1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 37
Текст из файла (страница 37)
систвмы эгнкций. пввоавазовання и отояяажяння 167 равным единице; тогда из формулы (в) вытекает вновь соотношение д(Е, г) д(х, у) — — =1, д(х, у) д(е, ч) выведенное на стр. 165. Отсюда, кстати, следует, что ни один иа этих двух якобианов не может обратиться в нуль. 6. Разложение произвольного преобразовании на примитивные. В главе ! мы видели, что всякое аффинное преобразование плоскости можно разложить на простые или, как говорят, лрплгггтивнме преобразования, из которых первое деформирует плоскость только в одном направлении, а второе подвергает уже деформированную плоскость новой деформации в другом направлении.
В каждом из этих последовательных преобразований вводится фактически только одна новая переменная. Такого же результзта можно добиться и для любых преобразований. Рассмотрим сначала следующее примитивное преобразование: Е = ч (х, у), т) =у. Предположим, что якобиан этого преобразования О=э„ отличен от нуля во всей области 0; пусть, например, э„ ) О во всей области. Паше преобрззование деформирует область 0 в область Г, причем каждая точка области 0 смещается вдоль прямой, параллельной оси Ряс.
39. х; все точки с одной и той же ординатой у сохраняют и после деформации неизменную ординату т)=у. В результате преобразования гочка (х, у) приобретает новую абсциссу Е, зависящую как от х, так и от у. Из условия у,)О вытекает, что при постоянном у абсцисса г монотонно возрастает вместе с х. Это условие обеспечивает взаимную ~ лнозначность соответствия между положениями точек прямой г =сопа1 до и после деформации; действительно, две точки Р(хну) я Я(хя, у) с одинаковой ординатой у при хя)хг переходят в две 168 гл.
Ль пОстРОений днФФЙэйнциального нсчислйннй точки Р'(сь ч1) и Я'(чэ я), имеющие ту же ординату т1=у и новые абсциссы, удовлетворяющие неравенству Ея) 4 (рис. 39). Вместе с теи этот факт показывает, что наше преобразование не изменяет направления вращения Если предположить, что ~„(0, то две точки Р(хь у) и Я(хя, у) с одинаковой ординатой, у которых хя >хь преобразуются в точки Рис. 40. Р'(Еьу) и 17((э у), но на этот раз 11..ьЦя (рис. 40). При этом направление вращения изменится на обратное, подобно тому, что мы наблюдали в гл.
1, стр. 48, на простом примере аффииного преобразования с отрицательным определителем. Если примитивное преобразование (=Их у) 8=у непрерывно дщфферекцируемо, а его якобиан Ф отличен от нуля в некоторой точке Р(хь уч), то найдется такая окрестность точки Р, в которой преобразование однозначно обратлмо, причем обратное преобразование будет примьмппвным того оке типа. )(ействительно, в силу условия Ф эь О, можно применить теорему о неявной функции(Э 1, и'3), согласно которой уравнение ~у(х,у) — 1=0 определяет в окрестности точки (хэ у,) величину х однозначно, как непрерывно дифференцнруемую функцию х=йД у) от 1 и у.
Стало быть, формулы х=й($, тД, у=ч1 1 дают обратное преобразование, якобиан которого я = — =,60. тл Пусть теперь область Г плоскости 1в отображается в свою очередь на область Е плоскости ае преобразованием и=6, е=йг(1, ч1), причем Чг ф 0; тогда положение дел такое же, как и на первом этапе, только смещение происходит теперь параллельно другой оси коорди- а) а а.
системы Фгнкций, пРВОБРАЗОВАния и ОТОБРАжениЯ 159 нзт; да и направление -врзщения либо сохраняется, либо изменяется на противоположное, смотря по тому, каков знак ся — положительный или отрицательный. Комбинируя эти два преобразования, составляем результирующее преобразование и= р(х, у), о= ср (ср(х, у), у] =ф(х, у) и, согласно теореме о якобиане произведения двух преобразований, д(р, ф) д(х, у) — = фас)г Теперь мы утверждаем, что всякое взаимно однозначное непрерывно дифференцируемоес) преобразование и=о(х,у), о=ф(х,у), отображающее область 0 плоскости ху нз область В плоскости ип, можно в окрестности любой внутренней точки области 0 рззложнть на примитивные непрерывно дифференцируемые преобразования, если только во всей области 0 якобиан д(и, о) д(х у) =фзфУ вЂ” фхсРУ отличен от нуля.
В самом деле, из того, что якобнан не обращается в нуль, вытекает, что ни в одной точке ф и ср не могут одновременно обратиться в нуль. рассмотрим точку Р (ха, уа) и допустим сначала, что в этой точке ф„ ~ О. Тогда (согласно основной теореме $ 1, по б) можно отграничить квадрат хс«х«ха, ус =у«уа вокруг (ха уа) и интервал и, =.сс«сас вокруг сса=ф(ха, уа) таким образом, что в этих границах уравнение сс= ср(х, у) однозначно разрешимо относительно х и определяет х= и(и, у) как непрерывно днфференцируемую функцию от и и у.
Вообразим, что это выражение подставлено в функцию о=ф(х, у), тогда О=ф(у(и, УА у]= с)г(и, у). Стало быть, в указанной выше окрестности точки (х„ у,) наше преобразование п=ср(х, у), о=ф(х, у) можно рассматривать как произведение двух примитивных преобразований 6=ср(х, у), т)=у и сс=5, о=ср(1, т)). Аналогично, если в точке (хь у,) ср оЕО, то в некоторой ее окрестности можно данное преобразование разложить на дза примитивных преобразования вида (=х, т)к р(х, у) и сс=т), о=ф(х, й(и, х)] =сна(ч, т)), сде у=)с(сс, х) есть явное выражение у из уравнения сс=ср(х,у) ') То есть функции и и о имеют непрерывные частные производные, 170 гж ш.
постарение днвввьвнциьльного исчисления р Нет оснований ожидать, что возможно единое разложение данного преобразования на примитивные во всей области О. Однако, так как разложение одного из двух указанных видов можно выполнить в окрестности любой внутренней точки области О, то область О или, во всяком случае, всякуао замкнутую область, лежащую полностью внутри О, можно разбить на конечное число замкнутых частичных областеи') так, что в каждой из них выполнимо разложение одного из двух видов.
Из возможности такого разложения можно вывести интересное следствие Мы знаем, что примитивное преобразование сохраняет направление вращения или изменяет его на противоположное, смотря по тому, каков знак якобнана — положительный или отрицательный. Из сказанного выше вытекает, что и общее преобразование оставляет направление вращения неизменным или, напротив, изменяет его на противоположное, смотря по тому, имеет ли якобиан положительный или отрицательный знак. Леиствительно, если якобиан данного преобразования имеет знак плюс, то якобианы его составляющих примитивных преобразований либо оба положительны, либо оба отрицательны. В первом случае сразу очевидно, что направление вращения сохраняется; во втором случае это вытекает из того факта, что двукратное изменение направления вращения на противоположное приводит к первоначальному направлению, Если же якобиан нашего преобразования имеет знак минус, то отрицательный якобиан будет иметь одно и только одно из примитивных преобразовании, которое и приведет к изменению направления вращения, а другое примитивное преобразование не изменит его.
7. Общая теорема об обращении преобразования и о системах неявных функций, Если функции ф (х, у) и ф(х, у) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (х„у,) и принимают в втой точке значения ио=ф(хо уо) и по=ф(хы уо) и если к тому же якобиан та= ф ф„— р„ф„не равен нулю в (хо, уо), то система уравнений и=ф(х, у), п=ф(х, у) однозначно разрешима в некоторой окрестности точки (х„у,), т. е.
существует однозначно определенная обратная пара функций х= и(и, о), у = й(и, и) такого рода, что хо=я(гго чч), уо=й(ио, по), и в какой-го окрестности точки (ио, по) выполняются тождества и=ф(я(и, и), п(гц и)] и п=ф(д(гг, и), п(и, и)]. В окрестности точки (ио, и,) обратные функцшг х=и(и, и), у=6(и, и) имеют непрерывные частные производные, которые можно вычислить по следующим формулалс дх 1 до дх 1 ди ди 0 ду' до О ду' ду ! до ду 1 ди ди Е> дх ' до й дх ' ') Это вытекает из теоремы о покрытии (стр, !20), л ь х снсткмы в нкций.
пововяазовьння и отовяхжвния 171 Доказательство вытекает из результатов предшествующего и'6. Действительно, в достаточно малой окрестности точки (ха уо) данное преобразование и=ф(х,у), п=ф(х,у) можно разложить на непрерывно дифференцируемые примитивные преобразования„' каждое из этих примитивных преобразований имеет однозначно определенное обратное преобразование, тоже примитивное и непрерывно дифференцнруемое. Результирующее этих двух обратных преобразовании н будет преобразованием, обратным данному; оно дифференцируемо, так как составляющие преобразования дифференцируемы.
Формулы же дифференцирования обратных функций уже выведены в п' 4. Приведенная здесь теорема обращения преобразований является частным случаем более общей теоремы, которую можно рассматривать как распространение теоремы о неявных функциях на системы функций. Эта теорема ($ 1, п' 5) говорит о возможности решения одного уравнения относительно одной из переменных. Общая теорема формулируется так: Пусть гр(х,у, и, о,..., гв) и ф(х,у,и, и,..., гв) — две непрерывно дифференцируемые функцгиг своих аргументов х, у, и, и, ..., аг, и пусть уравнениям ~р(х,у, и, и,..., тв)=0 и ф(х,у, и, и, ..., тв)=0 удовлетворяет некоторая система значений хо уы иь по, ° ° ° гво Есмг к тому же якобгшн П=ор„ф — ф ф„системы функций ф и ф по х и у не обращается в нуль в втой точке, т.
е. при указанной системе значений всех аргументов, то в окрестности втой точки можно однозначно решить уравнения гр=О и ф=О относительно х и у как неизвестных, и зто решение дает х и у как непрерывно дифференцируемые функции от и, о, ..., ш. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы обращения, приведенной з начале этого номера. Из условия В ф О можно заключить, что в рассматриваемой точке ф„ и гр не равны одновременно нулю.
Пусть, например, фаф О. Тогда, по теореме о неявной функции (э 1, и' б), если ограничить аргументы х, у, и, гь ... ..., гв достаточно малыми интервалами вокруг хы уо ио по~ ° "~ ао соответственно, то уравнение ф (х, у, и, о„ ..., тв) = 0 однозначно определяет х=я(у, и,п, ..., гв) как непрерывно дифференцируемую функцию остальных переменных, имеющую частную производную иу= — —, Подставив эту функцию х=я(у, и, о, ..., гв) в 9у 9о ф(х, у, и, и, ..., гв), мы получим функцию ф(К(у и,в " тв),у, и, о ° "~ гв)=чг(у и о ° ", тв) причем с> 1у фазу+фу фл, +фу 172 гл. ш. постговнив диввврвнциального исчисления (в Так как, по условию, О ф О, то производная Ч>„~ О.
Поэтому, если ограничить переменные у, и, и, ..., а> некоторыми интервалами, окружающими ув из, еь ..., твз (онн будут теперь уже тех интервалов, которыми мы их ранее ограничили), то уравнение Ч(у, н,п, ..., вз)=Оопределяету как непрерывно днфференцнруемую функцию переменных и, и, ..., п>.
Подставив это выражение для у в равенство х=л(у, и,п...„п>), получим и х как функцию от и, и,... ...,м>. Итак, мы доказали существование однозначного решения в виде пары непрерывно дифференцируемых функций х и у, причем х, у, и, ж ..., вз ограничены достаточно малыми промежутками вокруг хв уь нф пз> °" п>з Производные этих функций х и у по и, и, ..., тл вычисляются из тождеств < >р„хя+р„уя +ел=О, ф„х,+ф у„+ф,=О, < ч>„х,+в,у, +м,=О, ф„х.+~,у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
