1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 29
Текст из файла (страница 29)
величины тх, ту, Га, ..., получим у(тх, ту, йи...) =тех"т(у, —,...) =тлу(х, у, а,...).~ Наша цель — доказзть, что функция, удовлетворяющая соотношению Эйлера, являетси однородной функцией степени )т. На основании сказанного, для этого достаточно показать, что если вместо переменных у, г и т.
д. ввести новые переменные т1= —, ь= — ..., так У л х' х' ''' * что у=т1х, х=чх, ... (переменную х сохраняем), то функция 1 фУ(х~ У 2 ° ° ° )= — аУ(х, т1х, ЬХ, ...)=Я(х~ т1, Г! ...) в действительности уже не зависит от переменной х, так что я =0 тождественно. А это легко проверить, дифференцируя последнее равенство по х по правилу цепочки: 1 л а-=М.+ ~,+и.+ ") — ~~.у(х у.
и, ")= = — „(х1„+Л„+ 4.+...) — — „„Пх,У, и, ...). 1 л Последнее выражение обращается в нуль в силу соотношения Эйлера, и тем самым вбратная теорема доказана. Приведем еще другое доказательство, более изящное, хотя и менее прямое. Наша цель — вывести из соотношения Эйлера, что функция й(1)=~(1Х, 1у,...) — РУ(х, у, ...) равна нулю при всех значениях й Сразу видно, что н(1)=0. Далее, йл(Е) = ХЛ (Ех, 1у,... )+уУ' (1х,'су,... ) +...
— й1а т У(х, у, ...). Подставляя в соотношение Эйлера вместо х, у,... соответственно сх, 1у,..., получим ГХУл(1х, тУ,...)+ЮУУ" (сх, ЕУ,. „.)+...=)1У(сх, 1У,...). С помощью этого равенства выражение для й'(С) принимает следующий вид: а'(О= —, а(1) Это — дифференциальное уравнение с отделяющимися переменныии, которому должна удовлетворять функция д(1). Отделяя переменные: лд(т) л — = —,бс йй(т) т СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П и интегрируя, получим 1е / Е(1) / = Ь 1п ) 1) + 1и ) С !, откуда ) у(1) / = ) С ( ° 1 1а (, и окончательно ЕЩ=ОА. Постоянную интегрирования С определяем из найденного выше условия л(1)=0, которое дает С=О, так что А(1)=0 прн всех значениях 1, что и требовалось доказать. Упражнения 1.
Доказать, что если у (х, у, л, ...) есть однороднал функция степени Л, то ее производная й-го порядка является однородной функцией степени А — й. 2. Доказать, что однородная функция У первой степени удовлетворяет дифференциальному уравнению Ухх+Уту+Йхх+" +2Уху+2Ухх+" =О. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П 1. а) Показать, что функция и вила и (х, у) =у(х) й'(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными иих — ихи =О. б) Доказзть обратное предложение. 2. Доказать, что удовлетворяет дифференциальному уравнению р»и = и, . 3, Показзть, что если частные производные функции и(х, у) удовлет- воряют соотношению вида Р(и и ) =-О, то функция и удовлетворяет диф- ференциальному уравнению их и„ вЂ” и'„ = О.
4». Доказать, что поверхность и =у(х, у),образуемая прямыми линиями, псресекающими ось и, илн, что то же, поверхность, пересекаюпгая все пло- скости семейства у =ох по прямым линиям, удовлетворяет дифференциаль- ному уравнению х'ихх+2хуи +у'и =О, 5. Найти для заданного» соответствующее В=З(е, х, у) для следующих непрерывных функций (ср. гл. 11, в 2, и' 1): » гг, ) =) ) С*'-'; )»; 6) г), у) ) ) '; » .
6. Показать, что функции х'у' х' (х'+ ')'' ~( ' у) х'+ стремятся к нулю, когда точка (х, у) приближается к началу координат вдоль любой прямой, проходящей через начало, но этн функции имеют разрыв в начале координат. 7. Дана гладкая плоская кривая с непрерывно вращающейся касательной. Обозначим через и расстонние между двумя точками Р и 1,) кривой, г. с. длину хорды Рб), а через 1 длину дуги РО.
Доказать, что1 — «)=и(вг)) ко)ла и О. 192 дополнения к главе и »3»» 8. Вычислить Я = » ~7 жт (а+Ь)1 а 1 ! »У! а1 Ь! х"уэ ' ' х у — при условии, что — + — ( 1, а ва о х~ О, у)0. 9, Показать, пользуясь соотношением Эйлера (стр. 129), что однородная функция Л (х, у, з) степени и, удовлетворяющая уравнению Лапласа т»8 = О, удовлетворяет также соотношению Ра (гамЗл) = 2ю (2а+ 2т+ 1)гам »Зя, где га = ха+у»+ за. 19. Вывести следующую формулу для кривизны пространственной кри.
вой г=г(Х), где Х вЂ” произвольный параметр: г' г' — (г г)' Дг г Ц (гзу' ~ г!и (точки над символом вектора означают дифференцирование по ть 11». Пространственнаякривая С задана уравненияыи х=х(а), у=у(з), я=аз, параметром служит длина дуги з плоской крнвойх=х (а), у=.у(з). Доказать, что соприкасающаяся плоскость кривой С в ее точке Р (ср. упр. !,стр, 114) содержит нормаль к цилиндрической поверхности х= х(а), у=-у(з) в точке Р. Показать, что кривизна и кручение кривой С (см. упр. 7, стр. 115) определяются по формулам ! хр — ху ! а (хр — хО) й='— -~ — —, ч= 12. Составить уравнение соприкасающейся плоскости (см.
упр. 1, стр. 1!4, и его решение) в любой точке кривой х = сов О, у = мп О, а =у(6), 1 Показать, что если г'(6)= — с)тАО, то любая соприкасающаяся плоскость А кривой касается сферы.с центром в начале координат и радиусом, равным А» ' 13. Йа цилиндре ха+у'=а' начерчена кривая, обладающая тем свойством, что угол между осью л и касательной к этой кривой в любой ее точке Р равен углу между осью у и касательной плоскостью к цилиндру в той же точке Р. Доказать, что координаты любой точки Р кривой можно выразить через некоторый параметр 6 уравнениями х=асоэО, я=с ь а)па(п О 1 5- -»- Р— Гт»Ыа.
а 1 1 14. Дана кривая х= — аР у= — ЬР л=сй 3 ' 2 а) Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки тн тм т, этой кривой, есть Зх 2 (Ут + та + Св) Ь + (тат» + (»Хт + ттта) тАта = 9. а э»»т та б) Показать, что точка пересечения соприкасающихся плоскостей кривой в точках тн та, т» лежит в этой плоскости. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ и 1ЗЗ 1й. Пусть а, Ь, с — стороны треугольникз, А, В, С вЂ” противолежащие им углы, 3 — площадь треугольника, Д вЂ” радиус описанной окружности.
Показать, что по = В (с~м Аоа + соз ВЖ + соз Сос). 16. Движенне точки Р относительно некоторой системы координат считается известным, т. е. задан ее радИус-вектор г=г(т) как функпия времени Е Тогда скорость точки Р равна вектору г. Доказать, что ог с .о'г от ай* где ген(г( есть полярный радиус точки Р, а г' есть единичный вектор радиус-вектора. Слоассноз (скалярная) скорость изменения полярною радиуса точки равна проекции ее скорости на направление ее радиус-вектора. ГЛАВА 10 ПОСТРОЕНИЕ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Е 1. Неявные функции 1.
Общие замечания. В анааитической геометрии кривые часто задаются не уравнением вида у =г(х) или х=э(у), а уравнением вида Е(х, у) = О. Например, прямую можно представить общим уравнением ах+ Ьу + с = О, а эллипс — уравнением —, + —, = 1. У' Для того чтобы привести такое уравнение кривой к виду у=1(х), надо решить уравнение с(х, у)=0 относительно у. В первом томе мы рассмотрели задачу о нахождении обратной функции у=т (х) или, что то же самое, о решении уравнения Р(х, у)=у — у(х)=0 относительно переменной х.
Все эти примеры показывают, как важно изучение вопроса о решении уравнения вида гч(х, у)=0 относительно х или у. Мы теперь займемся этим исследованием, а полученные адесь результаты обобщим в й 3 на функции многих переменных. В простейших случаях, вроде приведенных выше примеров, явное решение можно выразить через элементарные функции. В других случаях результат можно получить приближенно с любой желательной точностью, Однако для многих целей целесообразнее работать не с разрешенным явным видом уравнения (точным или приближенным), а вместо этого исследовать решение путем изучения самой функции Р(х, у), в которой не отдается предпочтения ни одной из переменных х ну. Было бы ошибочно думать, что при любой функции Р(х, у) уравнение г'(х, у)=0 определяет в неявном виде функцию у=у(х) или х=э(у). Напротив, легко привести примеры таких функций г'(х, у), для которых уравнение гч(х, у) = 0 не имеет решения в виде функции одной переменной.
Так, например, уравнению х +у'= 0 удовлетворяет единственная пара значений х =у = О, тогда как уравнению х' +уа + 1 = О не удовлетворяет ни одна (действительная) пара значений (х, у). Необходимо поэтому внимательно исследовать, в каких случаях уравнение Г(х, у)= 0 определяет в неявном виде функцию у=1(х) и какими свойствами обладает эта функция. 2. Геометрическое истолкование '). Для того чтобы уяснить себе положение дел, изобразим функцию и =Е'(х, у) поверхностью в трех') Ср. ~акме т. 1, га.
Х, $ 5. $!. нзязныа Функции мерном ирострзнстве. Интересующие нас решения уравнения г (х, у) = 0 являются общими решениямн двух уравнений и=й(х, у) и и=О. Геометрически наша задача состоит в том, чтобы выяснить, существуют ли кривые у=Дх) нли х=в(у), по которым поверхность а=ге(х, у) пересекает плоскость ху. (Как далеко может простираться такая линия пересечении, нас здесь ие интересует.) Первая возможностьь которая приходит на ум: поверхность и плоскость могут не иметь ни одной общей точки.
Например, параболоид и=Р(х, у)=х'+у'+! весь лежит выше плоскости хОу. В этом случае, очевидно, не существует линии пересечения. Поэтому подлежат рассмотрению лишь те случаи, в которых существует точка (хь Уь), в котоРой гч(хь Уь)=0; паРУ значений х„ Уь мы будем называть начальным рсгаенпем. Если начальное решение существует, то остаются две возможности: либо плоскость и=О касается поверхности в точке (хь уь), либо нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
