1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 24
Текст из файла (страница 24)
На стр. 81 мы получили для этой производной выражение В,т =У„соз Ьг+~„соз да+У, соз 8„ Так как единичный вектор указанного направления с' = ]сов Зь соз йм соз да], то 1)„?=с' пгай У, Следовательно, производная функции у по нзправлению вектора с равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор указанного направления, т. е. проекции градиента на'направление дифференцирования. Именно этот факт придает понятию градиента большое значение. Поставим, например, вопрос: в каком направлении функция У быстрее всего возрастает или быстрее всего убывает? Для ответа на этот вопрос надо найти то нзправление, на которое проекция градиента имеет наибольшее положительное или наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение.
Первое будет, очевидно, когда вектор с имеет направление градиента, второе — когда направление с прямо противоположно направлению градиента. Стало быть, направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции, а направление, прогпивоположное градиенту, есть направление наибыстрейшего ее убывания. Модуль градггента дает нагтбольшугв скорость возрастания или убывания функции (в различных направлениях от той точки, в которой вычислен градиент; скорость изменения функции выражена в единицах величины у, деленных на единицу длины].
Мы уже знзем, так сказать, физический смысл градиента. Но как его построить? Мы покажем здесь простой способ построения направления градиента. Рассмотрим сначала скалярную функцию точки г (х, у) на плоскости, и речь пойдет о градиенте этой функции, Предположим, что данное скалярное поле изображено с помощью семейства линий уровня г(х, у)=с.
Тогда в любой точке Р поля производная от у(х, у) по направлению линии уровня, проходящей через эту точку, равна, очевидно, нулю. Действительно, если соседняя точка Я лежит на той же линии уровня, что и Р, то )г(Я)— — у(Р)=Г) (смысл этой записи понятен), и при стремлении точки СС' з т, пгнмвнзннв впктояных методов к Р вдоль линии уровня (ср.
стр. 80) 1пп =О, где р— Х(О) — У(Р) , а расстояние между точками Р и Я. Следовательно, проекция градиента на касательную к линии уровня в точке Р равна нулю. Отсюда вытекает, что в любой точке поля градиенгп направлен по нормали к линии уровня, проходящей через вшу точку. Соверщенно аналогично обстоит дело с грздиентом скалярного поля в трехмерном пространстве. Функцию точки г (х, у, е) изображают с помощью семейства ее поверхностей уровня т(х, у, г)=с, и тогда в любой точке Р поля проекция градиентз нз любую касательную прямую к поверхности уровня в точке Р равна нулю. Стало быть, градиент перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в точке Р.
Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности и проходшцая через их точку кзсания, называется нормалью к поверхности. Следовательно, в 'любой точке поля градиент функции у(х, у, г) направлен по нормали к поверхности уровня, проходягцей через эту точку. (Стрелка градиента направлена в ту сторону нормали, в которую возрастзют пометки с поверхностей уровня в изображении полк Если в какой-либо точке скалярного поля соответствующая поверхность уровня не имеет касательной плоскости, то в этой точке не существует и градиента.
Это— особая точка поля.) Градиент функции г(х, у, г) является в свою очередь функцией точки, но уже векторной функцией. Для данного скалярного поля построено соответствующее ему (и характеризующее его) векторное поле его градиента. С другой стороны, зо многих приложениях встречаются такие векторные поля, в которых вектор поля оказывается грздиентом некоторой скалярной функции точки, Примером может служить гравитационное силовое поле (поле тяготения). Пусть притягивающая масса М находится в точке С)(й ч, С), а притягиваемая масса ю — в точке Р (х, у, я). Тогда сила тяготения Ньютона есть вектор р со следующими кооряинатамн: Š— х»,— у ь — я р,= Мт —,, еь юМТ вЂ” ',, Р,=тмт —, здесь г = г' (1 — х)'+ (ч — у)'+ (ч — я)' (расстояние между обеими точками), а т егть «постоянная тяготения». (В каждом из этих выражений можно выделить по множителю: $ — х ч — у — = сова — =ссзз„— =ожз„ вЂ” зто направляющие косинусы вектора РО.) Нетрудно проверить прямым дифференцированием, что написанные выше составляющие силы тяготения равны частным производным функции юМТ юМт г )~(х — 1)»+(у — »))»+(я — б)» 112 гл.
и, екнкции многих пввамвнных и нх птоизводныв !т по координатам х, у,к Следовательно, нзш вектор-сила является градиентом этой скалярной функции тачки Р (х, у, з): тмМ Р= йтаб —. Г Если в силовом (венторном) поле сила равна градиенту некоторой скалярной функции точки, то эту скалярную функцию часто называют силовой Функцией нли иотенциалом для данного силового поля. [В физике потенпналом обыкновенно называют силовую функцию с обратным онаком.] Это понятие мы рассмотрим с более общей точки зрения прн изучении работы и энергии (гл. Ъ', й 1, и'4 и га. И, Я ! н 5). 7. Дивергенция и ротор векторного ноля.
Всякой дифференцируемой скалярной функции точки мы отнесли, с помощью дифференцирования, характеризующее ее векторное поле ее градиентз. Аналогично можно для векторного поля построить, с помощью некоторого процесса дифференцирования, скалярную функцию точки, называемую дивергенцией этого векторного поля. Исходим сначала из выбранной системы координат х, у, х и в этой системе называеи дивергенцией вектор-функции точки м(х, у, з) следующую скалярную функцию: ди, ди, ди, д!чм= — '+='+ — ' дх ду дз ' т. е. сумму трех частных произволиых от координат вектора м по одноименным координатам точки, По замыслу, дивергенция должна быть скалярной функцией точки, характеризующей векторное поле а(х, у, г), и не должна аависеть от выбора системы координат.
Поэтому, чтобы оправдать нзше определение, надлежит доказать, что в любой другой системе координат 1, т], ч дкч ди, де, д[ч и = — '+ — '+ — ' д1 д, дс ' где юь юв юз — координаты вектора м в системе с, ть ч. И действительно, с помощью правила цепочки и формул преобразования, стр. 101, легко доказывается тождество ди, ди, ди„ дя, дн, дш„ — '+ — '+ —," = — — '+ —;+ —,". дх ду дз д$ дя д, "' Мы здесь ограничимся формальным определением дивергенции, а ее физико-геометрическое истолкование мы рассмотрим в гл. Ч, й 5.
Тзк же формально мы введем и понятие ротора или вихря векторного поля (по-английски сцг1). Ротором векторного поля и=и(х,у, я) иааывается соответствующая этому полю новая вектор- функция точки, имеющзя в системе х, у, а следующие координаты: (ди, ди, ди, ди„ди, ди;! го1м=) — — —, ) ду дз ' дз дх ' дх ду ]' Для того чтобы оправдать это определение, следовало бы показать прямым пересчетом, что оно не зависит от выбора системы коорди- З т. п»нмйнвннв вактогных методов наг, т.
е. при переходе к любой другой системе координат («, з,",), в которой вектор поля и будет иметь новые координаты [мь вэ мз], координаты нового «вектора», обозначенного символом го1 и, преобразуются к виду ( ' " ° .' —. ) дч, дп, да, д«ч д ~ь д»») дС д". дЗ ' дЗ д .[' Однако мы ие будем заниматься этим пересчетом, потому что в гл. 7, й 6 естественным путем будет получено нзглядное физическое истолкование ротора и вместе с тем сам собой выяснится его векторный харзктер.
Три дифференциальные операции, дающие градиент, дивергенцию и ротор, можно связать друг с другом с помощью одного «дифференциального оператора» [называемого также оператором Гол«ил»- тона], обозначаемого символом 7 (читается: нзбла). Этот оператор носит характер «символического вектора» Градиент скалярного поля есть «произведение» этого «вектора» 7 на 'скалярную функцию г'(л,у, «): „ад,„(~У "1 (дн' ду ' д« Дивергенция векторного поля и есть «скалярное произведение» «вектора» 7 на вектор-функцию точки и=и(х,у, «): д[ и = 7и = — — — -[- †.
дп, , ди, ди„ дх ду д« ' Ротор векторного поля и(х,у, «) есть «векторное произведение» оператора 7 нз вектор и: го( и = [7и]. В заключение приведем некоторые часто встречающиеся соотношения. 1) Ротор градиента равен нулю; в символической записи: го« асад ~= О. Действительно, это соотношение является прямым следствием теоремы о переместительности порядка дифференцирования. 2) Дгьвергенция ротора равна нулю: йчгоги=О. Эта'формула тоже сразу вытекает из определения обеих операций на основании переместительности порядка дифференцирования.
3) Чрезвычайно важное значение имеет часто встречающаяся в анализе и в его приложениях диеергенг(ин градиента еналлрной 114 гл, и. огнкции многих пи»змеиных и их пяонзводныв (т функции у(х,у, х). Ее можно представить как «произведение» скалярд' д' д' ного оператора 7' = †, + †, + †, (набла квадрат) наг. В результате получается лапласпан или дифференциальное выражение Лапласа, играющее большую роль в теории потенциала и издавна обозначаемое символом цУ) д»У д'у д'У к|=7 1=41. ИгаМ= ,—+ д, +,—.. дх" ду' дз' ' Лиффереициальный символ д' д' д' дхг + ду' + дз« называется операгпором Лапласа или лапласиаподс 4) В конце гл. 71, з номере, посвишенном уравнениям Максвелла, нам понадобится еще формула го1 го1 а = игад д(ч и — 7аа, которую предоставляем вывести читателю. Отметим только, что здесь лапласиан берется не от скаляра, а от вектора и=(гтьгг„из).
Это значит, что 7'и есть вектор-функция Ч'и = )Чаи„Ч»ггь Чагга). Наконец, заметим еще, что терминология векторного анализа часто применяется и к так называемому пространству п измерений. Совокупность п чисел рассматривают как точку и-мерного пространства (хь х„..., х„) или как и-меРный вектоР (аь аь ..., а„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
