1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Его значение заключается в том, что г(и аппраксимирует линейно приращение функции Ли=у(х+ут, у+ус) — у(х,у) (т. е. дает для нее линейное приближение) с ошибкой, имеющей более высокий порядок малости, чем расстояние р= )' ия+ ла, когда !)т! и ! д! достаточно малы. Выше (стр.
76) была доказана единственность линейного приближения дифференцируемой функции; тем самым доказана единственность дифференциала. Из данного там доказательства вытекает, что если каким- либо путем получено выражение для полного днфференциалз, то сразу определяются все частные производные: у, равна выражению, стоящему множителем при г(х, а у равна множителю прн Ну. Таким образом, полный дифференциал объединяет в одной формуле выражения для различных частных производных. Подчеркнем еще раз, что говорить о полном дифференциале функции у(х,у) имеет смысл лишь в том случае, если зта функция дифференцируема согласно данному выше определению (для чего доста- 84 гл.
н. вр)ткцин многия пврймйнных н нх паонзводныв (а точным условием является непрерывность обеих частных производных, а отнюдь не одно только их существование). Если функция У(х,у) имеет непрерывные частные производные также и высших порядков, то можно от полного дифференциала Ыу(х,у) вычислить в свою очередь полный дифференцизл, т.
е. помножить его чзстные производные по х и по у поочередно на Й= =Их и Й=т(у, а затем сложить эти произведения. Помня, что дифференциал Ну=дул-~-Ау является функцией четырех независимых переменных х, у, Й и Й, нри вычислении его частных производных ио х и у следует Й и Й рассматрившь как постоянные. Таким путем мы получим полный дттфференцттав вшорого порядка (короче, второй дифференциал) функции у(х,у): д'.~ а дтУ дтУ а дтУ а д'У длг = — Йа+ 2 — ЙЙ+ — Йа = — т(ха+ 2 — Ых Ыу+ — т(уе. дхт дх ду ду' дх' дх ду дул Совершенно таким же обрааом составляются полные дифференциалы высших порядков (третьего, четвертого и т.
д.): и вообще, как легко доказать методом полной индукции: '''+(и — 1) дх дул-' У + дул У Это последнее выражение можно записать символически так: о "у = ( — т(х+ — т(у) У Под словом «символически» имеется в виду следуюшее: скобки в правой чзсти надо рзскрыть по формуле биномз Ньютона, как будто бы «показатель» (и) был показателем степени, а затем полученное развернутое выражение «помножить» почленно на т, приписав,1 «множителем» к «числителю» д" «дроби», появившейся в каждом члене. В заключение ааметим, что рассуждения и речультаты этого номера непосредственно обобнтаются на функции от любого числа независимых переменных. 5.
Применение к исчислению ошибок. Полный дифференциал приносит ирактическую пользу в различных ирилт>жеииях, ибо ои лает удобное 1а, сложные екнкнин для вычисления приближенное значение приращения функции Ау= =- у(х+ Л,У + д) — у(х,у). Эта польза особенно заметна в так называемои ис- числении отдибок (т. 1, гл. Ч!1, $2, и' 1). Пусть, например требуется оценить воз- можную ошибку в определении удельного веса твердого тела способом взвеши- вания в воздухе н в воде. Пусгь вес тела в воздухе рГ, а в воде р,Г. По за- кону Архимеда, потеря в весе р — р, дает вес в граммах вытесненной этни телом воды или численно ему равный объем этой воды в см'.
Следовательно, и объем данного тела равен р — р, см'. Поэтому удельный вес з= — з является функцией двух независимых переменных р и ро р Г р — р, сиз Ошибка при вычислении уде,тьного веса л, обусловленная ошибками Ыр и ЛРо допУщеннымн пРи измеРении Р и Рь выРажаетсЯ пРиближенно полным дифференциалом дз „+ дз — р,др+р др, др "Р др, Р'= (р — рнм Так как знак ошибки обычно неизвестен, то оценке подлежат только абсолютные величины возможных ошибок: (др), (др, ! и (Ыз !.
Поэтому приходим к формуле р ! лр~+р!лр ! (р — рг)' Пусть, например, кусок латуни весит в воздухе примерно!00 Г с точностью до 5 ллГ, а в воде примерно 88 Г с точностью до 8 мГ. Тогда (в граммах веса) р=100, р,=88, )др(=-5 ° 10 ', )др,(=8 1О '. Удельный вес куска латуни з= — — с возможной ошибкой (Лз ~ 86 ° !О ' —, что 3 см' составлЯет пРшблизительно 1э)ь ф 5. Сдожньяе функции и введение новых независимыж переменных 1. Сложные функции и их непрерывность. Часто бынзет, что функция и ох независимых переменных х, у задается в ниле функции от промежуточных переменных Е, хь ...: и=У(Е, хь "), где эти арГументы Е, т1, ... функции у саин являются функциями от хну: Е=ср(х,у), т)=ф(х, у), ...
В таком случае функция и=у(Е, т), ...)=До(х, у), ф(х, У), ...! =г'(х, У) называется с ложной функцией от х и У. Например функцию и =- едг з1п (я +у) = Р (х, у) можно рассма.тривать как сложную функцию мз=етз1пл=У(Е, Ч), где Е= — ху, Ч=х+у. 86 гл. и, вкнкцин многих пвавмвнных и их плоизводныв Аналогично и функция и = !п (х'+у') ассмо у'1 — хл — у' = Р(х, у) является сложной функцией от х и у, ибо ее можно записать з таком виде: и=загса!пЕ=У(Е, Ч), гдл Е=)С1 — х' — у', Ч=1п (л'+у ). Для уточнения понятия сложной функции сделаем следуюшие предположения. Функции Е=в(х,у), й=ф(х,у),...
будем считать заданными в некоторой области О независимых переменных х,у. Когда точка (х,у) пробегает область О, то точка с координатами Е, т), ... лежит в некоторой области В пространства Е л ...; в этой-то области В и определена функция и=у(Е, т1, ...). В конечном итоге сложная функция сс = У]Т (х, у), ф (х, у), ...] = Р (х, у) определена в области О.
Во многих случаях в таком детальном рассмотрении областей 0 и В нет необходимости, Так, в первом иэ рассмотренных только что примеров точка (х, у) может пробегать всю плоскость ху, ла и функция и=ее опЧ определена во всей плоскости ЕЧ. Напротив, второй пример ясно показывает необходимость рассмотрения областей 0 и В при определении сложной функции. В самом деле, функции Е $/Т вЂ” х" — у- и Ч=1п (ха+уз) (в своей совокупности) заданы в области О, определенной неравенствами 0(х'+ул -1, т. е. з круге радиуса 1 с центром в начале координат, с изъятием этого центра.
В этой области 0 всюду !Е!~1, а Ч принимает все отрицательные значения и значение нуль, и в описанной таким образом области В плоскости Еч функция и = ч агсл!и Е действительно определена. Непрерывная функция от непрерывных функций сама является непрерывной функцией. Точнее: Если функция и = У(Е, ть ...) непрерывна в области В, а промелсуточные функции Е=р(х, у), й=ф(х,у), ... непрерывны в области О, то и сложная функция и=Р(х, у) непрерывна в О. Доказательство легко получается из определения непрерывности.
Пусть (хм уз) есть любая точка области О, а соответствуюшие этой точке значения промежуточных переменных Е, т1, ... обовначим через Еь тй, ... Тогда из непрерывности функции и=у(Е, т1, ...) в области В вытекает, что для всякого пололгительного числа е существует такое число 3 > О, что ]У(Е, ть ".) — У(Еь таь ")](а, коль скоро одновременно /Š— Ел](З, (т! — тп](Е, ... Но, з силу непрерывности функций Е=в(х,у), э)=ф(х,у), ..., все последние неравенства выполняются, если )х — хл!(Т и !у — ул](Т, где Т— достаточно малое положительное число. Это и доказывает непрерывность сложной функции в области О. 2] а ь, сложные функции 2.
Теорема о диффереицируемостн сложной функции, составленной мз диффереицируемых звеньев. Теперь мы докажем, что дифференцируемая функция от промежуточных аргументов, которые являются в свою очередь дифференцируемыми функциями независиьыт переменных, тоже представляет собой дифференцируемую функцию этих независимых переменных. Ладим сначала более точную формулировку этой теоремы: Если ~=~р(х,у), з]=ф(х, у), ...
суть дифференцируемые функции оуп х и у в области О, а у(6, ~, ...) есть дифференцируемая функция от своих аргументов в области В, то и сложная функция гг=д(в(х, у), ф(х,у), ...) =р(х,у) являеепся дифференцпруемой функцией независимых нере.иенных хну. %ля доказательства вспомним, что означает предположение, что наши функции дифференцируемы. Смысл его следующий. )]алим независимым переменным х и у приращения Ах и оу; тогда приращения промежуточных функций (промежуточных аргументов) можно представить в следующем виде: М=-Р йх+РуАу+ь1йх+ТА~ дгц = Ф й + М~+ ьь4х+ ТА' где числа аь ьь, ...; Тн Уь ...
стРемЯтсЯ к нУлю одновРеменно с Ьх и Ьу или (что то же самое) одновременно с ]гАхь-(-Ьуь. )]алее, если величинам "„ь], ... сообщить приращения М, оь], ..., то и функция и=у(с, ь], ...) получит приращение йяг, которое (в силу дифференцнруемости последней функции) можно представить так: Ьгг= ус%+ уйти+ ... +Ь,Ьс+йьйь]+ ..., причем и здесь числа дь дь ... стремятся к нулю одновременно с Ь$, Ьц, ... (одновременно с РгЬ(ь+ Лт]ь+ ...). (Если приращения Ы, Ьц..., обращаются в нуль, то соответствующие дь можно принять равными нулю.) Подставим теперь в последнее выражение для Ьи, в качестве приращений М, Ь~, ..., как раз те выражения, которые были выше получены в результате иамеиения х на Ьх и у на ау, и мы получим "и=(У~Рн+Учфх+ ")йх+(фРу+Учфу+ ".)ду+ьдх+'ФУ~ (*) ~де через а и у обозначены следующие выражения: ь = у, в] + г ьь -]- ...
+ в„3, + ф„3ь + ... + агй1 + ььйь+ .. Ц =УьТг+Л~Ть+ ". +'Руд]+Фудь+ " +'(А+Тьйь+ " 88 гл. и, функции многих пвагмвнных и нх пвоизводныв 1а В правой части калсдого из этих равенств любое слагаемое содержит множителем по крайней мере одну из величин аь а„..., тс, (э ... ..., Вс, аа, ... Огсюда видно, что з и т тоже стремятся к нулю, когда дх и ду стремятся к нулю, На основании определения дифференцируемой функции отсюда вытекает, что сложная функция сс=Дс~(х, у), ф(х,у), ...) является дифференцируемой функцией от х и у. Ясно, что полученный результат совершенно не зависит ни от количества независимых переменных х, у, ..., ни от числа промежуточных аргументов с, 4, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
