1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для ее решения надо определить точки минимума функции г (х, у) = х' + у', подчиненные условию р (х, у) ьв (х — 1)' — у' = О, Рнс. 60. Из рис. 60 видно, что ближайшей к началу точкой этой полукубической параболы является ее точка заострения А (1; 0) (легко доказать, что окружность радиуса 1 с центром в начале координат не имеет других общих точек с нашей кривой). Координаты точки А, т.
е. Е= 1, я=О, удовлетворяют, очевидно, уравнению ух+ Л»„=0 и даже при любом значении Л, но У (Е Ч)+Лр (Е Ч» 2Е+ЗЛ(Е 1)а 2фО Доказательству правила неопределенных множителей можно придать несколько иной вид, который особенно удобен для обобщения, $6. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 211 Этот новый вид локазательства основан иа другой формуляровке необходимого условия экстремума.
Мы знаем, что необходимым условием наличия в некоторой точке экстремума функции одной или многих перемеииых является обрашеиие в нуль диффереициала функции в этой точке. И в нынешней проблеме условного экстремума можно дать соответствующей теореме следуюшую аиалогичиую формулировку: Лля того чтобы функция г(х, у) имела в точке (1, ц) экстремум, подчиненныи условию р(х, у)=0, необходимо, чтобы дифференциал йР' обращался в нуль в этой точке, когда дифференциалы йх и йу уэке не являются независимыми друг от друга, а связаны соотношением Й~ ы о йх+ о„г(у = О, вытекающим из условия р(х, у)= О.
Таким образом, если числа ах и ау удовлетворяют условию бай=О, то они в точке (1, Ч1 ВИПУ(шмума непременно должны удовлетворять уравнению йУ: — У„(Ц ч)йх+г (1, п)йу=О. Сложим это уравнение с предыдущим соотношением, помноженным иа иеопределеииый пока множитель Л; в итоге получится (Ух+ Л~рх) й + — (г + Л~р ) йу = О. А теперь выберем Л так, чтобы было У„+Лр,=О (это выполнимо в силу предположения, что о ~ 0» тогда обязательно будет (~ +Лу„)йх=О, Но диффереициал йх можно выбрать произвольио, например равным 1, и следовательно, также сх+)Ух=О.
Итак, новый вывод правила Лагранжа завершен. 6. Обобшеиие метода иеопределеииых миожителей. Правило иеопределеииых множителей можно обобщить иа любое число перемениых и иа любое (ио, конечно, меньшее) число дополиительиых условий. Мы здесь рассмотрим только частиый случай, ио ои содержит в себе все существенные черты общей проблемы. Пусть требуется определить экстремумы функции и = р" (х, у, г, 1) при том условии, что переменные х, у, г, с удовлетворяют двум уравнениям ср(х, у, г, 1)=0, ф(х, у, г, 1)=О. (Эти условные уравнения называются также уравнениями связей.) ДопУстим, что в точке Р($, ть Р, ч) фУнкциЯ и действительно имеет 212 гл. Нь постяоение диФФеяенцилльного исчисления 1а определенного вида экстремум по сравнению со значениями функции во всех соседних точках, удовлетворяюших двум уравнениям связей.
Допустим также, что в точке Р якобиан д (т, ф) не обращается в нуль. В силу этого последнего допущения (см. $3, по 7), переменные г и 1 можно выразить ив двух условных уравнений в виде дифференцируемых функций От двух других переменных х и у: г=л(х,у) и М л(х,у). Подставим эти два выражения вместо г и 1 в исследуемую функцию п=у(х, у, г, 1). Тогда у(х, у, г, 1) преврзтится в функцию двух независимых переменных х ну, и эта функция должна иметь в точке х=(, у= а свободный экстремум.
Стало быть, в этой точке должны обратиться в нуль обе частные производные этой функции: ~.+У дх+~ дх=' дг дг дг дг дг Участвуюшие в этих уравнениях четыре производные —, — — и дх' ду' дх дг ду — надо выразить нз уравнений связей, дифференцированием которых можно получить следуюшие две системы уравнений: дг дг Ух+9» дх+9~ дг дг 1~~+Ф,д — +ч,— =О, У У дг дг фг+(. д +Фг ду — — О. Общим определителем этих двух. систем уравнений является якобиан д(,, Ф) , который, согласно допущению, не обращается в нуль. Поэтому о(г, Г) ' из последних двух систем уравнений можно определить искомые дг дг дг дг величины —, —, и —. Подставив их выражения в уравнения (1), дх' ду' ох ду' мы получили бы вместе с уравнениями Ф=О и ф=О систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными х,у, х, 1 для определения стационарных точек, и задача была бы решена.
Однако, вместо этого пути, мы для достижения формальной симметрии и, пожалуй, большей ясности предпочитаем действовать сле- 213 Фа.максимумы н мнннмумы дувшим образом. Найдем такие два числа Л и р, чтобы в точке экстремума удовлетворялись два уравнения Р,+Лу,~-р(,=О, Л+ Л'Рг+ РФ! = О. Определение этих двуя чисел Л н (ь всегда возможно, в силу допущения, что якобнан — Уг — не обращается в нуль. д(, () д (г, г) Помножнм теперь оба уравнения дх дг гх+ Рс дх+Рг дх 0 на Л и р и сложим с уравнением да дг »х+»е дх+»г дх= 'Л в результате чего получится гх+Л9х+(УРх+(»с+ЛсРс+(ст~~дх+(Рг+ЛРе+'(сгг) дх О, да дг а отсюда, в силу определенна Л н Рь вытекает У„+ Л р„+ (.о„= о.
Действуя аналогично, сложим уравнение у»+у.— +, у.— = о да дс с уравнениями дг дс да дг 9» + 9с д» + 'Рг д» = 0 " Ф» + Ь д» + Фс ~ = 0 помноженными предварительно на Л и (с соответственно, н получим дх дт ~»+ЛЬ+р(»+(Л+ЛР +рЬ)д +(гг+ЛЬ+р)с)д =О. Отсюда, в силу определенна Л н р, имеем у»+ лэ»+ ре» =о. Итак, мы пришли к следующему результату: Если Яунхция» (х, у, х, Р) имеет зхсгпремум в точке Р(1, таь, ч), подчиненной уравнениям связей у(х,у, х, Р)=0 и ф(х,у, х, ()=О, причем а этой гпочне янобаан — '~ О, то туяаествуют талие д(т, () д (г, с) 214 гл.
ш. постговнна диээсввнцнлльного исчисления ~з деа числа ) и (с, что е точке Р, кроме двух уравнений связей удовлетворяются еще и следующие четыре ураененит У„+Ьр„+йф„=о, У,+Лф„+рф,,=о, У,+1ф,+йф,=О, Х~+) т~+ йФ~= О. Последние четыре уравнения совершенно симметричны. Переменные х и у утратили свое привилегированное положение, и мы пришли бы к этим же четырем уравнениям, если бы исходили из допушения,что не обрашаетсявнуль какой-либо один(безразличнокакой) из якобианов †' , †'-' †, ..., †' , а не обязательно под (т, ф) д (а, ф) д (,р, ф) д ( с, у)' д (х, г) ' ' ' ' д (е, г) ' следний из них. Из этого допущения вытекало бы, что какая-то пара из четырех величин х, у„г и 1 (возможно, вовсе не г и Г) может быть вырзжена через оставшуюся пару в окрестности точки Р.
Правда, эта симметрия достигнута ценой введения еше двух неизвестных, множителей Лагранжа ). и(с, в дополнение к неизвестным $, ть ~ ч. Вместо четырех неизвестных мы имеем теперь шесть, и для их определения располагаем таким же числом уравнений. И здесь можно провести доказательство более изящно, пользуясь аппаратом дифференциалов. Тогда необходимое условие наличия в точке Р экстремума надо записать в таком виде: ИУ(х,у, г, ()=У'„с(х+ф(у+~,г(г+~,й=О.
Дифференцизлы ах, ау, с(г, й, участвуюшие в этом уравнении, свя- заны двумя соотношениями Иф ж ф Ых+ ф Фу + ф,Ыг + ф,Ж = О, аф: — ф ах + ф„с(у + ф,с(г + ф,сЫ = О, которые получены дифференцированием уравнений связей у=О и ф=О. Допустим, что не все определители второго порядка, составленные из коэффициентов при с(х, ау, аг, аг в этих уравнениях, обращаются в нуль в точке Р(с, а, ь, ч) Пусть, например, якобиан д(, ф) д(г, с) — ~' — ~-~ О в Р. Тогда существуют такие два числа ), н )с, которые удовлетворяют системе уравнений У, +.).ф, + р.ф,= О, Л+"'Рс+Рфс=О Помножим теперь уравнение с(ф=О на ),; уравнение аф=О на й и полученные два уравнения сложим с уравнением с(с=О; в итоге Ь 6.
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ получится у„+Лр„+рцг(х+(Т +Лр +одйу+д,+Лр,-~-рцй + +д,+л р,+ рог) йс=о. В силу равенств, определаощих Л и 1ь, вто уравнение принимает следующий вид: (Тх + ЛВх + 1г (гх) йх + (гэ + Лгру + 1ьфу) йу О Так как йх и ггу являются здесь независимыми дифференциалами (т. е. проиавольными числамиЛ то отсюда вытекает, что числа Л и 16 удовлетворяют еще и следующим двум уравнениям: У„+Лр. 1-ИЕ„=О, у„-~- лр, -+ р~, = о. Стало быть, мы вновь пришли к правилу неопределенных множи- телей: Пргг любом числе переменных и любом (но, конечно, меньшем) числе условных уравнений правило неопределенных множителей формулируется совершенно аналогично и доказывается тем же путем. Приводим это правило в его общем виде.
Пусть требуется найти экстремумы функции и = р(хг, хь ..., х,), причем ее и аргументов не являются независимыми, а подчинены гп условиям связей (т(п): грг(хг, хь ..., х„)=0, грг(хг, хь .. °, х ) =О, гры(хг1 хь ° "э хх) =О. Тогда надо ввеспш т неопределенных множителей Ль Ль ..., Лы и построить вспомогательную функцию Р=Р+Л,р,+Л,р,-г-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
