1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ех еу ее б) [а [Ье[] =-Ь (ае) — е(аЬ); [[аЬ] е] = Ь (ае) — а (Ье). [Словесно: двойное векторное произведение трех векторов равно среднему по записи вектору, помноженному на скалярное произведение двух крайних, минус другой вектор внутренней скобки, помноженный на скалярное про- нзведенпе оставшихся двух.) в) Скалярное произведение двух векторныт пронзведеннй ]ах ау [аЬ] [ху] = (ах) (Ьу) — (ау) (Ьх) = ) [Ьх Ьу Тождество Лагранжа (упр.
7, стр. 33) получается отсюда как частный случай. г) Смешанное произведение трех двойных векторных произведений [а [Ье]] [Ь [еаЯ [е [аЬ]] = О. Из последнего тождества вывестн такое следствие: если через каждую нз трех прямых, имеющих общую точку, провести плоскость, перпендику- лярную к плоскости двух других прямых, то полученные три плоскости проходят через одну прямую.
3. На плоскости даны две системы прямоугольных осей координат(оди- наковой ориентация) Ох, Оу и'Ок', Оу", прн этом угол кОх'=«. Вывести средствами векторной алгебры формулы перехода от одной системы коор- дннат к другой: х=к'сова — у'мпа, х'= хоота.]-у вша, у=л'звп а+у'свма, у'= — к э!па -]-усова. 4. Из формул поворота осей коорлинат, полученных в упр. 3, вывести формулы сложение: сов (а + 3) = соз а соз р — пп а мп 3, з!п (» + р) = з!п а соз р+ свм а з)п 3.
б. Даны две прямоугольнме координатные системы Ох, Оу, Оз н Ок', Оу', Оа", косинусы углов между осями обеих систем даны в следующей таблице: х' а, Зв 7, У ав Рв Тв з ав рв Тв 52 гд. !. основныв понятия дндлитичвсной гвомвтяии В упр. 1, стр. 26, быки доказанм следующие соотношения: а,«ь+0,Я+ттт«=О, «ь«ь+ «г«Я +'(ь!« =0~ .„.,+6ьвт+1П,=О. а«+ Я+ та = 1, аз+ Я+ у-" = 1, а«+Я+у„'= 1, Определитель третьего порядка Я 1 Ь= «6« ть «« элементы которого удовлетворя!от этим соотношениям, называется ортогональным, а соответствующее преобразование называется орьтогональяым яреобриэогание.ч. В упр, 6, стр.
50, было доказано, что ортогональный определитель равен ип! (плюс — если обе системы координат имеют одинаковую ориентацию, минус — если их ориентация различна). Доказать: а) что всякому ортогональному определителю д, а=+1, соответствуют две системы координат Ох, Оу, Ог и Ох', Оу', Ог' одинаковой ориентации, для которых косинусы углов между осями координат обеих систем равны элементам определителя Ь; б) что для всякого ортогонального определителя Д выполняются также и следующие соотношения: у х' сог т соз ф— — эьт т яп ф со«0 — оит Яп ф— — эш т со«ф еог 0 — а!п ! зшф+ -(- совр соз ф соз 0 — соз т зш 0 а(п т соз ф + + соэ т а|п ф соа 6 г а!и ф яп 6 соз ф зш 0 соз 6 (Заметим, что этот результат остается в силе и цри 0 = 0, а также при 6=», когда т и ф становятся неопределенными, причем соответственно т+ф««л'.
хОх' или т — ф=2. хОх'. Углы т, ф, 6 — это так называемые эйлерогы углы, и этот результат вместе с упр. 5 показывает, что самое общее ортогональное преобразование с определителем А =+ 1 можно выра- а +а,'+ =1, «А+а«0«+ тр«=О, 0«+Ят+Я=1, 0П,+0«1«+0П«=О, ттт+тг«+1«э=1, три+у«"ь+1«««=0 6'. Рассмотрим две системы координат Ох, Оу, Ог и Ох', Оу', Ог' одинаковой ориентации. Предполагаем, что оси Ог и Ог' не совпадают; пусть угол гОг'= 0 (0( 0 с»). Проведем полупрямую Ох, перпендикулярно как к оси Ог, так н к оси Ог' в такую сторону (из двух возможных), чтобы система Охо Ог, Ог' имела ту же орнентацйю, что и система Ох, Оу, Ог.
Тогда Ох, идет по линни пересечения плоскостей Оху и Оху'. Обозначим угол хОх, через «, а угол х,Ох' через ф, отсчитывая каждый из этих углоа в принятом в его плоскости, Оху или Оху', положительном направлении, так что 0(т(2» и 0 -ф С 2». Доказать, что коэффициенты формул перехода от системы Ох, Оу, Ог к системе Ох', Оу', Ог' даются следующей схемой: 53 СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Н ГЛАВЕ ! зять «параметрически» через три независимых переменных параметра а, (ч 0, удовлетворяющих неравенствам 0(0(я, 0~0(2к, 0(ф(2а) 7. Дан сферический треугольник АВС со сторонамн а, Ь, с и углами А, В, С на «единичной сфере» (т. е, на шаровой поверхности радиуса 1). Из результата упр.
6 вывести «теорему косинусов» сферической тригонометрии соз а = соз Ь соз с + мп Ь жп с соз А. 8. Найти угол а между плоскостью Ах+ Ву+Сз+))=0 и прямой х=х, -)-Ь»т, у=у«-(-Ь»ф л = Х,-)-Ь»С. 9. Доказать тождество (а» + Ь')(с' + Р) = (ас + Ь«()» + (Ьс — а«1)» путем вычисления произведения определителей 10», Доказлтгч что значение определителя с«и(0+а) соз(0+0) соз(0+1) 1) = з!п (О + а) а1п (О + Ь) жп (0 + 1) а1п (Ь вЂ” 1) жп (у — а) жп (а — 0) не зависит от О.
11. Дано: А=х'+у'+л', В=ху+ул+ах. Показать, что В А В )у= В В А =(х»+у»+л' — Зхуз)'. А В В 12. Показать, что С,+х а+х и+х а+х Ь+х С«+х а+х а+х Ь+х Ь+х т»+х и+х Ь+ г Ь+ х Ь+.е т«+х есть выражение вида А+Вх, где А и В не зависят от х. Подставляя вместо х частные значения, доказать затем, что ау (Ь) — Ьу (а) у (Ь) — у (а) а — Ь ' — Ь где У (С) = (т» т) (Г» — т) (Сь Г) (С« — Г). 1 13«. Даны функции и(х) и о(х), причем и= —.
Доказать, чтоо'"= .0 — где П есть опреде.титель и" и"' Зи' Зи' «У= и 2и' и и' и ГЛАВА !! ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ С функциямн многих переменных мы уже познакомились в главе Х первого тока и узнзли там достаточно, чтобы оценить их важность и пользу. '!'еперь мы займемся более тщзтельным изучением этих функций, исследуем такие их свойства, которые не были затронуты в предыдущем тоьге, и докажем те теоремы, которые там получили только наглядное оправдание. Но в доказатсльстаах этого тома мы не будем опираться на предварительное знание какого-либо доказательства, развитого в главе Х первого тома.
Тем не менее читателю рекомендуется прочитать ту главу, так как проведенное там наглядное рассмотрение поможет ему составить себе ясное представление о вещах, пожалуй, несколько абстрактных. Как правило, теорема, доказанная для функций двух независимых переменных, может быть распространена на функции трех и большего числа переменных без существенного изменения хода рассуждения. Поэтому мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением функций двух переменных, а функции большего числа переменных мы будем рассматривать лишь в тех случаях, когда существо вопроса потребует для них особого исследования.
ф 1. Понятие функции многих переменных 1. Функция и область ве задания. Записывая урзвнения вида и = х + у, и = хэуа или и = 1п (1 — х' — уэ), мы приводим в соответствие ларе значений (х, у) значение функцшг гс В первых двух из этих примеров значение функции и присваивается любой паре значений (х, у), а в третьем примере закон соответствия имеет смысл лишь для таких систем значении (х, у), которые удовлетворяют неравенству ха+уз с" 1. Во всех этих' случзях говорят, что и есть функция независимых переменных нли араументов х и у.
Это выражение всегда применяют, когда какой-либо закон соответствия относит каждой паре значений (х, у) иа некоторого заданного множества пар чисел определенное значение и я качестве зависимой переменной. Аналогично, если каждому набору значений (хь хв ..., х„) из некоторого заданного множества соответствует определенное значение величины и, то говорят, что и есть функция от и переменных хь х„ ..., х„. а !. понйтив охнкции многих пеазмянных Так, напр!!мср, обзе.и и=хул прямоугольного параллелепипеда есгпь функция длин трех его ребер х, у, г; магнитное склонение есть функция долготы, оаароты и времени; сумма и=х,+ха+... ...+х„является функцией своих и слагаемых хь хь ..., хм В случае функции двух аргументов и=-у(х, у) пару значений (х, у) изображают !почкой Р плоскости, имеющей координаты х и у относительно некоторой прямоугольной системы координат; мы будем иногда называть эту величину и функцаеа точки Р, считая точку Р аргументом функции.
У функций и =х +у и и=хау' эта точка- аргумент может пробегать всю плоскость ху; поэтому говорят, что эти функции определены на всей плоскости ху. У функпии же Рис. !8. Рис. 19. и=1п(1 — х' — уа) точка-аргумент должна оставаться внутри окружности х'+уз=1, где выполняется условие ха+уа<'1; в этом случае функция задана только во внутренней области круга.
Подобно тому, как это бывает у функции одной переменной, аргументы функции нескольких переменных могут изменяться либо дискретно, либо непрерывно. Так, например, средняя численность населения района города Москвы зависит от количества районов, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
