1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 17
Текст из файла (страница 17)
погрешность линейного приближения] должна быть при р-ьО величиной порядка малости о(р), т. е. порядка высшего, чем порядок малости расстояния р = УЬз+ Ь' между точками (х, у) и (х+Ь, у+Ь), так что У(х+Ь, у+Ь)=У(х, у)+АЬ+ВЬ+ар. Эквивалентность обоих формулировок доказывается так. Всегда справедливо неравенство ( а,л+ ЫЬ ~.» ь )гсль+ Ьь, если через ь обозначив 76 гл. и.
ехнкции многих пввймвниых и их пяоизводныв В величину» = (», )+ !», (, стремящуюся я нулю вместе с», и»,. Тем самым из первой формулировки вытекает вторая. С другой стороны, так как !»)» Л» -(- Л» ~ ~ ~ » ~ (~Л1+1Л1), то яри выполнении второго требования ааность между функцией й ее лиисйным приближением имеет вид »(1Ь)+~л1), где — 1~В~+1, а стало быть, выполняется и требование, содержащееся в первой формулировкс.
Если такое приближенное представление существует, т. е. функция»(х, у) дифференцируема в точке (х, у), то она имеет в этой точке обе частные производные, причем»л — А(х, у) и»» — В(х, у):. В самом деле, полагая А=О и разделив приращение функции на /г, получим у(х+ И, у) — у(х, у) а так как в, стремится к нулю вместе с Ь, то при предельном переходе Ь -»- О левая часть действительно стремится к пределу А (х, у), так что »л(х, у)=А (х, у).
Таким же путем заключаем, что существует частная производная по у и что »»(х, у)= В (х, у) Тем самым одновременно доказано, что линейное приближение дифференцируемой функции единственно. Итак, функция, дифференцируемая в точке (х, у), может быть представлена в окрестности этой точки в следующем виде: у(Е, »1) = у(х+ й, у+ й) =Х(х, у) + у„(х, у) А+ У, (х у) й+ ар где а-».О при р-«О. Здесь (=х+Ь, т)=у+й. Из этой формулы можно вывести еще одно важное следствие.
Для диффереицируемой функции нет нужды отдельно доказывать ее непрерывностьс если )'(х, у) дифференцируслга в тачке (х, у), то отсюда улке вытекает ее непрерывность в этой точке. Действительно, так как предельный переход 1» -». О и й -«О равносилен предельному переходу с -».х, »1 -«у, а при этом л -« О и р « О, то из последней формулы вытекает, что х ч-» а это и значит (стр. 61), что наша функция непрерывна в точке (х, у).
Из сказанного видно, что как непрерывность функции» (х, у), так и существование у нее обеих частных пронаводных в точке (х, у) являются необходимылси условиями дифференцируемости функции в этой точке: если хотя бы одно из этих условий не выполняется в какой-либо точке, то функция не может быть дифференцируемой в этой точке. Вскоре мы увидим, что и выполнение всех этих условий не обеспечивает дифференцируемости функции в рассмзтриваемой точке.
О Д ПОЛНЫЙ ДИЭЭВЭВНЦИЛЛ ЕХНКЦНИ Однако практика нуждается и в достаточном критерии дифференцируемости функции; нижеследующая теорема дает один иэ видов достаточных условий дифференцируемости: Если функция и=Ях, у) имеет в некоторой окрестноспш точки (х, у) обе частные производные первого порядка, а в самой этой точке частные производные непрерывны, тпо функция дифференцируема в точке (х, у), т. е.
допускает приближенное представление с помощью линейной функции. В самом деле, полное приращение функции азз=Дх+Ь, у+Ь) — ((х, у) может быть представлено в следующем виде: йи — (У(х+» у+Ь) — Пх у+Ь)) + (г(х у+И) — у(х~ у)). Каждую иэ фигурных скобок мы преобраэуем по теореме о среднем значении дифференциального исчисления: Ьи=М (х+Оз», у+Ь)+»ау(х, у+От»). Так как, по условию теоремы, частные производные гл и ~„непре- рывны в точке (х, у), то мы вправе написать: тл(х+Оф,у+И)=~„(х, у)+ат и т' (х,у+От»)=У„(х,у)+ев, причем числа ат и л, стремятся к нулю вместе с И и Ь. Таким обра- зом, получаем йи = ЬЯ, (х, у) + Ьг (х, у) + ат» + ат» = = »г"„(х, у) + Ц (х, у) + о Я Ьв+ Ьт), а это и оэначает, что наша функция дифференцируема в точке (х,у).
Выражение Ь|„(х,у)+ Ь~„(х, у) наэывается линейной частью приращения функции, а выражение лз»+ аз» =о()' Ь'+ Ьв) называется членом высшего порядка или погрешностью линейного приближения функции. Если допустить только существование частных производных тл и т, но не их непрерывность в точке (х,у), то функция может и не быть дифференцируемой, в чем можно убедиться на следующем примере. Рассмотрим функцию если ха+у' Ф О, и=у(х,у)= )гх'+у' О, если х=у=о.
(Ход изменения втой фрикции станет особенно ясным, если перейти к пот лярным координатам к =с сова, у.=тица; тогда и= — мийэ.) Гл. и. Функции многих пйвзмзннык и их паоиэводныз !3 !)ераые произволные па к и по у существуют всюду в окрестности начала координат и равны нулю в самом начале координат, ио оии имеют разрыв в этой точке, ибо, например, хл ) «' " «(»' *+«а ( Р+у)'/ »( '+«')" Если приближаться к началу координат вдоль оси х, то и стремится к нулю, если же приближаться к началу по оси «, то я —.$- ! пр)л «-+0 и и — ! при у — — О. Легко убедиться, что наша функция и=-у(х,«) недифференцируема в начале координат.
Действительно, в противном случае оиа имела бы своим линейным приближением г"(О, 0)+Ул(0, 0) Ь+ +ут(0, 0) я=О, а разность между значением фупкцииу(х,у) и ее линейным ! в ириблнженнси была бы и — 0= — яп24; но вдоль прямой З= — имеем 2 4 аш2З=1 и и= —,, так что порядок малости этой разности не выше порядка малости расстояния г вопреки тому, чего требует определение дифференцируеиастн ф!нации. функцию с непрерывными первыми частнымн производными мы будем называть непрерывно диффервнцируемой функцией.
Если и все производные второго порядка также непрерывны, то мы будем называть функцию двалсды непрерывно дифрлеренц!груелгой и т. д. Как и в случае одной независимой переменной, определение диф. ференцируемости функции двух переменных можно заменить следующим равносильным определением: функция у(х, у) нззывается дифференцируемой в точке (х, у), если Д(х + Й, «+ Ц вЂ” г (х, у) = ай + р!а, где а и р зависят не только от х и у, но и от приращений Й и й и валяются непрерывными функциями от )! и )г при й=О, й=О, Мы полагаем, что нет нужды специально расскааывать, как распространить определения и выводы этого номера на функции трех и большего числа аргументов. 2. Проиэводнап по заданному направлению. )(Ифференцируемые функции обладзют тем важным свойством, что они имеют частные производные не только по х и по« илн, как принято также говорИть, по направлениям х и у,— их можно также дифференцировагпь по люболгу другому направлению.
Объясним смысл этого утверждения. Любое направление на плоскости определяется указанием угла «, образуемого этнм направлением с положительной осью х, либо заданием единичного вектора в=(соли, з!па). Из рассматриваемой точки Р(х,у) проведем полупрямую по направлению вектора в, т. е. под углом л к оси х. На этой полупрямой возьмем переменную точку Я(х+)г, у+ А).
Заставим точку Я стремиться к точке Р, двигаяс! вдоль упомянутой полупрямой. Прн этом, когда расстояние р между неподвижной точкой Р и переменной точкой Я, т. е. модуль з 4, полный диоовяанцньл екнкцнн (Заметны, что р=)Р(,) (= у~Ье+Ье) Вычислим теперь, как обычно, приращение функции а(»,У) при перемещении на вектор Р'ьва у (»+Ь, у+Ь) — ) (х,у) и разделим его на р. Если эта дробь стремится к определенному пределу при р — ьО, то этот предел нззывается производной от функции У(х,у) в точке Р(х,у) по направлению з (точнее, по напрзвлению вектора в) и обозначается символом 01„ьУ или 0е). Следовательно, 01„)у (х, у) = 0„1 (х, у) =1)ап У ' У+ ) р-О Р у (х + р сое е, у + р е)п а) — у(х, у) р-о Р В частном случае, когда к=О, то в=еь т. е.
Ь=О и р=Ь, и мы полУчаем 0ае)У(»,У)=0„,У(»,У)= — —; если же а= —, то з=еь т, е. Ь=О и р=й, и тогда 0~.~У(х,у) 0,,У(х,у)= —. Нетрудз но УбедитьсЯ, что 0а>а)"(х>У)=0 — р>У(х У)= в и 0( )У(»У)= дг" — » ' х. дУ = — 0,,у(х,у)= — —. Вообще если функция Дх,у) дифференциду ' руема в точке (х,у), то ее приращение можно представить в следующем виде: +" У+Ь) — г(», У)=Ь>эх+ Чу+яр=р(а сова+у з)пз+е) Когда р-ьО, то и е — ьО, и для производной по направлению а (по направлению вектора в) получается следующее выражение: 0а„Д(х,у)=0еУ(х,у)=1 соза+ауз1пз. Следовательно, пропэводнан по направлению ц равна линейной комйаанаа(аааа частных пРопзводных У' и Уэ е ноэффааиааента.иаа созе и з)пк. Этот вывод, стало быть, всегда справедлив, коль скоро известно, что производные ух и у существуют и непрерывны в рассматриваемой точке (х, у).
П р и и е р 1. Изучаемая функция равна полярному радиусу, т. е, модулю радиус-вектора: р (х, у) = г = 1г1 =)>х'+у'. Тогда х х = — = сое 6, )' хр + у> г = у = — = е)п 6, 1гх'+у' векторз Р>й='1Ь, Ь), стремится к нулю, то Ь и А тоже будут стремиться к нулю, но уже не как угодно, не независимо друг от друга,'" а подчиняясь формулам Ь> рсозя, Ь=рз)ПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
