внутри сферы Яа и сообщим ей начальную скорость со столь малым модулем тв что начальное значение кинетической энергия 1, . л 1а — — улъ 2 ' 2' Га другими словами, па< ™аг,' —; тогда, в силу закона сохранения энергия, всегда будет 1+ У= 1а+ Уа» а, 440 гл.
т1. СвВДпиия О Диеввгвнцилльных твлвНПНИЯХ 1! ф 2. Примеры нв механики точки 1. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту. В качестве простейшего примера рассмотрим движение материальной точки под действием силы тяжести. Положительную ось а направим вертикально вверх. Тогда уравнения движения (после сокращения па ю) примут следующий вид: — у=О, ,Гзу аах — =О, ага Интегрируя зти уравнения, получим координаты вектора-скорости: „— = — ьг+с,, Й ах дт — =а, ' — =Ь, ау ат где а„Ь, и г,— постоянные; интегрируя еще раз, получим координаты дви- жущейся точки кзк функции времени: х = а,т+ ап у =- Ь,Г + Ь„а = — ~ Г'+ е,т+ сю 2 где а„Ь, н с,— тоже постоянные.
Значения шести постоянных интегрирования получаются нз начальных условий. Не ограничивая общности механической задачи, можно выбрать систему координат таким 'образом, чтобы в момент времени с=О материальная точка находилась в ее начале. Полагая в последних трех уравнениях т = 0 и х=у = а= О, сразу получаем а, = Ь, = с, = О. Далее можно принять, без потери общности, что начальная скорость лежит в плоскости гх, так что проекция Ь, начальной скорости на ось у равна нулю.
В силу зтих допущений,у(Г) =0 при всех значениях Г, и траектория движущейся точки является плоской кривой,— оиа лежит в плоскости хх, Остальные дза уравнения з= — — та+ с т й' $ ,т= а,б Так как всегда Т) О, то всегда будет У(а, и поэтому материальная точка не может никогда удалиться от положения равновесия на расстояние, большее числа г. Далее, так как У=»О, то Т(а в продолжение всего движения, н для модуля и скорости всегда г 2а бУдет и( "1Гг — . ю ' В силу непрерывности функции У, число а стремится к нулю Г2а вместе с г. Поэтому г можно выбрать столь малым, что тг — (а, т.
е. а( — тз, так что модуль скорости всегда меньше чем е. 1 2 Таким образом, если начальное положение материальной точки находится внугри 8„т. е. ее начальное отклонение меньше чем а, а наl а чальнаа ее скоРость имеет модУль па( тг — =тЬ то она всегда останется внутри сферы 8, радиуса г(р и всегда модуль ее скорости будет ю(з. э 2, пРимеРы из мехАники точки дают параметрическое представление траектории. Иск.чючив из них время Г, получим явное уравнение траектории г= — —,х+ — х. к э, с, 2аэ а, Это — парабола, обращенная выпуклостью вверх, с осью, параллельной оси г.
Вершина параболы соответствует максимуму функции г(х), и ее координаты (хо г,) находим, решая уравнение г'(х) =0: а,с, я а,'с-', с, а,с, с', х,= —, а' 2а', аэ а, я 2л' [Начальная скорость а,=(ао О, сг). Всегда можно принять а,)0; для этого надо направить положительную ось х в ту сторону, куда указывает горизонтальная компонента начальной скорости. Если прн этом с, ~0, то начальная скорость направлена (вообще говоря, не вертикально) вверх.] Для достижения вершины параболы движущейся точке потребуется тогда время х, с, Т= — ' = — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
