1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 39
Текст из файла (страница 39)
б) Доказать, что тРи повеРхности Г,=сопз1, Г,=сопз1 н Га —— сопят попарно ортогональны. в) Выразить х, у, я через го г„ г,, которые можно принять за криволинейные координаты в пространстве. Систему Г„ Г„ Г, можно назвать системой гфокальных коорлинатэ.
7. Доказать, что преобразование плоскости ху, заданное уравнениями '= ~ ("+ — ") =Ы вЂ” ) а) конформно; б) преобразует прямые, проходящие через начало, и окружвостис центром в начале координат плоскости ху в софокусные конические сечения .
(кривые второго порядка) с=сонат, определяемые уравнением Р а ! ! + с+в 2 2 8. Инверсия в трехмерном пространстве определяется формулами 6= у х'+у'+л" ! х'+у'+л" ха+у'+л' Доказать, что а) угол между любыми двумя поверхностями не изменяется при инверсии; б) птаровые поверхности переходят либо в шаровые поверхности, либо в плоскости. 9. Доказать, что, если нормали к поверхности л= и (х, у) встречают ось л, то эта поверхность является поверхностью вращения. $4.
ПРИЛОЖЕНИЯ иу ф 4. Приложения 1. Параметрическое ввдвние поверхности. Лля исследовзиия поверхностей, как и для изучения кривых, часто самым удобным оказывается параметрический способ задзния, но при этом требуется уже не один, а два параметра, которые мм обозначим через и и ж Таким образом, пзраметрическое представление поверхности имеет следующий вид: =,( ) у=ф( ) =х( ) или, в векторной записи: г=г(п, о)=(ф(п, и): ф(п, и), Х(п, э)), где Ф, ф и Х вЂ” заданные функции параметров и и и, а точка (и, тг) пробегает некоторую заданную область 0 плоскости паь Соответствующая точка (х, у, л) описывает некоторый геометрический образ з пространстве хуя.
Этот образ, вообще. говоря, является поверхностью, которую можно представить также уравнением вида я=у(х,у). Пействительно, можно попытаться выразить и и о из каких-нибудь двух уравнений из числа заданных трех через соответствующие две прямоугольные координзты; подставив затем найденные выражения для и и и в третье параметрическое уравнение, получим уравнение поверхности в несимметричной форме, например я=У(аг,у). (Заметим, кстати, что параметрическое представление содержит этот явный вид задания как частный случай, что сразу видно, если положить ж=п, у = ж) Итак, для того чтобы заданная система параметрических уравнений действительно представляла поверхность, должна быть обеспечена возможность описанного только что исключения параметров и и тг, а для этого достаточно предположить, что трн якобнана ~ф.
Ф.! ~х. х.~ ие обращаются одновременно в нуль; этн три условия можно объединить в одном предположении, что (Фифи Фифи) + (ФиХи Фихи) + (ХигРи Хифи) ) (1 (*) При этом предположении действительно возможно в окрестности любой точки пространства, представляемой тремя заданными уравнениями, выразить однозначно одну из координат х, у, л через две другие. П р н м е р 1. Рассмотрим следующее параметрическое представление шаровой поверхности ла +уа + г' = а' радиуса а: х = а сев и Ып и, у = и мп и агп о, л = а сеа э (О ( и <'2и, 0 < в и-- и)г в котором параметрами служат полярный угол п=я и географическая долг ига и =В тачки сферы.
Эа атом примере видно одно из преимуществ параметрического задании. Прямоугольные координаты заданы как явные н притом однозначные 178 гл. ш. постгогнив днвагнвнцняльного нсчиснвния 11 функции от и но. При изменении о=э от О ло —, получается верхняя полусфера, а при —, < о ~ я получается нижняя полусфера. Стало быть, для получения всей шаровой поверхности при параметрическом ее задании не приходится рассматривать две однозначные ветви г= ул )го' — х' — у' двузначной функции г, определяемой неявным уравнением сферы х'+у'+ + г' — а*=О. Можно получить н другое пзраметрическое представление шаровой поверхности с помощью стереаграфической проекции. Принимаем северный полюс )тг(0, О, а) за центр проекций, и нз )тг проектируем все точки сферы на плоскость экватора г=О.
Для этого соединяем прямой линией каждую точку Р(х, у, г) сферы с полюсом йй г точка пересечения !) прямой ХР с плоскостью экватора называется стереографнческим изображением гочки Р сферы (рис. 41). Таким об- — г1- ртгкйл) разом, межлу тачками сферы (кроме северного полюса гу) н точками экваториальной плоскости устанзвлнвастся взанино однозначное соответ. -аи стане. Обозначим прямоугольные юл коорлинаты изображающей точки () в плоскости экватора (относительно осей х и у) через и, о. Тогда из Рнс. 41.
коллинеарности векторов ЯР= = (х, у, г — а» н ЛЩ= (и, о, — а) х у г — а вытекает, что — '= = —, Решая этн уравнения совместно с уравнением и о —.а' сферы ха+у'+г'=а', получим следующие формулы соответствия; 2а'и 2аао (из+ о' — а') а из+о'+ а" и'+ о'+ а" и'+ о'+ а' Эти уравнения можно, очевидно, рассматривать и как параметрическое представление шаровой поверхности, причем параметрами служат прямоугольные коорлинаты и„о изображающей точки 0 в плоскости экватора. х' у' г' При и е р 2. Одяопологтяый гиперболоид —,+ —,— —,=1 (рис.
42) можно представить параметрическими уравнениями х = а соа и сЬ о, у = В яп и сЬ о, г = с зп о (0< и<2я, — со< о<+сю). х* у' г' При м ер 3. Двуиологткмй гиперболоид — — — — + — = ! (Рнс. 43) а' В' с' имеет слелующее параметрическое представление: х=асозизЬо, у=баю из)то, г=-+-сс(то (Оьй и <2я, — со < о<+со). Ларалггшр!тчгсков представление поверхности можно вообще рассматривать как оптображение обласюптт П плоскости по на соотвгтсшвуюгцпй кусок поверхности, причем под словом отображение разумеют, как всегда, точечное соответствие. Каждой точке области 0 $ С ПРИЛОЖЕНИЯ плоскости ив соответствует однз точка поверхности, и обратное утверждение часто тоже справедливо ').
Рис. 42. Рис. 0З. кривой и=и(!), о=о(!) плоскости аго соответствует на данной поверхности кривая лс = ~0 (и (!), (!)) = лс (!), у = ф (и (!), о (!)) = у (!), г=Х(ат(!) о(!)) =г(!) нли, в векторной записи, г=г(!)=(х(!), уЩ, г(!)). Нагример, в параметрическом представлении сферы с помощью географических координат (пример 1) прямым, параллельнмм оси тл и=с=сола!, о=! соответствуют на сфере меридианы лс=асозсз!п(, у=аз)пса!П0, г=-асов(; прямым, параллельным оси и: и=т, о=!а=-сопл! соответствуют на сфере параллели широт у=аз!Путя!Пе, г=асозут. х = ю 5)п А соз т, Стало быть, прямым, параллельным осям плоскости ио, соответствует сетка меридианов и пзраллелей на сфере.
') Правда, не всегда. Бывает н так, что отдельным точкам поверхности соответствуют целые дуги кривых в плоскости ло; например, в параметрииском залании сферы с помощью географическйх координат ее полюсам соответствуют отрезки прямых о= 0 =0 и о= 0 =1т. 180 гл. ш.
постговннв диеввэвнцилльного исчисления 1г 2. Линейный элемент поверхности. Одним из важнейших методов для исследования поверхности является изучение кривых, лежащих на этой поверхности. Мы здесь выведем только выражение для длины дуги з таков кривой на поверхности. На основании гл. Н, $7, п 3 дг дг ди дг дв Так как — = — — + — — то дс ди дс ' ди лс' ( — „) =Е( — ) +2à — — +О( — ), причем, для большей сжатости, введены так называемые гауссовы коэффициенты (ди) (ди) +(ди) +(ди) ' дгдг дхдх 1 дуду дв де ди дв ди дв + ди дв + ди дв ' 0=(д-.) =(.=)+(2)+(2) Эти величины не зависят от выбора кривой на поверхности; для заданнои поверхности они зависят только от выбора ее параметрического представления и от выбора точки (и, о) на поверхности.
Умножив (1) на дза, получим для дифференциала дуги дз илн, как, принято говорить, для линейного элемента поверхности следующую квадратичную дифференциалвную форму от дифференциалов ди и дп криволинейных координат: дзт = Едит + 2Р дигбо + 0 сала.
1Квадратичнои формой называется вообще однородиып многочлен второй степени.) Мы уже знаем (стр. 181), что нормальный вектор поверхности, заданной неявным уравнением Ф(х, у, г)= О, имеет направление градиента функции Ф: асад Ф = (Ф, ф, Ф,1. )(ля того чтобы получить нормальный вектор поверхности, заданной в параметрической форме =Ми ') у=7(и и)* =7.(и.") или (что то же самое) г=г(и, п)=(р(гц и), ф(и, о),;((и, о)), предположим, что эта же поверхность имеет неявное уравнение Ф(х, у, г)=0, Подставив в это неявное уравнение выражения коор- 181 з к паиложзния динат х, у, г через параметры и и и, получим соотношение Ф(~р(и, в), Ф(и, и), Х(гг, о))=О, тождественное относительно и и ж )(ифференцируя это соотношение по и н по и, получим два новых тождества ФМч + Фгфи + ФгХи = О Ф„.е, + Фгфч + Ф,Х„= О или, в векторной записи, 3- 8габ Ф = О и — игад Ф= О. дг дв Из равенства нулю этих двух скалярных произведений вытекает, что дг дг ягадФ перпендикулярен к каждому из векторов — и — а стало ди дз' быть, коллинеарен их векторному произведению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
