1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Семейства кзивых и поввяхноствй; их огнвлющик 191 имеют каждая определенную касательную, и полученное соотношение устанавливает, что кривая Е и кривая семейства касаются друг друга в этой точке. Следовательно, при дополнительном условии Д+Д ~ 0 наше правило дает не только необходимое, но и достаточиое условие для огибающей. Если же ~„и г„обращаются одновременно в нуль, то рассматриваемая точка кривой Е может оказаться особой точкой проходящей через нее кривой семейства (см.
ф 2, и' 2). В этом случае без дополнительного исследования невозможно делать какие- либо заключения о наличии или отсутствии касания обеих кривых в этой точке. Совокупность особых точек кривых семейства может образовать целую линию, входящую в состав дискриминантной кривой; возможен и такой случай, когда вся дискриминантная кривая является геометрическим местом особых точек кривых семейства (когда У =У =0 во всех точках кривой Е). Что касается того о'л ф~ случая, когда — и — обращаются одновременно в нуль, то он менее ое гГс интересен: это может иметь место лишь в отдельных точках кривой Е, которые могут оказаться ее особыми точками. Таким образом, после того, как дискриминантная кривая найдена, необходимо еше всегда специальным исследованием выяснить, является ли она действительно огибающей или же геометрическим местом особых точек семейства кривых, либо, может быть, содержит и то и другое.
В заключение приведем уравнения для определения дискриминантной кривой семейства, заданного в параметрическом виде х = р (1, с), у =ф (й с), (А) где с — параметр семейства, а г — параметр на кривой. Условие у, = 0 заменяется здесь условием Мс — 'РсЪ = О. (В) Это условие можно вывести путем перехода к прежнему виду уравнения семейства г(х,у, с)=0 (с помощью исключения параметра ~). Если удастся получить из (В) выражение 1 через с, то, подставив его в (А), найдем параметрическое представление дискриминантной кривой: х=х(с), у=у(с). Если же из трех уравнений (А) и (В) исключить оба параметра г н с, то уравнение дискриминантной кривой получится в виде л(х,у)=0. 3. Примеры.
1) Семейство окружностей радиуса 1, с центрами на оси л, мы уже рассмотрели наглядно в и' 2, рис. 46. Уравнение этого семейства (х — е)* +уэ = 1. Мы видели, что огибающая должна состоять иэ двух прямых у = 1 и у= — 1. К этому результату приводит и наше правило (*), ибо алесь у(х, у, а) вм(х — э)'+уэ — ! =О и у,— — 2(х — э)=0, откуда для ляскриминантной кривой Е получается уравнение у' = !.
Так как во всех ~очках линии Е производная У = 2у принимает значения ч- 2, а не нуль, то цара прямых уэ = 1 и является огибающей. 162 гд. нь поствопннп дневклйнцндльного нсйнслпннй !з 2) Семейство окружностей радиуса 1, проходящих через начало координат. Ясно, что центры этих окружностей лежат на единичной окружности с центром в начале, и уравнение семейства есть (х — сов с)'+ (у — аш е)' =! У(х, у, с) ии х'+ уе — 2х сщ с — 2у а!и с = О, Уе (х, у, с) еж 2х аш с — 2у ссн с = О.
откуда С С С С С Рис. 47. (зто и есть огибающая, что соответствует наглядному представлению) и из изолированной точки (начала координат), являющейся общей точкой всех кривых семейства. [Легко понять, что если все кривые семейства имеют общую точку А, то зта точка должна входить в состав дискримннантной кривой. Действнтельно, такая точка будет точкой пересечения любых двух бесконечно близких кривых семейства, а стало быть, либо геометрическим местом этих точек будет сама точка Л, т.
е. дискриминантная кривая вырождается в точку, либо точка А должна входить в состав днскримннантной кривой. 3) Йайдем дискрнминантную кривую семейства линий и (х, у) + со (х, у) = О. Приравнивая нулю производную от левой части по с, получим.и(х,у)=0, н для нахожденнв днскрнминантной кривой имеем систему уравнений и(х,у)=0, о(х,у)=0. Еслн эта система совместна, то она определяет несколько отдельных точек— точек пересечения линий и (х, у) = 0 и о (х, у) = О. Данное семейство есть пучок кривых, проходящих через общие точки основных линий пучка: и =0 и о=О.
Итак, дискримннантная кривая п)чка линий состоит нз вершин этого пучка (ср. заключительное замечание предыдущего примера). 4) Семейство кривых может вообще не иметь дискриминантной кривой. Это будет в том случае, когда определяющие ее уравнения у(х, у, с)=0 и Ус(хэ у, с) = 0 несовместны. Эта система уравнений имеет очевидное решение х=у= О, Если же х" +у' ф О, то из наших уравнений вьпекзет, что х= 2 самс, у=2 ми с. Исключив с, получим х' +у' = 4.
Нетрудно проверить, что в точках этой окРУжиоств Ул и Уу не Равны одновРеменно нУлю. Итак, днскРиминантнзв кривая состойт из окружности радиуса 2 с центром в начале координат а1 Б в. семейства криВых и пОВВРхностей; их Огивдющие 193 Рассмотрим, например, линии уровня функции Р(х,у), т. е. семейство кривых Е(х, у) =с. Тогла у(х,у, с)=г(к,у) — с и у,(х,у,с)ю — 1, а следовательно, у не может равняться нулю. Несуществование дискриминантной кривой вполне понятно, так как любые дзе различные кривые семейства Р(х, у) =с не имеют общих точек.) Рис. 48. 5) Для семейства парабол (х — с)' — 2у = О (рнс: 47) получается дискримннантная кривая у —.-О, т.
е. ось х. Так как ух= — 2фО, то огибающей является ось х, что н геометрически ясно. У 6) Рассмотрим семейство окружностей у (х, у, с) ю 2с)а ( уа са = О (рнс. 48). Уравнение у = О прнводитсв к виду 2х — За=О. 2 Подставвв а= — х в уравне- 8 ние семейства, получим дискри- х' минантную кривую Е:у'= —. Так как у„2у на Е обращается в нуль только в начале координат, то Е есть огибающая, состоящаа нз двух пря- х х мых у * — иу* — —, фЧ РЗ' прнчем начало координат пред. ставляет исключение в том Гу 3' смысле, что в нем нет кзсання.
Рис, 49. 7) Рассмотрим семейство прямых линий, на которых оси х и у отсекают отрезки длиной 1, Роль параметра будет играть угол а, отмеченный на рис. 49. Уравнение семейства прямых запишется тогда так: у(х,у, а) ю + — — 1=0, у сюа Мпа 1 Р. Ктраат 194 гл. и!. постРОинни днооиэинннального исчисления !з откуда з1п а сев а х †. у=О зща а соз' а Из этой системы уравнений получаются параметрические уравнения дискриминантной кривой х = солт а, у = а!па а, а отсюда ее неявное уравнение хам+у Н =!. Эта кривая называется исюроидой (ср.
т. 1, стр. 311, упр, 6). Она состоит иэ четырех симметричных Рнс. 50. Рнс. 51. ветвей, смыкающихся в четырех точках заострения (рис. 49 и 50). Так как ! 1 у = — и у' = —. не обращаются в нуль ни при каком значении а, то сова У жп а эта астроида является огибающей нашего семейства прямых. х' у' 8) Рассмотрим семейство эллипсов †, + , = 1 (О ~ е ( 1), полу- с' (1 — с)' оси которых имеют постоянную сумму, равную 1. Это семейство имеет своей огибающей ту же астроиду г хыа+у Н = 1 (рис. 51). 9) Семейство кривых (х — е)'— — у'=0 представляет собой пример семейства, не имеющего огибающей.
Наше правило дает дискриминантную кривую у=О, т. е. ось х. Но во всех ее точках гл и уу обращаются г с п с с г т л т а в нуль. Рис. 52 показывает, что ось х является не огибающей (она не каРис. 52. сается кривых семейства), а геометрическим местом особых точек — точек заострения кривых семейства. 10) Для семейства (х — е)' — у'=0 (рис. 53) а качестве дискриминантной кривой тоже получается ось х. Она и здесь является геометрическим местом точек заострения, но она касается каждой кривой семейства, а стало быть, ее следует считать огибающей. 11) Семейство атрофоид (рис.
54р (ха + (у — с) а] (х — 2) + х = 0 з) з к симвйствд кривых и поввзхностий, их огивлющин 195 интересно тем, что его дискриминантная кривая состоит нз двух линий: огибающей и геометрического места узловых (двойных) точек. Все кривые семейства конгрузнтиы и получаются перемещением одной из иих параллельно оси у. дифференцирование дает Д = — 2(у — е) (х — 2) =О, откуда ю Рис.
53. либо х= 2, либо у= с. Прямая к= 2 в счет не идет, так как при х= 2 не получается конечного значения у. Остается принять у=с, и травнение дискриминантной кривой будет ха(к — 2)+х=О или л(х — 1) =О. Эта кривая распадается на две прямых: х=О и х=1. Из рис. 54 видно, что первая из них, к=О, является огибающей, а прямая х=1 есть геометрическое место двойных точек кривых семейства. 12) Огибающая не обязательно является гео. метрическим местом точек пересечения бесконечно близких кривых семейства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
