1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 13
Текст из файла (страница 13)
от способа районирования и от общей численности населения города; оба эти аргумента — целые числз. С другой стороны, время, длины, веса и т. п. могут служить непрерывными аргументами. Мы будем иметь дело почти исключительно с непрерывно изменяющимися аргументами: например, точке (х, у) будет дозволено изменяться в определенной области плоскости хОу; здесь область играет ту же роль, что ингпервал у функции одного аргумента.
Такой областью 0 двух независимых переменных может быть вся плоскость ху; область 0 может состоять из куска плоскости, ограниченного одной замкнутой кривой С, не пересекающей сама себя (односвязная область, рис. 18); наконец, область 0 может бмть ограничена несколькими замкнутыми кривыми, В последнем случае она называется многосвязной областью, причем число граничных замкнутых кривых назмваетея степенат свяаности или прости бб гл. и.
эгнкцин многих пвгзмзнных н их пгоиаводныв [1 связностью области; на рис. 19 показана для примера трехсвязная область. Граничные кривые, и вообще все рассматривземые в этом томе кривые, мы будем предползгзть кусочно гладкими. Это значит, что мы раз навсегда предполагаем, что всякая такая кривая состоит из конечного числа дуг, каждая из которых имеет в любой своей точке касательную, непрерывно изменяющуюся от одного конца дуги до другого ее конца. Стало быть, такие кривые могут иметь лишь конечное число угловых точек и точек ззострения.
При изучении функций двух переменных чаще всего встречаются области следующих двух типов: 1) Прямоугольная область (рис. 20), характеризуемая двумя неравенствами вида а~ х*а Ь, с у(4 в тзкой облзсти каждая неззвисимая переменная огрзничена определенным интервалом, а точка-аргумент (х, у) пробегает прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат.
О Рис. 20. Рис. 21. 2) Круговая область (рис. 21), определяемая неравенством вида (х — а)'+ (у — р)' ~ г', в которой точна-аргумент (х, у) пробегает круг радиуса г с центром (з, Р). Точка Р, принадлежащая области О, называется внутренней точкой этой области, если существует круг с центром в Р, целиком лежащий в О. Если Р есть внутренняя точка области О, то говорят также, что О является окрестностью точки Р. Таким образом, любая окрестность точки Р содержит достаточно малый круг с центром в этой точке.
Теперь вкратце отметим, что у функций трех независимых переменных х, у, г положение дел точно такое же, только с тем отличием, что точка-аргумент непрерывно изменяется ие в плоской, а в про- $!. пОнятие Фьнкции мнОГих пеаеменных странственной облзсти. Эта область может быть, в чзстиости, прямоугольной областью, определяемой тремя неравенствзми вида ас~х -.а„Ь,(у(ЬЯ, сс(г -.с„ или сферической (шаровой) обласслью, характеризуемой одним неравенством вида (х — а)'+ (у — р)'+ (г — Т)' =. га.
Отметим еше некоторую более тонкую детализацию понятия области, едва ли существенную для целей нашей книги, но имеющую важное знзчение при более глубоких исследованиях. Часто приходится рассматривать область, не содерскашую своих граничных точек (или своей гранссцы), т. е. точек тех кривых, которые эту область ограничивают. Такая область называется открытой или незамкнутой (ср.
1(ополнение к этой главе, й 1, л' 2). Так, например, область ха+ус(1 ограничена окружностью х'+у'=1, но не содержит этой окружности; стало быть, это — открытзя область. Если же, напротив, граничные точки причисляют к области, как мы это чаще всего будем делать, то область называется замкнутой. Когда число и неззвнсимых переменных больше трех, то наглядное представление уже не дает геометрического истолкования системы независимых переменных хь хм ..., х„. Однако и в этом случае целесообразно пользоваться геометрической терминологией и называть набор п чисел точкой п-мелного пространства.
В таком пространстве естественно называть прямоугольной областью множество точек, координаты которых удовлетворяют п неравенствзм вида ас~хс ==Ьь а, ха -Ь„..„а„(х„(Ь~ а шаровой областью — множество точек, удовлетворяющих неравенству вида (хс — ас)'+(хь — вар+... +(х„— а„)' = г'.
Теперь мы можем уточнить определение общего понятия функции следующим образом: если задана область О, в которой независимые переменные хс, хь ..., х„могут как угодно изменяться, и есмс каждой точке (хь х„, ..., х„) этой области приводится з соответствие, с помощью какого-либо закона, определенное значение и, то величссна и называется в этой области функиссей непрерывных независимых переменных хь х„..., х„. Необходимо иметь в виду, что, как и в случае функции одной переменной, функциональное соответствие относит системе значений независимых переменных единственное значение функции и.
Поэтому если функция определена с помощью многозначного аналитического выражения, например, сс= Лгс(и †, то функция таким выражением У х' еше не вполне определена: необходимо еще дополнительно уточнить, какое из всех возможных значений этого вырзжения имеется в виду а 3. нвпРВРызность переменной, например, и=з1п(хагесозу) или и=1п у. (Ср, также $5 о сложных функциях.) 3. Геометрическое изображение функций. В главе Х первого тома мы рассмотрелн два основных метода геометрического изображения функции двух независимых переменных: 1) поверхностью и=У(х, у) в пространстве х, у, и, описываемой точкой (х, у, и), когда точка (х, у) пробегает область определения функции и, и 2) с помощью линий уровня в плоскости хОу, вдоль которых функция и сохраняет постоянное значение д. Мы не станем здесь повторять зто рассмотрение.
Если читатель еше не овладел полностью этими способами геометрического изображения функции, то ему рекомендуется прочитать изложение втой темы в главе Х первого томз, $ 1, н' 3. й 2. Непрерывность 1. Определение. Читатель, знакомый с функциями одного аргумента н видевший, какую ззжную роль играет у них понятие непрерывности, естественно ожидает, что соответствующее понятие будет занимать выдзюшееся место н в теории функций большего числа беременных. Более того, он наперед догадается, каков смысл утверждения, что функция и=Г(х, у) непрерывна в точке (1, т). Это выражение, грубо говоря, означает, что для всех точек (х, у), близких к точке (1, т1), значение Г(х, у) лало отличаетсн от У(1, я), и притом сколь угодно лало, если только точка (х, у) лежит достаточно близко от (1, ч) Выразим теперь эту мысль более точно: Функция У(х, у), онпеделенная е области 6, называется неярерызноГс в точне (1, я) зтоб области, если для всякого положительного числа а возможно найти такое положительное число Ь=ь(е) (вообще зависящее от а и стремяШееся к нулю вместе с а), что для всех точек области О, расстояние которых от точки (1, ч) не превышает д, т.
е. для которых (х 1)а+(,)и ьа выполняется неравенство (2) Другими словами, неравенство ~г(с+л, 'ч+ и) — У(ч, 'ч)( ~а выполняется для всякой пары значений (д, й), для которой )ьа+Аа~ ~ба, а точка (Г+Ь, и+й) принадлежит области О. 60 гл. и. венкции многих пиязминных и их пяоиззодныи П Примеч ание к условию (1). Если (Е, Ч) — внутренняя точка области О, то точки (х, у) при лостаточио малом Ь заполняют весь круг (х — Е)'+ (у — ч)'~аэ, если жс точка (Е, ъ;)— У граничная, то точки (х, у) заполняют лйшь ту часть этого круга, которая принадлежит обазсти О.
Рис. 22 иллюстрирует этот второй случай. Если функция непрерывна з любой точке области О, то говорят, что оиа непрерывна в области О. Условие й'+ Пэ ~ бэ, налагаемое в определении непрерывности на расстояо ние между точками (Е, т)) и (х, у), можно Рис. 22. заменить следующим равносильныи усло- вием. Лля всякого сколь угодно малого з)0 должны существовать дза таких положительных числз дг и Вм что коль скоро )Ь)(дэ и ~й~~дь Оба условия действительно равносильны, ибо если первое условие а выполнено, то выполняется и второе при 3т=3э==., и, обратно, )у'2 ' если выполнено второе условие, то выполняется и первое: нздо только выбрать в качестве д меньшее из двух чисел 6э и дэ. Читатель сам легко докажет следующие почти очевидные теоремы: Сумма, разность и произведение непрерывных функций тоже непрерывны, Частное двух непрерывных функций непрерывно всюду, где знаменатель не обращается в нуль.
Менее очевидна следующзя теореиз; ее докззательстзо будет дано з $ б, и' 1 этой главы (стр. 85 — 86). Непрерывная функция от непрерывной функции тоже непрерывна. Как непосредственное следствие этих теорем имеем: Все целые рациональные функции всюду непрерывны, а все дробные рациональные функции непрерывны всюду, где знаменатель не обратцается в нуль. Полезно отметить еще один почти очсвилный факт. Если функция /(х, у) непрерывна в области О и отлична от нуля ео внутренней точке Р этой области, пю можно окрулсить точку Р такой окрестностью, принадлежащей полностью области 6 (например, достаточно мелим кругом с центром Р), в которой у(х, у) нигде не обращается з нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
