1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Он, например, остается справедливым и в том случае, если промежуточные аргументы 1, ть ... зависят только от одной независимой переменнной х, так что н величина и является слокной функцией от единственной независимой переменной х. Он сохраняет также силу, если сложная функция и зависит лишь от одного промежуточного аргумента ч, который сам является функцией от независимых переменных х, у, ... 3. Вычисление частных производных от сложной функции — правило цепочки. Из формулы (*) предыдущего номера, на основании доказанного в $4, и' 4 предложения, получается важная формула для вычисления частных производных от сложной функции: «=Ф" +АЬ+ у — ~с'ту +Я'г + или, в менее точной, но более удобной для запоминания записи: сс,=и.„$„+ила,+ ..., и =и,Е +ссай + ...
Еще одна запись этой формулы: ди ди да ди дч дх дс дх +дл дх + ди ди дс ди дч ду д$ ду + дч ду + ' " Для того чтобы найти частную производную по х, надо вычислить частные производные от сложной функции по всем промежуточным аргументам с, т(, ..., каждую из этих частных производных помножить на производную от соответствующего промежуточного аргумента по х и затем сложить все полученные произведения. Это правило является обобщением на функции многих переменных того правила цепочки, которое было выведено для функций одной переменной в т.
1, гл. П1, й 4, и' 1. Ясно, что в последней системе формул лолжно быть столько строк (формул), сколько имеется независимых переменных х, у, ... в з. сложныв втнкцни Если, в частности, сложная функция вависит лишь от одной независимой переменной х, то будет лишь одна формула, которая примет следующий вид: еи ди еЕ ди еч ех д$ г!х+д~ ех+ "' Если сложная функция зависит лишь от одного промежуточного аргумента Е, который сам зависит от х и у, то правило цепочки запишется так: ди Ми ДЕ ди еп еЕ ах =еЕ ах ау = еЕ ау. Для вычисления частных производных второго порядка от сложной функции надо полученные выражения для частных производных первого порядка вновь дифференцировать по х и по у, рассматривал ти Уч..., как сложные фУнкции. ОгРаничиваЯсь, в целЯх пРостоты, тремя промежуточными аргументами Е, ть Е, получим: Дифференцируя эти формулы, можно получить выражения для частных производных третьего порядкз и т.
д Решим несколько примеров. Подчеркнем, однако, что конкретно заданные сложные функции можно проднфференцировать и непосредственно, не пользуясь правилом цепочки для функций многих переменныж 1) Рассмотрим функцию и = е 'их'У+з«У ив и«У+у'. Положим Е=х' з!пву, и=2ху в!п х вшу, с=уз. Тогда и=ев~""', и мы получим: я„= 2у з!п х зш у+ 2ху соз х в1п у, ь„= О, Ех = 2х в1п вУ, Е,=2х' в1пу сову, Еу= 2у ть,= 2хзшх з(п у+ 2ху з!и х сову, ла=п =и =ев+че. с в ч г Следовательно, их = 2е" '!х У+ в«У и" хи" У+У (х вш'у+ у Мп х и!и у -(- ху сгв х в!ну) л„=2е~~'~~ У+~««и'"и'У+«(х'Ыпусову+ха!их в!пу+ху з!пхсов у+у).
пхх= г11Е«+ гччт!х+ гссЕх+2гш хт(х+2.гага«Е«+ + 2УыЕ«Е«+АТЕЕ«х+У,Ь«+ Ус(хх~ ху=уыЕ«Ел+УЗ )х ~у+А!С«~у+У!ч( «'!у+ у !х)+ +Уж И~у+'ОЕ«)+Ум (ЕмЕу+ ЕуЕ«)+АТЕЕ«у+ Уз Чху+УсЕ«у> !!ту=,гввЕу+Увалу+ !сает+ 2гвчЕтт!у+ 2гчст!учу+ + 2у гЕуГу +у!Еуу +Албуу +~гЕуу' 90 гл. и. егнкцни многих пзгзмвнных и нх пгоизводныв И 2) Функция и= зш (х'+у'). Положим Е =х'+у'; тогда и=зш Имеем: и„= 2х соз (х'+у'), а„= 2у соз (х'+у'), и„, = — 4х'з1п(х'+у') + 2 соз (х'+у'), и„= — 4хуа1п(х'+уа), ир — — 4у'з!п(ха+уз)+. 2 соз(ха+у~ 3) Лля функции и = агс1и(х'+ ху+у') введем обозначения Е=х', а=ху, Е=у', тогда сс=агс19(Е+ъ~+Е).
Получим 2х+у х+ 2у 1+ (хг+ху+у")' ' У 1+ (хЯ + ху+у~)~ ' 4) Рассмотрим пример сложной функции, зависящей в конечном итоге лишь от одной независимой переменной х: г'(х) = [ф (х)[4'"1. Положив Е = ср(х), т1 = ф(х), получим гг = Р(х) = Еч. Имеем и =т)Еч ', ич=Еч1п Е, — =ср'(х), —,' =ф'(х). По правилу цепочки я'Е, я'ч я'х ' вх — =и„— +и — = ЕЕч 'ф'(х)+Еч!пЕф'(х)= Лг"- (х) ЛЕ ия =[ф(х))чгх1[[ф(х) Р +ф'(х)!пф(х)~. Этот результат был получен уже в т. 1, стр. 229, с помощью несколько искусственного приема. [4. Полный дифференциал сложной фуннции.
Инвариантность полного дифференциала первого порядка. Рассмотрим сложную функцию и=ДЕ, т[...,), где Е= р(х,у), ч=ф(х,у),... формула (ь), стр. 87, доказывает, что если промежуточные функциир(Е, я,...), ф(х, у), ф(х,у), ... дифференцируемы, то и сложная функция и=7[<р(х,у), ф(х,у),...)=г(х, у) дифференцируема, и ее линейная часть, т. е. ее полный дифференциал, выражается так: йс=(и Ех+ггчт[,+...)Ьх+(гг Е„+и,г, +...)Ьу=. =(иеЕ„+ггчт1х+...)Ых+(иеЕг+и т[г+...)с(у. Преобразуем правую часть этой формулы следующим образом: сперва раскроем скобки, а затем вынесем за скобку величины и., и„,...
и из всех членов, в которых они содержатся. В результате получим и=и,(Е„г(х+Егг[у)-[-ия(т хрх [ „,у) [ 41 а а, сложные згнкции Теперь выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы промежуточных аргументов Е, ц и т. д. как функций независимых переменных х и у: Й = Ель(х 1 Егозу зсц Ь~"х+цуоу~ ' ' Следовательно, сгп =гггсгЕ+ ггчс(Ч -1-... Нетрудно убедиться, что именно такое выражение получилось бы для полного днфференцизла, если бы величины Е, ц,... были независимымн переменными.
Стало быть, доказзна следуюшая теорема: Выраженгге для полного дифференциала функцап гг=ДЕ, ц,...) сохраняет свой вид независимо от того, являются лп независимыми перелгенными или только промежуточными аргулгентамп, «огпорые гамп являются функциями от незавггсилсых переменных х, у,... Из хода рассуждений ясно, что этот результат справедлив не только при любом числе промежуточных аргументов Е, ъ..., но н при любом числе независимых переменных х, у„.. Эта теорема нааывается теоремой об инварпантности (неизменности) полного дифференциала. Она является обобшением свойства инварианпюсти дифференпиала функции одной переменной (т. 1, стр.
184 — 185), Доказанная теорема дает возможность распространить на функции многих переменных известные формулы для дифференциалов функций одной переменной. Пусть Е = ь(х,у,...), ц=~)(х,у,...). Тогда для полных дифференциалов этих функций справедливы следуюшие формулы: юК(сЕ) = с огЕ, если с= сопя(, гг(Е 1 ч1) = с(Е +' йЪ гЕ(Е 1)= 1й+Есгт1, ,~~Р, чвŠ— Ед, Локажем здесь последнюю формулу, остальные читзтель сам легко докажет тем же способом. Имеем сложную функцию и= —, где Е= Е ч = т(х, у, ), т) = т(х, у,...).
По свойству инзариантности полный ! дифференциал йг=гг с(Е+ггчс(ъ), причем и. = —, и = — —,; следоь ч ' ч 1 Е хпŠ— Епч вательно, г(и= — а% — — сЬ1= — ' — ', и формула доказана. Стало быть, вычисления с полными дифференциалами функций многих переменных можно вести по тем же правилам, что и с диф. ференциалами функций одной переменной, 93 в Б. сложныв Функции точки). Этот результат справедлив и при введении новых прямо- угольных (декартовых) координат в пространстве.
другой важный пример введения новых независимых переменных дает переход от прямоугольных координат х,у к полярным коор- динатам г, 8; этот переход выражается преобразованием х=г соз 8, у=гзспд, )агсВдУ при х'= О, Г=Ф/ в+уз. В=С ассВ — +и при х(О. У При введении полярных координат функция и=с(х, у) преобра- зуется так: и=у(х, у)=у(г сов 8, гзспВ) =р(г, 8), и величина и оказывается сложной функцией независимых переменных г и 8. По правилу цепочки получаем и„=и„х +и у„=и, сов 8+и„зсп8= — и„+ У и, г " г ив — и хв+иуув=и,( — гвсп9)+и„г соз В= — уи„+хи„. г =У =зспВ, У с. г„= — =сов В, х г У я у х х х+у г ' х+у получим и =сс — — ив — =и соз 8 — ив— У 'г г- г и,=и,— + ив — =и, з!п В+ив — ° У ' г ггт г Из этих формул легко вывести еще одно часто встречающееся тож- дество с ~ а и' + ис = и, '+ —, яв.
г' Первое из этих равенств дает в сущности производную от функции и=С (х, у) по направлению радиус-вектора г; мы с ней уже встретились на стр. 79 — ВО. Второе равенство дает производную той же функции по направлению, перпендикулярному к радиус-вектору. Итак, ди ди д— — — Р,и =РСвссс, д а — — Рс, в и.
г ' (в+ ) ' Однако часто приходится рассматривать х, у как независимые переменные, а г и 9 как промежуточные аргументы. Тогда и.=ихг„+ивВ„, и,=и,г„+ивВ. Внеся сюда (см. примеры в конце предыдущего номера) 94 гл. п. скнкцни многих пвввмвнных и нх пвонзводныв (3 Дифференцируя по правилу цепочки выражения для частных производных первого порядка, получим следующие формулы для частных производных второго порялкз: з$п' 0 сова з!п 0 мп'0 созз з!п В и„„и„соз' В+ ам —, — 2п„+ и, — + 2стз созз з!па соз' — мп'0 и„~ — — а,л=итт соз 0 з3п 6 — стзз — —,— +и,з + мп'  — ссм' В з$п В соз В +ив гэ — и г стет 0 созВ ми 0 омтВ сов В з!и 0 техт — — и„з!п'В+иве —,+2из +и, — — 2стз Почленное сложение выражений для и„„и и приводит к следующей формуле, дающей преобрззование к полярным координатам так называемого дифференциального выражения Лапласа и„„+ихю играющего большую роль в теории потенциала: ! ! ! ! д l ди! д'щ плх+ иуу = !т ттм — + и — = — (г — (г — ) + "— т.
г' г г г" ! дг(, дг) дзт! ' Вообще всякий рзз, когда задаются соотношения и=у($, т!, ...), В=р(х,у), В=ф(х,у), ..., определяющие сложнуто функцию, ее можно рассматривать как введение тювых независимых переменных х,у вместо 6, т), ...; при этом соответствующие друг другу системы значений переменных с, т), ...
и х, у приводят всегда к одному и тому же значению и, безразлично, рассматривается ли а как функция от одной или от другой системы переменных. Когда идет речь о дифференцировании сложной функции, надо всегда иметь в виду следующее обстоятельство. Надо четко рззличать между ззвисимой переменной и и символом функции у, который обозначает функциональную зависимость между величиной и и аргументами В, т!, ...: и=Д$, те ...). Символы дифференцирования и, и, ...
приобретают смысл лишь тогда, когда конкретизнрована функциональная зависимость между величиной и и независимыми переменными. Поэтому, строго говоря, для сложной функции и=У(В, т!, ")=Р(х, у) следовало бы щтсать не и, иж ..., а также и„и а, но т,,тч, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
