1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 33
Текст из файла (страница 33)
36, стр. 157). Если р, ~ б, а р, (О, то две параболы Р(х, у)сиу' — 2р,1х+ —,'~=-О н О(», у)сиу' — 2р,(х+Р»11=0 пересекаются, и притом под прямым углом, т. е. они ортогональны, так как в аочке их пересечения Р 0х+Ру0у — — 4(Р,Р,+У')=4 ' ' =О, р» — р» ибо р, — р, ~ О, а Р= 0= О в-точке пересечения. х» у» В качестве второго примера рассмотрим эллипс †, + -, = 1, л'равнее' вне касательной в точке (х, у): — »($ — х)+ —,(ч — у) =О; его можно прях д' вести к виду ха уя — + — =! а» Ь» известному из »палимы»ской геометрии. й $ я.
неяВное задАние плОских кРиВых и поВеРхностей 149 Кривизна Ь= — —, таа каа эйпР' =аяв — =айву. Кслв — зйпу а'Ь' 2у Ь'(Ь'х'+ а'у®)' Ьз а ) Ь, то абсолютная величина кривизны достигает наибольшего значения а Ь' — в вершинах у = О, х = ж а, а наименьшего значения — в двух других Ь вершинах х =О, у= Ве Ь; это наименьшее значение есть |Ь ( = —,. а' 2.
Особые точки плоской кривой. добавим несколько слов об особах точках плоской кривой. Мы здесь удовольствуемся тем, что приведем несколько типичных примеров, назнзчение которых показать необходимость исследования этого вопроса; само исследование читатель найдет в Лополнениях к этой главе. В формулах, выведенных в п' 1, часто встречается выражение Г„'+г'-', в знаменателе дроби. Стало быть, обращение этой величины в нуль, т.'е. одновременное обращение в нуль частных производных Гл и Р„в какой-либо точке кривой позволяет ожидать чего-то необычного, кзкой-то особенности кривой в этой точке. Прежде всего это проявляется в том, что в такой точке выражение у'= — —" для наклона касательной теряет смысл. Точка кривой называется регулярной или обыкновенной точкой, если в окрестности этой точки можно предстзвить ординату у в виде непрерывно дифференцнруемой функции от х или абсциссу х в виде непрерывно днфференцируемой функции от у.
В обоих случаях кривая имеет в такой точке касательную, и в окрестности этой точки мало отклоняется от своей касательной. Все же точки, не обладающие этим свойством, нззываются особылги гпочка.ип или особенносглкжп кривой. Из теории неявных функций известно, что если в какой-либо точке кривой г'(х, у)=0 производная Г, ~ О, то эта точка является обыкновенной точкой кривой, так как при этом условии из уравнения Г(х, у)= О можно выразить у в виде однозначной дифференцируемой функции у=у(х).
По аналогии ясно, что точка, в которой г„ =,о О, тоже будет обыкновенной точкой кривой. Следовательно, особые точки кривой надо искать среди тех точек, которые удовлетворяют не только урззнению кривой тч(х, у)= О, ио еше и урзвпениям год. — — 0 и Е'у —— О. Первый по важности тип особой точки представляет узловая или кратная точка. Точка кривой называется кратной или узловой, если через нее проходят две илн большее число рааличных ветвей кривой. Пример узловой точки представляет начало координат для лемпискаты (х'+у')" — 2а'(х' — у') = О. 150 гл.
ш. постяовнив днвввввнцнального исчисления )з В окрестности такой точки невозможно однозначно представить уравнение кривой в виде у =у(х) или х=о(у). Другой тип особой точки представляет так называемая улочка заострения гии возврата. В такой точке сходятся две ветви кривой, имея в ней общую касательную. Пример такой точки дает кривая у'--х' = О, изображенная иа рис.
32. Она имеет точку возврата в начале координат. Другой пример представляет кривая х' — у' = О, у которой тоже точка возврата в начале координат, Кстати, вторая кривая получается из первой поворотом на 90' вокруг начала координат. Во всех этих примерах действительно Р,=О и Р,=О в особой точке. Однзко совмещение х условий Р =ОиР =О в какой- либо точке кривой Р(х, у)=О необходимо, но отнюдь не достаточно для того, чтобы эта точка Рис. 32, была особой в смысле данного выше определения. Можно сказзть, что точка, удовлетворяющая этим условиям, является особой точкой уравнения кривой, но не обязательно особой точкой самой кривой. Точка кривой может оказаться регулярной несмотря на то, что в ней обращаются в нуль обе часгные производные Р„ и Р„.
Пример такой точки мы находим у кривой у' — х' = 0 в начале координат, где Р„ (О, О) = Р (О, О) = О. Сразу видно, что зта кривая симметрична относйтельно оси у, так как при замене х на ( — х) уравнение кривой не изменяется. Уравнение можно привести к явному виду у = х ~", 4 цз откуда у' = —. х Ы. ясно, что начало координат является регулярной точкой 3 кривой. Далее, у(0)=0 и у'(0)=0, так что кривая касается в начале координат оси х. (Общий облик кривой напоминает обыкновенную параболу. днако начало координат все же чем-то выделяется среди других точек кривой: а нем вторая производная обращается в бесконечность, Следовательно, кривизна бесконечна в начале координат, в то время как направление касательной в этой точке не обнаруживает никаких особенностей.
Другой пример представляет линия (у — х)' =- О, во всех точках которой Р' = 0 и Р„ = О. Однако же это — прямая, у которой все точки, конечно, обыкновенные. Из приведенных здесь рассуждений и примеров вытекает следующий вывод: при отыскании особых точек кривой недостаточно найти все ее точки, удовлетворяющие условиям Р„= О и Р =О. Кзждая такая точка должна быть подвергнута особому исследованию. 3. Неявное задание поверхности. До сих пор мы обычно изображали функцию я=у'(х, у) (будем теперь писать з вместо и) поверхностью и пространстве, рассматривая х, у, г как прямоугольные координаты точки.
Если же первоначально задана не функция, а! а э. нзявноз задании плоских кривых и повзвхностзй 1б1 — = (1 — л) з, + И вЂ” у) зт Р» подставим вместо г» и з их выражения г»= — — и з = — —, и Р» Р» тогда уравнение касательной плоскости приведется к симметричному виду (1 — х) Р» + (т! — у) Рз, + (с — з) Р, = О, где 1, т! и ч — текущие координаты. Уравнение кзсательной плоскости можно вывести и непосредствсаию из неявного уравнения поверхности так, как было выведено уравнение касательной к плоской кривой. Для этого надо по-иному поставить задачу: нзйтн такую плоскость, проходящую через точку поверхности Р(х, у, з), что расстояние от переменной близкой точки поверхности Я(х+)а, у+л, а+1) до этой плоскости будем иметь более высокий порядок малости, чем расстояние р=)/!та+ага+!Я между точками Р и Я, когда р-ьО.
Нормальный вектор касательной плоскости тт'=(Р Р, Р,) нззывается, как мы уже знаем, нормальным вектором поверхности в точке касания (х,у, з). Следовательно, направляющие косинусы нормали выражзются следующими формулами: созо= 1/Р, Р» Ру совр= +Р;+Р,' !/Р„+Ра+Р сову= Рг 1/'Рл ! Рл ! Рл' ') Обращение этого выражения в нуль указывает на вазможность пои яия особенностей; мы не будем здесь заниматься этим вопросом, а поверхность в пространстве, то предпочтение„оказываемое при таком янном задании координате з, может привести к таким же неудобствам, к каким приводило задание плоской кривой уравнением у=/(х). Более естественным и более общим является задание поверхности в пространстве уравнением вида Р(х, у, з)=0 или Р(х, у, г)= сопя!; так, например, шаровую поверхность чаще удобнее представить уравнением ха+уз+гэ — а'=О, чем явным урав- ~'У:~:Р, та * — Л,»>=о трактовать как частный случай общего неявного уравнения поверхности.
Для того чтобы составить уравнение касзтельной плоскости к поверхности Р (х, у, г)= О в ее точке (х, у, з), допустима что в этой точке Р» +Р'„ +Р,' Ф 0 '), т. е. что по крзйней мере одна из частных производных не равна нулю. Пусть, например, Р ое О. Тогда из уравнения поверхности можно принципиально выразить г как однозначную явную функцию от х и у. В уравнение касательной плоскости (гл. !1, й 4, п' 3) 162 гл.
ш. постаоенне диФФеяенцнлльного исчисления 1а Если две поверхности Р(х,у, «)=О и 0(х,у, «)=О пересекаются в некоторой точке, то углом ю между поверхностямп называется двугранный угол между их касательными плоскостями в этой точке или численно равный ему угол между нормальными векторами )ч' и йгг обеих поверхностей. Ясно, что дгдг, ТУТ:Тж! Отсюда получается условие ортогональности (перпендикулярности) двух поверхностей: уьгл'тч = 0 или Г 0л+ Ряб + Р () = О. Вместо отдельной поверхности Р(х,у, «)=0 можно рассматривать целое семейство поверхностей Р (х, у, «)= С, где С в постоянная, различная для рваных поверхностей семейства. Мы будем предполагать, что через каждую точку пространства или по крайней мере через всякую точку некоторой пространственной области проходит одна н только одна поверхность семейства илн, как принято говорить, что семейство пскрывает эту область пространства однократно.
Отдельные поверхности семейства называются тогда поверхностями уровня функции Г(х,у, «). В гл. 11, й 7, пс 6 мы ввели понятие градиента этой функции: пгад р=(рл, Р, Р ), Из сказанного выше явствует, что градиент функции в точке (х,у, «) является нормальным вектором поверхности уровня, проходящей через вту гпочну.
Можно стать на другую точку зрения и считать этот факт известныи из гл. 11, $7, и' 6; тогда, зная нормальный вектор поверхности в точке кзсания, можно составить уравнение касательной плоскости, и это будет третий и самый простой способ вывода ее уравнения. В качестве примера рассмотрим шаровую поверхность х +у +ля=а. Имеем Р=х'+у'+гл — а', Всади=(2х, 2у, 2«), за нормальиый вектор можно принять Дг= (х, у, г) и уравнение касательной плоскости будет х ($ — х) +у(Ч вЂ” у>+а (С вЂ” г) =О или хЕ+уз+ «1 — а' = О. Нормальный вектор К= (х, у, л) =г; следовательно, нормаль шаровой поверхности з любой ее точке проходит по радиусу, идущему к втой точке. х' у' л' Для аллилсоида †, + †, + †, = 1 уравнение касательной плоскости можно привести к следующему аиду: х1 уч — + — + — — 1=0 а' Ь" И в з. снотвмы екнкцнй, пэйоввазпваНИВ И отокважзння 153 Упражнения !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
