1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 18
Текст из файла (страница 18)
80 ГЛ. П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ 12 где 8 обозначает угол от оси х до радиус-вектора точки (х,у). Поэтому полярный радиус г имеет по направлению а производную 0„, г = га ям а + г„яп а = соэ 8 соэ а + яп 6 яп а = оса (8 — а). В частности, производная полярного радиуса по направлению радиус-вектора, т. с, Р,о,г = 0 г = сов О = 1, а по направлению, перпендикулярному к радиус-вектору: (о+ — ") 2) Т(р им ар 2, Т1усть у(х,у) =х. Тогда у„=1, у» — — О. Производная по любому направлению а есть Ры,х=сша. Для функции Ф(х,у) =у имеем Р~а)у = э1п а.
В частности, производные от этих функций по направлению радиус-вектора Р,их = соэ 8, Р,э,у = яп 8, а производные по направлению, по рпеидикуаярноиу к радиус-вектору, будут Р, „,х= — япо, Р, „у=с<во и э) э) Р „х=япо, Р „у= — соэо, Проивводная от функции»(х,у) по направлению радиус-вектора г, когда за независимые переменные приняты полярные координаты (г,6), совпадает с частной производной 'у . Для нее получается ду(х, у) дг следующее часто применяемое «символическое» соотношение: д д . д — = соз 6 — + 5!п 6 —, дг дх ду ' в котором подразумевается, что за символами дифференцирования д д д — —, — можно поставить любую дифференцируемую функцию и дг' дх' ду отх иу.
Полезно также заметить, что если точка Я(х+рэ, у+А) стремится к точке Р(х,у), двигаясь не вдоль полупрямой с направлением а, а вдоль произвольной кривой С, имеющей в точке Р касательную с направлением и, то н в этом случае у(х+ Ь, у+ А) — у(х, у) р о р Действительно, пусть хорда РЯ кривой С образует с осью х угол (Э. Тогда 1РЯ)=р и й=рсозр, я=рз1ПР. Предполагая, как и раньше, что функция у(х,у) дифференцируема, имеем аэиа'а — а ф а*«а« р-о Р = И ш (У„сов В + У„61 п ~ + а) = У„сов а + У» зш а = 0 1„)У (х, у), р-о что и требовалось доказать.
Мы воспользовались тем, что при р -« О также и а †« О, а угол 𠆫а. з а полный дифввявнцнлл фгнкцни Совершенно аналогично строится определение производной по заданному направлению для функции у(х,у, з) от трех независимых переменных. Всякое направление в пространстве можно задать с помощью единичного вектора з=(сова, сов'р, сов Т), где ю 'р, Т вЂ” углы, образуемые этим вектором с осями координзт. Наряду с точкой Р(х,у, з) рассматриваем переменную точку Я(х+п,у+А, в+т), лежащую на полупрямой, выходящей из Р по направлению вектора з. Точку Р будем называть точкой наблюдения, а вектор РЯ = = (Ь,л,() смещением точки наблюдения.
Обозначим через р расстояние между точками Р и Я, т. е. модуль смешения РЯ. Тогда й = р соз я, л = р соз р, У= р соз Т и р = 3 гйз+ из+ Р. Заставим теперь точку Я стремиться к Р, двигаясь вдоль упомянутой полупрямой. Тогда предел у(х+ Л, у+ в, в+Г) — у(х,у) р-в Р если он существует„называется производной от функции у(х,у, з) в точке Р(х, у, з) по направлению вектора з и обозначается символом В,у(х, у, з). другими словами, производной от функции у(х,у, з) по направлению вектора з называется предел отношения приращения функции при смешении точки наблюдения в указанном направлении к модулю смещения, когда этот модуль стремится к нулю, конечно, при условии, что предел существует.
Если у (х, у, г) — дифференцируемая функция, то приращение функции г(х+ГЬ у+ Ай 2+ г) г(х $ з) Йуе+ Лгт+ггв+ тр = р (у„сов я + ~„соз ~ + ~, соз Т + е), где е -ь 0 при р -ь 0 и В.у(х,у, з)=у„ соз. +у. сов й (-у, сов Т. 3. Геометрическое истолкование. Касательная плоскость. Сказанное в и' 2 легко истолковзть геометрически для функции двух переменных и=у(х,у).
Вспомним, что частная производная по х дает наклон касательной к линии, по которой поверхность и =у(х, у) пересекается плоскостью, проходящей через точку (х, у, 0) перпендикулярно к плоскости хОу и параллельно плоскости хОи. Подобно этому, производная по направлению з дает наклон касательной к той кривой, по которой наша поверхность пересекается плоскостью, проходящей через точку (х, у, 0) перпендикулярно к плоскости хОу под углом з к оси х.
Формула ОЫ>у(х,у)=~„сова+~ в!па дает возможность вычислить наклоны касательных ко всем этйм плоским сечениям, т. е. наклоны всех касательных прямых к поверхности в некоторой ее точке, через наклоны двух таких касательных. 82 Гл и. Функции мнОГих пзРвмвнных и их пРОиззодныз Еа Мы выразили нашу дифференцируемую функцию и=у(Е, т1)= =~(х+Ь, у+Й) в окрестности точки (х,у) приближенно с помощью линейной функции 7(Е 'Е)=У(х, У)+(Š— х)У +(т) — У)~„, где Е=-х+Ь, О=у+-Й означают текущие координаты. Геометрическим изображением этой линейной функции является плоскссть, которая, по аналогии с касательной прямой к плоской кривой, называется касательной плоскостью к поверхности и =7(х,у) в ее точке (х, у, и). Разность мех~ну у(Е, и) и этой линейной функцией, т. е.
погрешность приближения, стремится к нулю вместе с Ь = Š— х и Й = т) — у, и притом быстрее, чем р = у' Ьэ + Йэ. Согласно определению кзсательной к плоской кривой, это означает, что линия пересечения касательной плоскости с любой плоскостью, перпендикулярной к плоскости хОу, является касательной к линии пересечения поверхности с этой последней плсскостью. Стало быть, все эти касательные прямые к поверхносгпи в точке (х,у, и) геакат в одной плоскости — ггасательной плоскости к повеухности.
Это свойство является геометрическим вырзжением дифференцируемости нашей функции в точке (х,у), которой соответствует и= =Дх, у). Введя обозначение 7(Е, э)) ="., получим уравнение касательной плоскссти в текущих координатах Е, я, Е в следующем виде: Š— и=(Š— х)7,+(т) — у) Ух Выше (стр. 77) было доказано, что если частные производные непрерывны в данной точке, то функция непременно дифференцируема в агой точке. В противоположность положению дел у функций одной независимой переменной, одного только еушесгпвования чзстных производных ~„и у' еще не достаточно, чтобы обеспечить дифференцируемость функции; другими словзми, если частные проиаводные имеют разрыв в точке (х,у), то равность между Д(к+Ь,у+Й) и функцией У(х, у)+Ьу„(х, у)+ ЙГ (х, у), линейной относительно Ь и Й, может иметь порядок малости, не превышающий порядкз малости расстояния р= у'Ьэ+Йэ.
Геометрически это означает, что в этом случае поверхность и=у(х,у) может и не иметь касательной плоскости в своей точке (х,у, и). Поясним это на простом примере. Положим у(х, у) = О вдоль прямых х=о и у=о, /(х,у) =1х ~ вдоль прямых х — у=о и х+у=о. Прямые х=о, у=О, х — у=о, х+у=о делят плоскосэь лоу иа восемь углов. В каждом из этик углов мы опрелеаим функцию и=У(х,у) так, чтобы она изображалась з ием куском некоторой плоскости, с таким расчетом, чтобы полученная функция была всюду непрерывна.
Таким образом, поверхность и=у(х, у) состоят из восьми плоских углов-граней, смыкающихся друг с другом на ребрах; 1) вдоль прямой х=о, и=о; 2) вдоль прямой у = О, и = О; 3) иа двух ребрах, возвышающихся иад прямой х — у = О, и = О и 4) на двух ребрах, расположенных иад прямой к+у= О, «=О, з д полный дивазавнциал вхцкцин Эта поверхность ие имеет, очевидно, касательной плоскости в начале координат, хотя и существуют обе частные производные ул(0, 0) =0 и Уу — †(О, О) = 0; яо зги производные имеют в начале координат разрыл. Легко убедиться, что иа ребрах частные производные и вообще-то ие существуют одновременно ии з одной точке, кроме начала координат.
Другим примером может служить функция при х'+у'ф О, и=у(х, у) = )(ха+у* 0 при х=у=О, рассмотренная на стр. 77. Мы видели, что зта функция имеет всюду обе частные производные ул и ую но онн терпят разрыв в начале координат. Оказалось, что функция недяфференнируема в начале координат. Йзображающая зту функцию поверхность и=у(х,у) не имеет касательвой плоскости з начале координат. Так как ух(О,О)=0 и ~„=(0,0)=0, то формально написанное уравнение касательной плоскости з точке х =О, у=О, и =0 было бы О =О, т. е. плоскость хОу претендовала бы яа роль касательной плоскости, но мы видели на стр.
78, что расстояние точки поверхности и=у (х, у) от плоскости хОу имеет в окрестности начала координат тот же порядок малости, что расстояние г=Ух-'+у', а не выше, 4. Полный дифференциал функции. Как н у функций одной переменной, оказалось целесообразным ввести для линейной части дифференцируемой функции гг=7"(х,у) особое название и обозначение,— эту линейную часть называют полным дифференциалом функции и обозначают его так: г(и = г(у" (х, у) = — )т+ — уг = — Ых+ — Ыу. ду ду дУ ду дх ду дх ду Полный дифференцизл предстзвляет собой функцию от четырех незавкгимых переменных: во-первых, от координат х и у рассматривземой точки и, во-вторых, от приращений ут=с(х и й=иу, которые называются дифференциалами независимых переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
