1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Производная от сложной функции (правило цепочки): Если и=у(«), где «=р(т), то и=.у [у(т)]=Р(т) и Р(т)=-~'(«) р'(т) или и-'=и[ «;.] х=х(«), у=у(«), я=я(«), где эти три функции имеют непрерывные производные. В этих условиях упомянутый выше предел существует. Наметим ход доказательства. Пусть начало А дуги соответствует значению а, а конец  — значению р параметра «. Интервал а~«~р разобьем на и частей точками а= «», «ь «я, ..., «„=[» и впишем в дугу АВ ломаную с вершииами в тех точках дуги, которые соответствуют этим значениям параметра. Длина «г-го звена ломаной (в понятных обозначениях) будет ф'Ь4+ЬУ~»+«гг~»=1««[ф +[ад) +( — ") Д«» (Д«»)0). По теореме о среднем значении дифференциального исчисления, дх» ду» . ая» — »=хЩ У»=у(0 ), — »=г(0~), гдеточка над буквой обозначает производную по «, а 0», О», О» — некоторые промежуточные значения между «»» и «„.
Поэтому периметр [3. Длина дуги пространственной кривой. Дифференциал дуги. Определение длины дуги плоской кривой (т. 1, гл. Ч, 0 2, п' 6) обобщают и на пространственные кривые. И здесь длиной дуги называется предел периметра вписанной в дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а длина каждого звена стремится к нулю, конечно, если этот предел существует. Будем исходить из параметрического задания кривой 166 а т. плнмвнвнив ввктолных методов вписзнной ломаной запишется в следующем виде: л ~', ~' ~х(0*)Д + [у(б»Я +~я(0»)1 ЛЕ».
»=! На основании замечания на стр. 161 первого тома о более общей структуре сумм, имеющих своим пределом определенный интеграл, последняя сумма стремится к определенному интегрзлу, так что длина дуги Ао з (з, Р) = ~ ~/ х'+у'+ г' й. а Длина переменной дуги от постоянной точки А, соответствующей значению а параметра, до переменной точки Р со значением параметра 1 есть з = ~ )' х'+Я»+ 2» й. Она является непрерывной и диффереицируемой функцией от и производная от длины дуги по параметру Дифференциал дуги Ия = 1/ха+У»+ 2Ч1 = )Г !(хм+ с(уа+ е(га ) 4.
Кривизна пространственной кривой. Приведем некоторые простые приложения изложенных выше сообрзжений, Пусть в про- Рис. 26. странстве х, у, г задана кривая параметричесКим уравнением (в векторной записи) г=г(1), где г — параметр, а г — радиус-вектор переменной точки кривой (рис.
26). Тогда производный вектор г((), если он существует, направлен по касательной к нашей кривой в точке й Действительно, вектор г(с+ Ь) — г(г)=Рь) идет по хорде от точки Р(1) к точке !,)(1+ 6), а следовательно, вектор г (г + Л) — г (г) г! 106 Гл и. ФУнкции мнОГих пегемеиных и их пРОизводные [4 1 отличающийся от вектора Рс[ только скалярным множителем в' тоже направлен по секущей, проходящей через точки Р и Я. При предельном переходе [ь -ь 0 точка Я стремится вдоль кривой к точке Р, и если, как'было предположено, существует производная г(г+ л) — г(г) ь-а то существует и предельное положение секущей, т. е. касательная в точке 1 кривой, и эта касательная имеет направление вектора г(Ю), который называется поэтому касательным вектором.
Нетрудно убедиться, что этот вектор направлен з сторону возрастзния параметра д Примем теперь в качестве параметра длину дуги з, отсчитываемую от некоторой начальной точки на кривой; тогда в формулу для производной от длины дуги по параметру. придется писат[ь вместо производных по Х, производные по з, и мы получим Производные по длине дуги мы будем всегда обозначать штрихами. Принимая во внимание, что последнее равенстно можно записать в следующем виде: (Х ) + ()г) + (2 ) = 1 или (в векторной записи) (У)'= 1.
Это равенство и характеризует тот факт, что параметром служит длина дуги. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его е'Г модуля, то вектор — =г' является едлнпчным касательным вектором. Он направлен в сторону возрастания дуги з. Дифференцируя по з равенство (г')Я=1, получим Это равенство устанавливает, что вектор г"=(х"(а), уь(з),'2"(а)) перпендикулярен к вектору У, а стало быть, перпендикулярен н касательной, Этот вектор г" называется вектором кривизны или главным нормальным вектором, а его модуль, т. е. длина, нззывается кривизной линии в рассматриваемой точке и обозначается ! буквой г). Величину р= —, обратную кривизне, называют, как н у з й поимвнвнив ввктооных мвтодов плоской кривой, радиусом ирааизмы.
Итак, кривизна Ь = — =)г )=$ (л')'+(у")'+(з )'. о Из рассматриваемой точки кривой отложим по направлению вектора кривизны отрезок, равный радиусу кривизны; конечная точка этого отрезка называется ценглром кривизны. Это определение кривизны находится в согласии с определением кривизны плоской кривой, данным в первом томе, гл. Ч, $2, по 8. И здесь можно определить кривизну как абсолютную величину предела отношения угла и между направлениями касательных в двух тан(З) Рис. 27. близких точках кривой к длине дуги Ь между этими точками: Ь= а = ~!ип -„- ~. Покажем, что такое определение кривизны совпадает 1а-о" с прежним.
Пусть з и з+Ь вЂ” значения параметра (длины дуги) в близких точках Р и Ри а г'(з) и г'(з+Ь) — единичные касательные векторы в этих точках, Приведем эти векторы к общему началу М (рис. 27), так что г'(з)=МА и г'(з+Ь)=МВ. Тогда угол АМВ=з и вектор АВ=г'(а+Ь) — и'(а). Выражение для кривизны можно представить з следующем виде: Ь = 1ип — ~ = 1пп = 1ип — ~ . а~ а . АВ~ л о Ь ~ а-о1АВ! а-о Ь ~ Как видно из рис. 27, ~АВ!=2 гйп —; поэтому а а йш — == 1ип — =1, а 01АВ( а о2аю 2 108 гл. и. егнкцин многих пеземвнных и их пяонззодныв [ь ибо а-ьО при й-ьО.
Второй предел в правой час~и Пш — = Вш ( + ) )=г" (з). ь о ь-о а И Приходим, следовательно, к прежнему определению. 13аметим, что тот вывод формулы кривизны, которым мы пользовались в первом томе в случае плоской кривой, здесь неприменим. Дело в том, что угол между касательными в двух соседних точках плоской кривой можно всегдз представить как нриуаиаение угла, составляемого касательной с постоянной осью (например, осью х), в пространстве же это невозможно.) 6.
Приложение к механике точки. разложение ускорения на касательное и нормальное. Вектор кривизны (глзвный нормальный вектор) играет важную роль в механике точки. Представим себе, что материальная точка движется, описывая кривую г=г(1); параметром служит время 1. Тогда нетрудно убедиться, что скорость движения определяется по величине и направлению вектором г(1), где точкой обозначена производная по времени 1. Аналогично, ускорение определяется второй производной по времени г(1). По правилу цепочки имеем ссг Йг лз ~из г= — = — — =г'— лс и'з зг сгс (штрих обозначает производную по з, точка — по 1).
Вектор г является вместе с тем касательным вектором к трзектории, направленным в ту ее сторону, ксьторая соответствует возрастанию времени 1. Следовательно, скорость направлена по касательной к пути движения в сторону возрастания б Так как У есть единичный касательный вектор, направленный в сторону возрастаоз ния з, то величина скорости измеряется производной -- от пройденного пути по времени, которая положительна, если точка движется в сторону возрастания з, и отрицательна в противном случае.
Дифференцируя вторично по 1, получим, что ускорение ззг нзз „ l й'~з г = — =з' — +г" ~ — ~ . з'г* ~ пг! Из этой формулы видно, что вектор-ускорение равен сумме двух векторов. Первый из них направлен по касательной к траектории, ссзз и его величинз равна —, т.
е. ускорению движущейся точки вдоль з'Гз' пути движения, причем движение вдоль пути является ускоренным, ьза з'зз и'"з если з — з)О, и замедленным, если —,(О. Этот вектор У вЂ”, назыйгз вается касательным или тангенцаальным ускорением. Второй со- а т, пяиманвнив ввктоэных мэтодов гав'1в ставляющий вектор г" ( — ~ направлен к центрукривиэны(поглавному '(нг) нормальному вектору) и называется нормальным ускорением, Его модуль равен проиаведенню квадрзта скорости на кривизну, т.
е. вв — где о — величина скорости, р — радиус кривизны. р 6. Градиент скалярного поли. Вернемся к рассмотрению скалярных полей. Пусть в некоторой области 0 пространства задана скалярная функция т(х, у, «). Ее можно рассматривать как функцисо точки, и в области 0 она определяет скалярное поле. Возьмем три чзстные производные ай=ах(» У «) нв=Уу(» У1 «) нв=.тв(» У «) и будем их интерпретировать как координаты некоторого вектора и в системе координат х, У, «. Если мы перейдем, с помощью поворота осей, к новой системе прямоугольных координат с, ть ч, то по формулам преобразования (и' 1) получим для вектора и новые координаты ач — — а1ггв + Рсив+ Тсссв свв =авив + Увссв+ Твин ив =авсгв+ йвс,в+ Т„„.
С другой стороны, если ввести в функцию г"(х, у, «) в качестве новых переменных новые координаты точки с, т), с, с помощью соответствующего преобрзвовзния х = асс + ави + ав'„ У=У+~те+ РК, = Ъ-'+ Тв )+ Тв". то по правилу цепочки получим УС =Ув»с +Ууув +Ув«С =Ухав +Уунс + твТВ у~=Ух»1+УуУч+Л«я =Лая+ Гуагв+Гв[м ус =у»с + ггуус+Л«с = г ав+ууягв+Х~Тв. Оказывается, таким образом, что мс =.Г. свв=уч свв =Ус. Стало быть, н в новой координатной системе координаты нашего вектора и равны частным производным той же величины т по новым прямоугольным декартовым координатам.
Это и означает, что всякой функции точки у в трехмерном пространстве соответствует определенный вектор, координаты которого в любой прямоугольной координатной систене разны частным производным этой функции по координатам. Этот вектор называется граднентолг функции г или 110 гл, п. вхнкцмн многия пввймйнных н нх пвоиззодныв (з градиентом скалярного поля и обозначается символом к =пгаб У. Для функции трех переменных, рассматриваемой как скалярная функция точки, градиент является аналогом производной от функции одной переменной. Наглядное представление о значении градиента мы получим, когда вычислим производную от функции у(х, у, г) по направлению вектора с, образующего углы ь„ ь„ йь с осями координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
