1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Нам уже неоднократно приходилось рассматривать кривые (илн поверхности) не как единичные фигуры, а как члены семейстнва кривых (или поверхностей» тзкозо семейство кривых на плоскости у(х,у)= =с„где каждому значению постоянной с соответствует своя кривзя семейства. Число с, постоянное для каждой кривой, но изменяющееся при переходе от одной кривой семейства к другой, называется паралтепэром семейства. Так, например, все прямые плоскости ху, параллельные оси у, т.
е. прямые х=с, составляют семейство. Множество концентрических окружностей х'+у( =е' с центром в начале координат тоже образует семейство кривых; каждому значению е соответствует одна окружность этого семейства, а именно окружность радиуса с. Мы уже встречались с семейством раэнобочных гипербол ху=с, изображенным на рис.
29 (стр. !35» в этом семействе частное значение с=о соответствует вырожденной' гиперболе, состоящей нз обеих координатных осей. Интересный пример семейства линий представляет множество всех нормалей какой-либо данной кривой. Если эта кривая задана параметрическими уравнениями 1 = т(г), ч = ф (г), то семейство нормалей определяется уравнением [х — ч (Г)] Ф (Г) + (у — Ь (Г)) ) (Г) = О; з этом примере параметром семейства нормалей служит параметр Г исход- ной кривой (зместо прежнего с). Теперь дадим аналитическое определение понятия семейства кривых на плоскости ху. Пусть г(х,у, с) обозначает непрерывно дифференцируемую функцию двух независимых переменных х и у н и!(лалгептра с, изменяющегося в некотором ззданном интервале.
(Стзло быть, параметр с есть фактически третья независимая переменная, которой лано другое название только потому, что она играет другую роль, чем х и у.) Так вот, если уравнение у(х, у, с)=0 й аз. свмзйствя кяивых и повягхноствй: их огивлющнв !87 представляет при всяком значении параметра с кривую, то совокупность этих кривых, которые получаются, когда с пробегает свой интервал, называется (однопараметрическим) семейством кривых, зависящим от параметра с. Кривые такого семейства могут быть заданы и в параметрическом виде х=э(1, с), у=ф(1, с), где с есть параметр семейства. Если подставить вместо с определенное значение, то эти уравнения дают параметрическое представление конкретной кривой семейства с параметром ! кривой; изменение парзметра ! (при постоянном с) вызывает движение точки (х, у) вдоль этой кривой.
Например, рассмотренное выше семейство концентрических окружностей х*+у'=с* можно представить и в параметрическом виде к=ссозг, у =с 5!пг. Приведенное выше семейство равяобочяых гипербол тоже можно задать 1 в параметрическом виде х = сс, у = — , с ' Порою приходится рассматривать и такие семейства плоских кривых, которые зависят не от одного параметра с, а от нескольких параметроа. Например, множество всех окружностей на плоскости (х — а)'+(у — Ь)'=с' есть семейство 'кривых, зависящее от трех параметров а, Ь, с. В дальнейшем мы под семейством кривых будем всегда разуметь однопараметрическое семейство, если не оговорено противное. Там же, где они понадобятся, мы для отличия скажем, что речь' идет о двупараметрическом, трехпараметрическом или многопараметрическом семействе кривых. Совершенно таким же путем вводится понятие семейства поверхностей в пространстве.
Если дана непрерывно дифференцируемая функция г(х, у, с, с) своих четырех аргументов и если, прн всяком значении с в некотором интервале, уравнение Дх,у, 2, с)=0 представляет поверхность в пространстве хуе, то совокупность поверхностей, которые получаются, когда с пробегает свой интервал, называется (однопараметрическцм) семейством поверхностей с параметром с.
Существуют также н семействз поверхностей, зависящие от двух или нескольких параметров. Например, множество концентрических сфер х' +у' + в'= с' с центром з начале координат является олиопарамстрическим семейством поверхностей, з совокупность плоскостей, опредсляемая ураввсиясм ах+ау+) 1 — а' — Ь" в+ 1=0, 188 гл. ш.
постговния диеввявнцнлльного исчисления [л является яаупараметряческим семейством с параметрами а я Ь, пробегающими область а'+Ь'(!. Это семейство всех плоскостей, отстоящих от начала координат ва расстоянии, равном единице. Иногда говорят, что однрпарлмегрячсское семейство содержит со' элементов [в давнем случае, поверхностей), лвупараметрнчесяое — сся элементов я т. д. 2. Огибающая м дискриминантнаи кривая однопараметрнческого семейства плоских линий. Если семейство прямых тождественно с совокупностью касательных к некоторой кривой, то эта кривая называется огибающей семейства прямых. Так, например, семейство нормалей плоской кривой С совпадает с семейством касательных к ее эволюте Е; стало быть, эволюта Е является огибающей семейства нормалей исходной кривой С (ср.
т. 1, стр. 327, и Зб2). Ряс. 46. Рассмотрим аналогичный пример семейства окружностей (х — с)я .(- +УЯ вЂ” 1=0, т. е. окружностей радиуса 1, центры которых лежат на осм х (рис. 46). Пара прямых у=1 и у= — 1 касается всех окружностей семейства; в соответствии с этим говорят, что эта пара прямых служит огибающей нашего семейства окружностей. Как получить в этих примерах точку касания огибающей с линией огибаемого семейства? Найдем точку пересечения двух смежных кривых семейства со значениями параметра с и с+л и заставим затем й стремиться к нулю.
Естественно ожидать, что предельное положение точки пересечения и будет точкой касания огибагощей с кривой со значением параметра с. Эту мысль выражают кратко так: огибающая является геометрическим местом точек пересечения бесконечно близких кривых семейства. Встречаются и другие семейства линий у(х,у, с)=0, для которых существует такая кривая Е, которая в каждой из своих точек имеет касание с одной из линий семейства, причем в разных своих точках кривая Е касается разных линий семейства. Тогда кривая Е называется огибающей семейства линий ~(х,у, с)=0. а ь.
свмвйствл кяивых н поввьхностяй, их огивлющнв 189 Естественно возникает вопрос: как найти огибающую данного семейства кривых г(х,у, с)=ОР Начнем с допущения, что огибающая действительно существует и что она является, как в приведенных выше примерах, геометрическим местом точек пересечения бесконечно близких кривых семейства'). В соответствии с этим мы получим аналитически точку касания кривой У(х, у, с) = 0 с огибающей Е следующим путем. Наряду с укаэанной кривой семейства рассмотрим соседнюю кривую 1(х, у, е+ Ь) = О, найдем точку пересечения этих двух кривых, а затем заставим Ь стремиться к нулю. Тогда точка пересечения должна стремиться к искомой точке касания.
Координаты точки пересечения удовлетворяют системе уравнений у(х, у, с) = 0 и у(х, у, с + Л)= О, а следовательно, и уравнению У (х, у, с + Ь) — г" (х, у, е) Ь В последнем уравнении легко выполнить предельный переход Ь-ьО. Так как мы с самого начала предположили, что существует частная производная г„то для точки касания кривой У(х,у, с)=0 с огибающей Е получаем систему уравнений У'(х,у, с)=0 и у,(х,у, с)=0. Если возможно выразить из этих уравнений х и у как функции от с, то получится параметрическое представление некоторой кривой, с параметром е, и естественно ожидать, что эта кривая и есть огибающая.
Но можно получить уравнение этой кривой н в неявном виде и(х,у)=0, исключив из системы (*) параметр с. Уравнение е(х, у) = 0 называется дискриминантным уравнением, а кривая, представляемая этим уравнением, диекриминантной кривой семейства Итак, мы пришли к следующему правилу: двк того чтобы найти диекриминантнрю кривую семейства кривых у(х,у, е)=0, надо рассматривать совместно два уравнения Дх,у, с)=0 и ~,(х,у, с)=0 и старатьсл либо определить из этой системы х и у как функции от с, либо исключить из нее параметр с.
Наглядные соображения делают правдоподобным, что дискриминантная кривая и есть огибающая. Это эвристическое рассуждение мы теперь заменим более общим и полноценным выводом, основанным на самом определении огибающеи как кривой, касающепся всех кривых данного семейства. Вместе с тем выяснится, при каких условиях дискриминантная кривая действительно дает огибающую, и какие другие воаможности содержит наше правило. ') Нл примерах выяснится, что зто допущение явяяется слишком узким; поэтому мы вскоре дадим более общий и полноценный вывод. 190 гл. ш.
постепенна днввеивнциального исчисления 12 Сначала допустим, что существует огибающая Е, которая может быть представлена в параметрическом виде уравнениями х=х(с), у=у(с), причем функции х(с) и у(с) непрерывно дифференцируемы и (~ «ха с с«у~я — ) +( — ~ ~ О, и что в своей точке с некоторым значением пара«с) ~«с) метра с она касается тов кривой семейства, которая соответствует тому же значению параметра с.
Докажем, что функции х=х(с) и у=у(с) удовлетворяют системе уравнений (*). Для доказательства заметим, что при всяком значении с координаты соответствующей точки касания, с одной стороны, получаются из параметрических уравнений огибающеп„а с другой стороны, удовлетворяют уравнению Г(х,у,с)=0. Поэтому если подставить в последнее уравнение выражения х=х(с) и у=у(с), то оно удовлетворится тождественно при всех значениях параметра с из интервала его изменения. Дифференцируя это тождество по с, получим Но факт касания огибающей Е и кривой семейства г(х,у, с)=0 выражается условием у — +у — =о, «х «у ««с г«,— так как вектор ~ —, — г есть касательный вектор огибающей Е, г«х «У1 '(«с «с)' а вектор (у„,я есть нормальныи вектор кривой семейства, а эти векторы должны быть взаимно перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю.
Отсюда вытекает, что огибающая удовлетворяет также и уравнению г,=0. Стало быть, полученное выше правило дает необходимое условие для огибающей, т. е. огибающая, если она существует, входит в состав дискриминантной кривой, Для того чтобы выяснить, в какой мере это условие'является доститочным, предположим, что некоторая кривая Е, заданная параметрическими урзвнениями х=х(с), у=у(с), удовлетворяет системе уравнений г(х,у, с)=0 и Ях,у, с)=О. Это значит, что если подставить в них х=х(с) и у=у(с), то получатся тождества относительно с. Дифференцируя первое из них по с и учитывая, что ~,=0, получим соотношение «х «у У.— +У,— =О, которое, стало быть, выполняется во всех точках кривой Е. Если в какой-либо точке кривой Е оказывается гс+1,',~0 и «х~а г«у~а — ~ -'-~ —,~ у'=О, то в этои точке линия Е и кривая семейства «с! ' ~«с~ а! а а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
