1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 11
Текст из файла (страница 11)
У =У е'=л Оби(ее аффинное преобразование на плоскости х'=-а,х+ Ьгу, У' = а,х+ ЬеУ, с отличным от нуля определителем, можно представить а аиде произведения примитивнык преобразований. Приступая к доказательству, можно предположить, что а, ~ О '). Введем промежуточное ирнмитивное преобразование с=а,х+Ьу, ч=у, определитель которого равен а, н, стало быть, отличен от нуая.
Из $, ч получаем х', у' с помощью второго примитивного преобразования ат а, а,6, — а,Ь, 1 ! а, Ь, с определителем ' ' ' ' = — ~ ' ' ( ~ О, Таким образом, данное преп, ат! а, Ь, образование представлено как произведение примитивных аффннных пре- образований. Совершенно аналогичным путем можно и общее аффинное преобразо- вание а пространстве х'=а,х+Ь,У-(-с,л, у'=-а,х+Ь,у+ с,л, з' = аах + Ьгу+ сал ') Если а,=О, то Ь, ~0, и к случаю а,~О можно вернуться, изменив обозначения: х на у и у на х. Это изменение обозначений„выражающееся преобразованием Х=у, ?'= х, можно в свою очередь осуществить с помощью последовательного проведения примитивных преобразований х,=х — у, х,=ко Х= — х,+у =у, У1 =У~ Ус = хг + Уг = х, ?'=Уз = х. с отличным от нуля определителем представить в виде произведения примитивных аффинных преобразований.
46 гл. г. Основный понятия днллитичнской гпомктэин (э Сначала заметим, что нэ трек определителей в~араго порядка !:,' ~.'! !.:,'! !", .! а, Ь, с, ат Ьт еэ а, Ь, с, быа бы равен нулю, как показывает его разложение по элементам третьей строки. Как и в плоском случае, можно допустить, не жертвуя общностью, что 1) а, сЕО и 2) ! !фО. ~а, Ь, ат Ьв Вводим первое преобразование, дающее промежуточное изображение (Ф, т), (): 1 — а,х+ Ь,у+ с,а, Ч мя у ь ю Определитель этого примитивного преобразования есть а, фб.
' Для второго преобразования, которое приведет к точке (7, Ч', Г), половгим Е' = й ь' = ь, а выражение для Ч' выберем так, чтебы было Ч' =-у'. Лшг этого подставим в Ч' = у' = а,х+ Ь,у+ с,л вместо х, у, з нт выражения через $ тв ь и в итоге получится второе примитивное преобразование $' = Е, Г= С Опрелслитель преобразования есть — ! ! ~ О.
1 )а, Ь, а, ) аэ Ь, Третье преобразование предрешено двумя первыми: а, Ь, ! !а, а, а, 3. Геометрический смысл определителя преобразования и теорема умножения определнтеяей. Полученные результаты позвоепот выяснить геометрический смысл определителя аффннного преобразования н доказать алгебраическую теорему об умножении определителей. Рассмотрии треугольник на плоскости ху с вершинами в точказ (О, О), (хо у,), (хя у,).
Согласно $2, о' 1, его плошадь ' " г !»„' у,'!= 2 !у,' у',!. по крайней мере один отличен от нуля, тзк как в противном случае определнтеаь преобразования а! а 4, лааинныи пвковядзовлнии и зыноигпник опвидйдитипий 42 Подвергнем плоскость ху примитивному аффинному преобразованию х'=ах+Ьу, у'=у. Тогда нашему треугольнику будет соответствовать на плоскости изображений треугольник с вершинами (0,0), (ах, + Ьуь у,) и (ах,+Ьу„у,). )(аково отношение площади Г этого преобразованного треугольника к площади Р данного треугольника? По той же формуле из ф 2, п' 1 1 )хг' хе') 1 ~ах,+Ьу, ахе+Ьуе~ 2)у у! 2! у Уе 1 ~ах, ахэ! 1 ~ЬУ, Ьуе~ ! ~ах, ах,) 2 ! Следовательно Если же взять примитивное преобразование х' = х, у' = ах+ Ьу, то таким же путем получим г" =.
ЬР. х'= а,х+Ь,у, у' = а,х+ Ь,у переводит его в треугольник с вершинами '(О, 0), (ан а,) и (Ь„Ь,) с пло- щадью (но формуле ф 2, и' 1) 1 ! а, а,~ 1 ( а, 6, ! ! а, Ь, ! Стало быть, постоянное оюношение площадей Г: р при любом аффинном преобразовании равно определиюелю преобразованию Аналогичное Иссаедованне можно провести для пространственныл аффнн- ныт преобразований. Рассмотрим тетраэдр с вершинами(0, О, 0), (хо уо гг), (см уе ге)~ (га уи ге) и сове!ппизг примитивное преобразовайпе х' = ах + Ьу -) се, У=- У В' пп д Оказывается, стало быть, что примитивное аффинное преобразование вызывает умножение площади треугольника на постоянный множитель, не зависящий от выбора треугольника.
То обстоятельство, что мы взяли треугольник, одна из вершин которого находится в начале координат, не существенно: тот же результат легко получить для любого треугольника. Так как общее аффннное преобразование может быть представлено в виде произведения примитивных преобразований, то этим же свойством обладает любое аффннное преобразование. При аффинном преобразовании плоскости отношение площади преобразованного треугольника к п ющади исходного треугольника есмь постоянная величина, не зивисящая ою треугольника и полностью определяемая коэффициентами преобразования. Для того чтобы вычислить это постоянное отношение, возьмем тре- 1 угольник с вершинами (О, 0), (1, 0) и (О, 1), площадь которого Р= —.
Преобразование 48 ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛНТНЧЕОКОЙ ГЕОМЕТРИИ [3 Преобразованный тетраэдр имеет вершины (О, О, 0), (ах, + Ьу, +его у„га), (аха-[-Ьуа-(-сг„у„га), (ах, + Ьу,+ сгп уп г,) и объем (ах,+Ьу,+сга аха+Ьу,+сг, аха+Ьу,+сг,~ Ь" 61 Уа Уа Уа га га га ~ха ха ха = — а у, у, у, 6 г, г, г, Следовательно, [г'= а[а, где [г — объем исхидного тетраэдра. Если взять примитивное преобразование х' = х, у' = ах+ Ьу + Тг, г' = г, то объем [" преобразованного тетраэдра получится тем же путем: [г' ~ 6[а, а примитивное преобразование х' = х, у' = у, г' = Ах + Ву+ Сг [я=СИ дает Отсюда вытекает, что и любое аффинное преобразование вызывает умножение объема тетраэдра на постоянный коэффициент.
(Мы взяли тетраэдр, одна из вершин которобо лежит в начале координат, но нетрудно показать, что зто справедливо для любого тетраэдра.) Для того чтобы вычислить постоянное отношение [":[а для общего аффинного преобразования х'= а,х+ Ь,у+ с,г, у' = пах+ Ь,у+ с,г, г' = а,х+ Ь„у + с,г, с вершинами (О, О, 0), (1, О, 0), (О, 1, 0) и Преобразованный тетраэдр имеет вершины (сь см с,) и его объем возьмем конкретный тетраэдр (О, О, !). Его объем 1 6' (О:, О, О), (ан ам аа)а (Ьа Ьа Ьа) ( а, а, аа) ) а, Ь, с„ У' = — Ь! Ьа Ьа = 6 аа Ьа са с„ са са а, Ь, с, Стало быть, искомое постоянное отношение [" [1' равно определителю преобразования.
Имеет геометрический смысл и знак определителя преобразования. В й х, и' 1 и и' 4 мы установили связь между направлением обхода периметра треугольника и знаком его площади и между ориентацией тройки векторов, на которых построен параллелепипед, и знаком его объема. Из этой связи вытекает. что аффинное преобразование плпскости с положительным определителем сохраняет направление обхода, а преобразование с отрицательным определителем изменяет направление обхода на противоположное; пространственное аффинное преобразование сохраняет или изменяет ориентацию тгтраздра смотря по тому, какой вник имеет определитель преобразования — плюс или .минус.
д) % 4, АФФиниые пРВОБРАВОВАния и умиожеиип ОпРеделителей 49 Рассмотрим теперь два последовательных аффинных преобразования х'= а,х+ Ь,у+ све, . х = «,х'+ р,у' + Т,е', у'= а,.с+ Ь,у+ с,е, и у" = «,х'+ Рву'+ Т,л', *=, +ьу+, Я = «,х'+ ЦУ'+ Тве'. Их произведением буде~ преобразование х =(«ва, + Р,аз+ Т,а,) х+(«,Ь„+ Р,Ь, -~-Т«Ь«) у+ («,с, +Р,с, + Т,св) е, у = (аза, + Рва» + Т а) х+ («Ь, + Рзьз + Т Ь ) у + («с, + Рзс, + Т с ) л, з =(«,а, + Рвов+ Т,а,) х+(«,Ь, +Рвьз+Т«Ь») у+(з,с, + Р,с, +Т,с,) л. При переходе от х, у, е к х', у', я' объем тетравдра умножается на а, Ь, с, «вз Ьв сз ав Ьв с, а при последующем переходе от х', у', е' к х, у, я он умножается на «, Рв Тв «в Рв Тв .
Р Тз Если же совершить прямой переход от х, у, л к х*, у*, л', то объем тетра- эдра помножится на определитель «,а,+Р,а,+Т,а, «,Ь,+Рвйз+Твьв «,с,+Р,с,+Т,с, «,а, + Рва,+Тзав «вьв+Р«Ь»+Тзьз «,с, +Р,св+Т,сз . «,а, + Рвал+ Тваз «,Ь, + Р,Ь, +Т„Ь, «,с, +Р,с, +Т,с, Отсюда вытекает, что а, Ь, с, «, а, Ь, св . «з Рв Т, аз Ьв св «в Рв Тв ав«в + аврв + аП, Ьв«в + Ьзрв + Ь«Т, св«в .+ сзр, + сП, а,«, + а«Р, + азу» Ьв"з + Ь«Р» + Ь«Т» с,«, + сзьв + сщв а,«, + а»Р« + а«Тз Ьв«в + Ь»Р» + Ь«Т« св«в + с»Р« + с«Тв Это тождество выражает теорему умноясенпи определителей. Произведение двух определителей третьего порядка равно определителю того же порядка, у которого на пересечении Ого столбпа и Ь-й строки стоит сумма произве- дений влементов вхго столбца множимого на соответствующие злементы Ь-й строки множителя. Для краткости говорят, что определитель-произведев ние получается «умножением» столбцов первого определителя на строки второго.
Так как строки определителя можно заменить столбцами, а столбцы— строками, то произведение двух определителей можно также составить, умножая строки на столбцы, столбцы на столбцы или строки на строки. Аналогичное правило справедливо для произведения двух определителей второго порядка [и вообще двух определителей и-го порядка). Например, ь! ! р! ! +ьр +ьр~ (умножение строк на строки). бО гл. !. Основные понЯтиЯ АнАлитическОЙ геОМеТрии Уиражпеипя 1. Какие условия должны быть выполнены, чтобы аффинное преобразование х' = ах+ Ьу, у' = а,х+ Ь у оставляло неизменным расстояние между любыми двумя точками? 2.
Доказать, что при аффннном преобразовании поверхность второго порядка Ахз+ Ву'+ Сг'+ !гху+ Ехг+ Ьуг+ 0х+ Ну+ Кг+ А = 0 имеет своим иэображением тоже поверхность второго порядка. Зз. Доказать, что аффинное преобразование х'= ах+ Ь у+ с,г, у'=а,х+Ь,у+ с,г, г' = а,х+ Ь,у+ с,г оставляет неизменным по крайней мере одно направление. 4. Вывести формулы преобразования для такого поворота на угол е х у г вокруг осн — = — = — „что иэ точки ( — 1, 0 1) вращение з плоскости ! 0 — 1" х=г кажется происходящим в положительном направлении (т. е.
в правой системе координат — против часовой стрелки). б. Доказать, что при аффинном преобразовании центр массы системы материальных точек преобразуется в центр массы изображающих точек. 6. Пусть ао ..., Т, обозначают девять направляющих косинусов (см. ф 1, п' 4), определягощих преобразование одной пряиоугольной системы координат а другую. Показать, что определитель Ьз Тз аз Ьз Тз — 1 аз Ьз Тз причем А=+1, если обе системы координат имеют одинаковую ориентацию, и а= — 1, если их ориентации различны. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ! 1. Два вектора а, Ь (или три вектора а, Ь, с) называются линейно незааисимыми, если линейное соотношение аа+ЬЬ=О (яли эа+РЬ+Тс=О) возможно только при а = В=О (яли а = 0=1 =0). Эти векторы называются линейно зааисимыми, если существует линейное соотношение такого вида, в котором по крайней мере один из коэффициентов а, Р (илн а, р.
Т) не равен нулю. Доказать следующие предложения: а) Три не равных нулю вектора а, Ь, с, из которых каждые два взаимно перпендикулярны, являются линейно независимыми. б) Два вектора а, Ь линейно независимы в том и только в том случае, если ]аЬ] ~ О, Трн вектора а, Ь, с линейно независимы в том и только в том случае, если а, аз аз а ]Ьс] =1Ь, Ь Ь, =60. сз с с, бмешдпнып УПРАжненИя к главк! в) Если два вектора а, Ь плоскости линейно независимы, то любой вектор а этой плоскости можно представить в виде п=аа+33., Аналогично, если три вектора а, Ь, е линейно независимы, то любой вектор в в пространстве можно представить в виде и= «а + РЬ + 7е. 2. Мы уже знаем, что для любых трех векторон а, Ь, е их векторпоскалярное произведение я, ав яв про= [ай] с=а [Ье! =Ь [еа]=е [аЬ] = Ь, Ьв Ьв . е, с, св (Общее скалярное значение этих выражений удобно обозначать айе н назы- вать смешанным произведением векторов а, Ь, е.) Доказать следующие векторные тождества: ах 'ау ая а) (аЬе) (хуя) = Ьх Ьу Ьп .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
