1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 53
Текст из файла (страница 53)
-УГ= «» ж Непрерывность и дифференцируемость интеграла какфуикции нараметра. Если функция г(х,у) равномерно непрсрывна в рассматриваемой области, то интеграл ь »и(х)= $у(х, у)г»у О является непрерывной функцией пг»раметра х. В самом деле, ~ь ~г ~-~-»~ — «( я-()»о»-» «~ — н,»»ь(» О Ь е= » ~ Ях + й, у) — Пх, уЯ»»у, О но, в силу равномерной непрерывности функции у(х, у), подынтегральная функция в правой части становится сколь угодно малой при достаточно малом»», к тому же равномерно относительно у, а отсюда вытекает наше утверждение. Ив доказанной непрерывности функции р (х) следует, что ее можно интвграровать по параметру х на отрезке (е, р]: г г,ь )г»» =ЯД,у~»«)а. « «л Стожций справа интеграл называется повторным интегралом; его принято также пйсать в следующем более простом виде: а,ь гь ~ ~~ г" (х, у)»»у)»»х = ) ~ Дх, у) йуг(х.
а л «а Естественно возникает вопрос: а можно ли интеграл от функции, 'содержащей параметр, дифференцировать по этому параметру? Рассмотрим сначала тот случай, когда пределы интегрирования постоянны, и предположим, что Д(х, у) имеет непрерывную частную производную у«во всем замкнутом прямоугольнике О. Тогда естественна мысль попытаться получить производную интеграла по параметру х следующим путем: вместо того, чтобы сначала интегрировать, а потом дифференцировать, выполнить эти операции в обратном порядке, т. е.
сперва дифференцировать ?(х, у) по х, а затем полученную проиа- а1 з (. овыкноввнныз ннтвгиллы клк огнкцни плвлмвтвл 241 водную ул интегрировать по у. В уточненном виде эта мысль выражается следующей теоремой: Если подынтегральная функция г(х,у) имеет в замкнутом нрямоугольншсе 0: а - х ( р, а ~у ~ Ь нелрерывнув производную по параметру х, то можно дифференцировать по параметру под символом интеграла, т. е. при и --х(~ — Р (х)= — ~ у(х, у)((у = ~ ~„(х, у)((у.
Доказательство. Если оба значения, х и х+Ь, принадлежат интервалу а~х(~, то приращение функции р(х) запишется так: ь ь >о (х + Ь) — Р (х) =Ъ 1(х + Ь, у) с(у — ~ Х(х, у) Ыу = а я ь = ~ (У(х+ Ь, у) — У'(х, у)> а)у. я Так как у(х,у) дифференцируемз, то ее приращение, стоящее под знаком последнего интегралз, можно преобразовать по теореме о среднем значекии (из дифференциального исчисления) в ее обычной форме У( ->- Ь, у> — Р(х, у) = ЬУ„( >- ЕЬ, у) (О < В < 1) участвующая здесь величина З зависит от у и не исключено, что она не будет непрерывной функцией от у.
Однако для лальнейшего зто не имеет значения, ибо из равенства У (х + зи, у) = ' У ' У видно, что И ул(х+ЗИ, у) является непрерывной функцией от х и у, а стало быть, является йнтегрируеиой функцией. Наша цель — доказаттч что )) Р~(()) Р ) ) () >г( г) ь-о О Для итого достаточно показать, что рззность между отношением р(х+ И> — р(х> приращений и интегралом в правой части стремится И к нулю при Ь-эО.
Но ь ь Р( +и> Р(х> — ~ е (х, )ц)у = $~'„(х > бй,у) — с (х,у)>ну а а ь ~ ~ ! У, (х+ ВЬ, у) — ~, (х, у)1Ыу. ГЛ.)Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Так как, по условию, производная у„ непрерывна в замкнутом пря- моугольнике О, а стало быть, и равномерно непрерывна, то ( у„(х+ 86, у) — у„(х, )т) ( ( е, где з — положительная величина, не зависящая от х и у и стремящаяся к нулю при й -ь О. Поэтому последний интеграл меньше, ь чем ) еп)у=е(Ь вЂ” а), и, следовательно, стремится к нулю при ))-РО. а Теорема доказана. П о п у т н о е з а м е ч а н и е.
С помощью этого правила можно получить простое докаэательстао теоремы, которая уже была доказана в гл. П, й 3, стр. 71, о том, что при вычислении смешанной производной а»л функции в(х, у) порядок дифференпированил по х и по у безразличен, если только а непрерывна. Длл доказательства положим у (х, у) = лл (х, у).
Тогда л (х, у) = л (х„а) + ) у (х, Ч) аЧ. Так как у(х,у) имеет в прямоугольнике а «х «й, а «у = Ь непрерывную производную по х, то У л» = л» (х, а) + ) у» (х, Ч) а'Ч, а откуда н»т = у» (х, у). д С дРУгой стойоны, нл»=~ — Яу — — У»(х,у). Поэтом)' л»т=лл». 1 хну П р и и е р. Пусть г" (х) = ! = агсэ)их. Следоаательно, ,! )Г1 — х'у' а 1 Г'(х) = . Но тот же результат получится, если сначала дифферен)г! — х' цироеать по параметру под знаком интеграла, а затем интегрировать ) Ь" (х) = ау 1 )Г(1 — х'у')' )Г! — хл о Подобным же образом можно установить непрерывность интеграла, содержащего параметр, и правило дифференцирования по параметру под знаком интеграла в том более сложном случае, когда )йтеделы интегрирования являются функциями параметра.
Если, например, тре- буется дифференцировать по х функцию Ет 1») Р(х)= 1 У(х,у)ду, тг 1») 21 $ т. Ояыкнозенные интегРАды кАк ФУнкции пАРАметРА 243 то ее представляют как функцию трех параметров и, о, х так: Р(х)=(У'(х, у)г(у=ф(тт, о, х), и где и=фа(х) и о=фа(х). В данном случае рассматривается область О, ограниченная кривыми у=фа(х) и у=фа(х) и прямыми х=о и х='р. Предполагаем при этом, что ф2(х) и ф,(х) имеют непрерывные производные по х в интервале его изменения и что функция у(х, у) непрерывно дифференцируема в области, охватывающей область О. По правилу цепочки имеем Р' (х) = — + — — + — —.
де дф ди дф до дх ди дх до дх Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (т. 1, гл. 11, й 4, по 4) приходим к следующему результату: Ра 1.т1 Р'(х)= ~ ~„(х, у)г(у+фа'(х)~(х, фт(х)1 — фт'(х) у(х, ф,(х)). Фт1и1 Примеры. 1) Пусть Р(х)=)Райт(ху) ЫАЕ1 тогда о Р" (х) = ~ у сгн (ху) ду + мп (х'). 2) Рассмотрим совокупность интегралов х Ри (х) =* 1 У (ч) ду, Ри (х) = 1 У (у) т(у, где л — любое положительное цеаое число, а У(у) есть функция одного только у, непрерывная в рассматр)(наемом интервале. Наше правило дает теперь Р и ( х ) Р и т ( х ) [второй член исчезает, ибо подынтегральная функция обращается в нуль прн у=ф,(х)=х, а третий член исчезает, ибо ф;(х) =О).
Из полученной формулы в сочетании с тем, что Р,'(х) =у'(х), вытекает, что Р 1 и + 2 1 ( х ) У ( х ) Стало быть, Р„(х) есть такая функция, (и+1)-я производная которой равна У(х) и которая, вместе со своими л первыми производными, обращается в нуль при х = 0; она получается нз Р„ ,(х) интегрированием от 0 до х. Следовательно, функцию Р„(х) можно получить, интегрируя У(х) повторно и + 1 раз между пределами 0 и х, т. е. повторное а-кратное интегрирование функции у(х) от 0 до х можно заменить одним-единственным 244 ГЛ.1Ч.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ х-~У' интегрированием функции У(у) по ук и1 ах ~ лх... ~ /(х) лх = — ~ (х — у)" у(т) Ф. в в в 1 и1 о ! л+ Рвв Этот результат был получен в первом томе другам путея (см. т. 1, гл. 1')г, $4,п 8), Правило дифференцирования интеграла по параметру часто остается справедливым, хотя бы дифференцирование под знаком интеграла и привело к функции, не всюду непрерывной. Вместо того, чтобы пользоваться в таких случаях общими критериями с громоздкой формулировкой, целесообразнее, когда в этом возникает надобность, исследовать в каждом отдельном случае, допустимо лн дифференцировать под знаком интеграла В качестве примера рассмотрим эллиптический интеграл (т, 1, стр. 283, 288) +1 и'(И) = (Лв ~1).
т)'(! .в) (! Ивхв) — 1 Функция У()т, х) = У (1 — х') (1 — Лвх') имеет разрыв при х=1 и х= — 1, но интеграл сохраняет сммсл как несобственный. Формальное дифференцирование по параметру И дает +1 Ихв)тх ) )) — *'))) — т )' Длв того чтобы исследовать, справедливо ли зто равенство, надо повторить то рассуждение, которое привело иас раньше к общей формуле дифференцировайия. Мы получаем +1 +1 Р(И+И) — Р(Л) ( ( (И+ЕЛ)хадх — 1 -1 Это выражение отличается от интеграла, полученного путем формального дифференцирования, на +1 й= х' (' Л+ ЗИ И а'х. )~! — х' (, ))~ (1 — (Л + аИ)' х']' 'у) (1 — Ивлв)в ) — 1 Требуется доказать, что этот интеграл при Л О стремится к нулю. Для этого мы окружим Л интервалом Л,<И(л„который не содержит значений И=! и И= — 1, и выберем Л настолько малым, чтобы значение И+ЕЛ з) в !.
Овыкновенные интеГРАлы кАк ФУнкции НАРАметРА 245 А непременно попало в зтот интервал. Функция непрермана "у' (1 — А'ха)' в замкнутой области — 1~х(1, А,(А~А„следовательно, она там равномерно непрерывна. Позтому разность ! р-р+ е ~! утГ-тР~ остается меньше некоторого числа в, не зависящего от х и А и стремящегося к нулю, когда А — О, Вместе с тем интеграл Ь остается по абсолютному значению меньше чем +! х' г(х угТ вЂ” х' — ! где М вЂ” определенное число, не зависящее от а, т.
е. интеграл Ь стремится к нулю, когда М стремится к нулю, что и требовалось доказать. Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла в данном случае законно. Подобйыеже рассуждения приводят к цели и в других случавх. Несобственные интегралы (с бесконечным промежутком интегрирования), зависящие от параметра, будут рассмотрены в Дополнениях к втой главе, й 4. Упражнения ! 1. Вычислить Р(у) =~хз '(у1пх+!)!(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
