1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Дсйстзитсаьио, если а точке Р значение функции равна а, то, з силу непрерывности функции, возможно окружить Р таким малым кругом, а котором заачсния функции отличаются от а мсвьше чем иа — и, стало быть, отличны от нуля. % х непРВРывность Читателю необходимо познакомиться в этом месте с примерзми точек разрыва, рассмотренными в т. 1, гл. Х, $ 2, и' 2 (стр. 560).
Особое внимание обратить на функцию и=, „имеющую своех'+ у" обрззный разрыв в точке (О, 0); этот пример понадобится на глр. 68. Любопытно, что функция лл — у' и(х, у)=ху —,У„и(0„0)=0, напротив, непрерывна в начале координат. В самом деле, / и(й, А) — и(0, 0) ! = ! Уй ( „,,~ ~ ! ЬА !. Стало быть, в определении непрерывности можно положить Зг = 3, = =)/а. И с этой функцией мы еще встретимся ниже (стр. 72). 2. Понятие предела функции нескольких переменных. Понятие пределз функции двух переменных тесно связано с понятием непрерывности. Предположим, что функция У(х, у) определена в области О, и пусть точка («, «1) лежит либо внутри О, либо на ее границе. Тогда утверждение, что число 1 является пределом функции г(х, у), когда х стремится к 1 и у стремится к и, имеет следующий смысл: Для всякого «)О существует такое число 3)0, что 1У(х, у) — 1!(а для всех точек (х, у) области О, для которых выполняется неравенство 0 «' (х — 3)'+ (у — «1)' ~ 8'.
Как и у функция одного аргумента, следует подчеркнуть, что переменная точка (х, у) должна быть отлична от точки ($, л). Существование у функции предела 1 символически записывают так: 11щ г(х, у)= 1 или г'(х, у) -ь 1 при (х, у) -ь ($, «1). У Для того чтобы подчеркнуть, что предел берется при одновременном стремлении х-ь1 и у — ь«Ь эту запись порой читают так: двойной предел функции г(х, у), когда х-ь«и у-ьн, равен А. Наряду с выражением «функция имеет предел Ь говорят также: «функция стремится к Ь или «функция сходится к Ь.
Пользуясь языком пределов, можно дать другую формулировку понятию неирерыаностт Функция У(х, у) непрерывна в точке (1, «1) в тол« и только в тол« случае, если 11щг (х, у) =у(1, «1). 62 гл. и. екнкции многих пвввмвцных н их пнонзводныв 1з Отсюда видно, что определенна непрерывности содержит следующие два требования: 1) функция т(х, у) должна стремиться к пределу Ь когда переменная точка (х, у) стремится в облзсти 0 к точке (Е, т), и 2) этот предел 1 должен совпздать со значением функции в точке (с, я). Понятие предела получзет новое освещение, если ввести в рассмотрение последовательности точек. ГОворят, что последователь- (ьЫ(нала" ( тЗ" ° * - а, е. - р « - * У(.— в -';о.— з ч ° ° к нулю при безгрзиичном возрастании и.
Нетрудно показать (ср. т. 1, стр. 69), что если т (х, у) -ь 1, когда (х, у) -ь (Е, т)), то 1)ш т (х уй) = 1 для всякой последовательности точек области О, которая стремится к точке (Е, т)). Верна и обратная теорема: если 1ппУ(х,„ у„) существует и равен одному и тому же числу т для всякой последовательности точек (х у„) области О, стремящейся к точке (е, т)), то двоаноя предел функции у(х, у) прн х - Е и у - т) существует н равен Й Локавательство опускаем. В нашем определении предела мы давали точке (х, у) изменяться в области О.
Однако при желании можно наложить ограничения на изменение точки (х, у). Можно, например, потребовать, чтобы она лежала в некоторой подобласти 0' области О, илн на кривой С, или на каком-либо множестве М точек области О. В таком случае говорят, что у(х, у) стремится к 1, когда точка (х, у) стремится к точке (Е, т)), изменяясь в подобласти 0' (иля на кривой С, или па множестве М).
1(ля того чтобы это определение было состоятельно, подобласть 0' (либо кривая С, либо множество М) должны содержать точки, сколь угодно близкие к точке (Е, т)). Очевидно, и непрерывность функции можно определить тем же путем не только в области О, но также, например, вдоль кривой С, 3. Порядок малости функции. Пусть функция Дх, у) непрерывна в точке (Е, т)), Это значит, что разность у(х, у) †т(Е, т)) стремится к нулю, когда точка (х, у) стремится к точке (Е, т)). Введя в качестве новых переменных приращения координат Ь=х — Е, И=у — ть можно ту же мысль выразить слелуюшим образом: функция р(Ь, Й)= =/(Е+Й, т)+Й) — у(Е, тй, зависящая от переменных Й и Й, стремится к пределу О, когда Ь и Й стремятся одновременно к нулю.
Такие функции у(Ь, Й), которые стремятся к нулю вместе со своими аргументами Ь и Й, часто встречзются т). Как и у функций одного ') В литературе пользуются также выражением; Ч(И, И) становится бесчонечно малой одновременно с И н И; этот оборот имеет совершеяно точный смысл, а именно утверждение, что т(И, И) стремится вместе с И н Й к нулю. Однако .это выражение может Привести к недоразумениям, и мы предпочитаем его избегать.
й З. НЗПРЕРЫЗНОСТЬ аргумента, здесь тоже полезно для многих дтелей описдть болев точка характер стремления к нулю функции р(Л, Л) при Л-» 0 и й —.«О; для этого детэлизируют различные порядки малоста, т. е. различные порядки стремления к нулю функции»р(Л, й) (говорят также: различные порядки обращения в нуль' или различные порядки убывания).
Для этой цели пользуются в качестве масштаба для сравнения рас- стоянием Утверждение, что о(й, й) имеет более высокий порядбк малости, чем р, записывают символически так: гр(й, й)= о(р). Буква о выбрана потому, что это первая буква латинскзго слова огбо, означающего зарядов (английского огбег, французского огбге, немецкого Огдплой). Для записи утверждения, что Р(Л, Л) по меньшей мере того же порядка убывания, что и р (а не облэагелы»о более высокого порядка), пользуются ие малой буквой о, а большой буквой Сс р(Л, Л) =О(р).
Впрочем, в этой книге мы последним символом не будем пользоваться. Рассмотрим несколько примеров. координаты л и л вектора РО, идущего от точки Р($, ч) к точке О(»+л, ч+л), имеют по меньшей мере тот жс порядок малости, что его модуль, т. е. расстояние р, тэк как ~1 , '4! )' Л'+Л" и (а/ )гй*+ Л » = Г»» «« = УО: »Р -Р (7 — »»' от точки Р(с, т)) до точки Я с координатами х=с+й, у=т)+й (т.
е. модулем вектора РЯ) и вводят следующее определение: Функция гр(Л, й) имеет лри р-«О тот же порядок малослщ пли, точнее, по меньшей мере тот же порядок малости, что и р=)г Лэ+йэ, если существует такая положительная постоянная С (не зависящая от й и й), что ~~ — "-; — ') ~~с для всех достаточно лсалых значений р; т. е. если можно указать талое число д)0, что последнее неравенство выполняется лри всех значениях Л п й, для которых Ос" у'йэ+йэ<'д. И далее: функция гр(й, й) имеет более высокий порядок малости, чем р, если частное — ' ппремггтся к нулю при р-«0. Р (Л, Л) Р Во избежание недоразумений подчеркнем, что более высокий порядок малости при р — О означает более быстрое стремление к нулю, т.
е. меньшую абсолютную величину значений функции з окрестности точки р = О. Например, р' имеет более высокий порядок убывания, чем р, и вместе с тем р»~р (не пишем символа абсолютной величины, гак как р')О]. 64 гл. и, огн«ции многих переменных н их проивводныя То же утверждение справедливо для линейной однородной функции ай +Ьй 1 с постоянными коэффициентами а и Ь, а также дтя функции р ып —, Р Степень р' расстояния р имеет при постоянном значеянн а ) 1 более высокий порядок малости, чем р, т. е. р"=о(р) прн а ) 1. Однородный многочлен второй степени ал'+Рай+ей'отй и й ииеет прн р О порядок малости более высокий, чем р, так что й +Ьйа+ ай*=о(р). Введем еще одно, более общее, определение: пусть ы(Ь, й) есть некоторая функция сравнения, определенная в достаточно малом круге с центром в точке Р(ч, т1) для всех вначений Ь и й, не обращающихся одновременно в нуль, и отличная от нуля при всех этих вначеннях Ь и й.
Тогда при р-+ 0 порядок малости функции р(Ь, й) ые ниже порядка малости ы(Ь, й), если существует такое постоянное С, что !ч (й„',), ~~С1 этот факт символически вапнсывают так: р(Ь, й)=0(ы(Ь, й)1. Аналогично р(Ь, й) имеет порядок малости более высокий, чем ы(й,й) или ~р(Ь, й)=о[а(Ь, й)), если У вЂ” ' — -ьО при р-ь О. (л, й) ь (й, а) Например, порядок малости однородного трехчлена айа+ Ъйй + сйа ие ниже порядка (или по меньшей мере равен порядку) малости функции ра=йа+йа, так как 1ай +Ьйй+сй (~((а1+ 2 (Ь|+)с!)(Ь +й), т.
е. айа+Ьйй+сйа=О(йа+йа). Другой пример: ибо 11ш (р: — ) = 1ип (р1п р) = О. 1 т р а 1 Р р о Упражнения 1. Исследовать поведение функций а) х' — Зху', б) хг — Ох*у'+у' в ок естности начала координат. . Сколько постоянных коэффициентов содержит общий вид многочлена Р(х, у) степени а? 3.
Доказать, что функция Ах'+ Вх'у + Сху'+ Ву' имеет в точке х=у=о по меньшей мере тот же порядок малости, что н р' = (х' + у') ~ . 4. Найти условие, прн выполнении которого многочлеи Р (х, у) = ах'+ 2Ьху + су' В а з. частнып пронзводныв от оункции многих пвремзнных 65 имеет в окрестности тачки х=у=о в точности тот же порядок малости, что и р' (т. е. обе дроби .' и ограничены), рл р(х у) 5. Нижеследующие ф>нкции не определены в точке х=у=о. Какие из них можно доопределить так, чтобы они стали непрерывными в втой точке, н какие нет? хт — у х +2ху+у хт-';-Зху+ут а) ; б) ' х'+у"' ' х'+у' ' ' х'+4ху+у"' в) ~л-зп г) —, ~ у,; д) е "н-л"л+ут ° х' — 2ху+у'' 1 г х'+у' е) (хр", ж) )х(~ у~; з)"'~у!'л~ )ух'+у'+ ) — ~ 6.
Найти соответствующие а(н) (стр. 59) для тех функций из упр. 5, которые, после дополнительного их определения в точке (О, О), стали непрерывнымн. ф 3. Частные производные от функции многих переменных Н Частные производные и их геометрический смысл. Если в функции нескольких независимых переменных дать определенные численные значения всем аргументам, кроме одного, и позволить изменяться этому единственному аргументу, скажем х, то нэша функция станет функцией от одной (оставшейся) независимой переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
