1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 58
Текст из файла (страница 58)
интегрируя сперва по у, а затем по х. Эта теорема вполне соответствует правилу дифференцирования интеграла по параметру (и 1). Для того чтобы извлечь еще одно следствие, будем рассматривать один из верхних пределов, например Ь, как переменный параметр.
Двойной интеграл можно тогда дифференпировать по атому параметру. По теореме о производной определенного интеграла по 264 ГЛ. 1У. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ верхнему пределу имеем Аналогично, рассматривая р как переменный параметр, получим ь д ~ ~ т(х, у) лх ну = ~ У(х, В) х. л а Ив последних двух равенств, дифференцируя первое из них по р' или второе по Ь, получим дд дт ~ $.у(х~ у) йхйу= т(Ь, гя). Полученный результат выражается словесно так; производная повторного интеграла по одному нз верхних пределов равна обычному определенному интегралу по той стороне прямоугольника, которая соответствует этому верхнему пределу. Смешанная производная по обоим верхним пределам Ь и р равна значешгю подынтегральной функйии в вершине (Ь, р) прямоугольника ').
'Теорема об изменении порядка интегрирования имеет много приложений. Например, с помощью этой теоремы часто удается вычислить обычный определенный интеграл от функции, первообравнэя которой не выражается в конечном виде через элементарные функции. В качестве примера вычислим несобственный интеграл е-аа е-ьл 1= ах, х э сходящийся при а) О, Ь О. Величину т можно представить в виде повторного интеграла в 'г = ~ а'х ()е лу ау. ь а Но этот интеграл несобственный, и к нему нелопустимо сразу применить теорему об изменении порядка интегрирования. Поэтому мы сначала напишем т ь т' = 1пп ( ах ~ е лл ау т- ') Обращаем внимание читателя иа связь этой формулы с теоремой об изменении порядка дифференцирования (гл. й, 4 З„п 3) и рекомендуем продумать самостоятельно, в какой мере зги два факта можно считать эквивалентными. а( а з.
пьивидянни кьатного ннтнгьлла к позтоьноми 266 и только теперь изменим порядок интегрирования ь ь г1 а-тт Ь „, тт 7=!!ш 1 с(уы!и — — !!ш 1 — ((у. т сь,) У а т ! а а Интеграа в правой части ь ть -тт — с(у = —. с(у ) у' а а стремится к нулю при Т сс, а стало быть, Г а- — ь-ь Ь 1= а(к=1п —, к а Тем же способом можно доказать следующую общую теорему.
Если т (Г) есть кусочно гладкая функция при Г)О и если — а(Г сходится> то г у(г) 1-$ У( ) — У" ' Дк-У(О)!и — ' (а)О, Ь)О). к а о Действительно, и здесь можно представить искомый интеграл в виде повторного: со а у 1 =~ с(к)У'(ку) с(у, ь а.потом действовать совершенно так же, как в последнем примере. у! х-а Фь (х> и ~ т (х, у)(ту; Ес(х! 3.
Распространение результата на двумерные области более общего вида. Перенесение полученного результата с прямоугольных областей на области более общего вида не вызывает никаких затруднений. Начнем с вы- Рис. 67. пуклой области 0 (рис. 67), т. е. с такой области, граница которой пересекается любой прямой не более чем в двух точках, если только в состав границы не входит целый отрезок прямой (это допускается). Пусть область 0 лежит между опорными прямыми (т.
1, стр. 314 и 316 и т. 1(с упр. 1б на стр. 121) х=а, л=.Ь ну=а, у=р. Для точек области 0 абсцисса х изменяется в интервале а ~ х ~ Ь, а ордината у — в интервале а~у~у. Рассмотрим интегралы тс (т! у(х, у) (тх ш (у! 266 ГЛ. )7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ они берутся вдоль отрезков, по которым прямые у=сопя( и прямые х=сопат (соответственно) пересекают нашу область, Пределы интегрирования (ф)(у) и уа(у) обозначают абсциссы точек пересечения прямых у=сопя( с границей области, а ф)(х) и ()В(х) — ординаты точек пересечения прямых х=сопа( с границей области.
Стало быть, РВ (У) интеграл ) Д(х, у)((х является функцией параметра у, который со- м (у) держится не только в подынтегральной функции, но и в каждом иа ФВ ЕО пределов интегрирования. Аналогично $ У(х, у)((у является функ- Фг Гк) пней параметра х. Искомое представление двойного интеграла по области 0 в виде повторного интеграла записывается теперь так: а ФВ(М В ФВ(к) Ц у (х, у) ()8= $ ((у $ У(х, у) Ых= $ ((х $ ~(х, у)((у. И (У) а Ф~(к) Для доказательства выберем на дуге у=фа(х) конечное число точек так, чтобы расстояние между любыми двумя соседними точками было меньше положитель- Ы у), (~) ного числа 3. Каждую пару соседних точек мы 'т'а соединим ломаиой линией, лежащей в О и состояшей из одного горизон- Т (л) тального и одного верГ( () тикального отрезка прямой (рис. 68).
Такую же операцию мы произведем Рис. 68. с нижней границей у= =ф)(х). Таким образом мы получили область О, содержашуюся в 0 и разбиваюшуюся на конечное число прямоугольных областей. Нижняя часть границы области О имеет уравнение у = у) (х), а верхняя часть — уравнение у=ф,(х), где ~ч(х) и ф,(х) — кусочно непрерывные функции (рис. 68). На основании доказанной теоремы для прямоугольных областей имеем В ФВ(к) Ч~(х, у)((Ю= ~ ((х ~ у(х, у)((у. ь ф((к) Так как функции ф)(х) и фа(х) равномерно непрерывны, то при безграничном увеличении числа точек деления и при 8 -Р 0 функции ф)(х) и уа(х) стремятся равномерно к ф)(х) и ф,(х), и в результате ф.
(к) Фя(к) йш ~ Д(х, у) ((у = ~ Д(х, у) ((у ф( (к) ф((к) а) а а. пянввдяннв каатного интвгвала к повтовномт 267 равномерно относительно х. Отсюда вытекает, что фе )х) Е фе )х) 1)щ$ Их $ у(х,у)Иу=(Их $ у(х,у))(у. е о С другой стороны, при 6-ьО область 0 стремится к области О. Поэтому Иш Ц у(х, у) Ия = Ц у(х, у) Ю во о Комбинируя три из полученных равенств, приходим к окончательному результату: а фе)х) )) у(х, у) )И= ~ етх ~ ) (х, у) е(у, о а фе ).е) Доказательство второго утверждения можно провести тем же способом.
Сходное рассуждение применимо и к невыпуклым облзстям, имеющим, например, форму, изображенную на рис. 69. На этот раз мы предполагаем только, что граница области пересекается лю. бой прямой, параллельной оси х или осн у в конечном числе ! точек (впрочем, н здесь допускается случай, когда такая прямая имеет с границей об- ! ласти общий отрезок), Под символом ) у(х, у) Ыу мы будем теперь понимать сулг.иу инте- ) гралов по у от функции у(х,у) при постоянном х, распростра- хф пенных на все отрезки, кото- Рис. 69.
рые являются общими у рассматриваемой прямой х=сопа) и облзсти О. У невыпуклой области число таких отрезков может быть больше единицы. Это число может при переходе через некоторую прямую х= ф измениться скачком (как на рис. 69), причем и интеграл)т(х,у)ф(у как функция параметра х может иметь конечный разрыв при х= с. Однако, двойной интеграл по области 0 можно и в этом случае представить в ваде повторного интеграла ь ) ') у(х, у) )ея = ~ е(х ~ ~(х, у) Ыу, где интегрирование по х надо произвести по всему интервалу от а до Ь между крайнимн вертикальными опорными прямыми области 0 ГЛ. 1Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В доказзтельство этого предложения не придется вносить супгественнык изменений, Ясно, что возможно и приведение к другому повторному интегралу: а ЯДх, У)Ю=~ 1(У~~(х, У)1(х. Примеры. 1) Пусть область 0 есть круг х'+у'(!.
Тогда преобразование двойного интеграла в повторный имеет следующий вид: +1 + тг1:хт +1 +т 1:~* ~~у(х, у)я8= ~ ох ) у(х, у)оу= ) оу ) у(х, у)ях. — 1 — т'à — х4 2) Если область интегрирования — круговое кольцо между окружностями хл+ут= 1 и х'+у'= 4 (рис. 70), то -1 +т4 — хл з -1- т'е — хл )гг)у(х, у) яхдухх )г ях г) у(х, у) ну+) лх ) у(х, у) ау-1- ст — т"4 — х* -(4 — ах 1 — хл +1 + т~~-хт +( дх ( у(х,у)оу+ ( ях ~ у(х,у)ду.
— У4-, 4 + УТ-хл Рнс. 71. Рис. 70. 3) Область интегрирования — треугольник, ограниченный прямымн х =у, у=О и х=а, а~ 0 (рис 71). Если первое интегрирование произвести по х, то получим а а ф'(х, у) я'о = ~ яу ( у(х, у) я'х, о у а если в первую очередь интегрировать по у, то а х ~~У(х, «) лЮ=~ е1х(У(х, у) яу.
о, Сравнение обоих результатов приводит к полезной формуле х(ирлхле1 а х Ф х ох ~У(х, «) лу = ~ лу ~У (х, у) ях. е у 4) а 3. пРнзедение кРАтнОГО интеГРАлА к позтОРномУ 269 В частности, если у(х, у) =у(Р), т. е. зависит только от у, то формула Дирихле даст к « г ) огх )у(у) огу=~у(у) (а — у) огу. л о к Отсюда видно, что если интеграл~у(у) г)у праиитегрировать еще рлз (по х), то результат можно представить в виде простого интеграла (это частный случай более общего предложения, стр. 243, пример 2). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
