1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

ФУнкцию от и независимых переменных рассматривают квк скалярное поле, а систему и таких функций — кзк векторное поле в и-мерном пространстве. Понятие скалярного произведения, а также понятие градиента легко обобщаются на п-мерное пространство, но в других отношениях положение дел там значительно сложнее, чем в трехмерном пространстве. Упражнения 1. Найти уравнение так называемой соприкасающейся илоскоюпи кривой г = г (Г) нли, подробнее, х =у (Г), у = у (Г), з = ф (Г) в точке Г,; соприкасающейся плоскостью пространственной кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки кривой, когда зти трн точки стремятся к точке с параметром Ге 2.

Показать, что касательный вектор и главный нормальный вектор оба лежат в соприкасающейся плоскости. 3». Кривая в пространстве задана уравнением г= г (з), где параметр з есть длина дуги, а функция г(з) имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно. Найти центр соприкасающейся сферы, т. е.

сферы, имеющей с данной кривой в точке з, возможно более тесное касание. 4. Лана замкнутая кривая с: г = г (г), причем г (г) — дифференцируемая функция, и точка А, не лежащая на С, Локазать, что на кривой С существует точка В, отстовщая от,4 на расстолнии более коротком, чем любая $!. Изиицип точки сругцйиий другая точка этой кривой. Доказзть также, что прямая АВ нормальна к кривой. 5. Кривая г= г(з) лежит на сфере радиуса 1.

Доказать, что функция г (а) удовлетворяет уравнению (г')" (г'")' — (г'г"')л = (г'г Г")*, где г'г"г"' есть смешанное произведение трех векторов. 8. Пространственная кривая задана параметрическим уравнением г =г(1), где е — произвольный параметр. Доказать, что если вектор г(1) построен нз той точки г, для которой он рассчитан, то он лежит в соприкасающейся плоскости. 7'. Аручениея пространственной кривой называется предел отношения двугранного угла между соприкасающимися плоскостями в двух смежных точках кривой к длине дуги дз между этими точками при дз - О или, что то же самое, предел отношения угла между нормальными векторами этих плоскостей к да. Обозначим для кривой г = г(л) единичный касательный вектор через 1(з), единичный главный нормальный вектор через и (з], а вектор (1п), называемый бинормальиым вектором (он тоже единичный), через Ь (з).

Доказать формулы Френа: йг етп йл ' лз — = )ги, — = — Л1+ Ь, где й — кривизна, а я — кручение кривой г=г(з). 8. Пользуясь векторами 1, п, Ь из упр. 7 как координатными ортами, вывести выражения: а) для вектора г"'(а), б) для вектора, идущего от точки г(з) кривой к центру сферы, соприкасающейся с кривой в этой точке. 9. Показать, что кривая, во всех точках которой кручение равно нулю, является плоской кривой, 10.

Г!усть з= и (х, у) есть уравнение поверхности, образованной семейством касательных произвольной пространственной кривой. Доказать, что а) всякая соприкасающаяся плоскость кривой является касательной плоскостью этой поверхности и 6) функция и (х, у) удовлетворяет уравнению и „и,„— ил =О. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ П В 1. Принцип точки сгущенка я пространстве многих измерений м его приложения Для того чтобы заложить твердый фундамент под теорией функций многих переменных, сообщить ее понятиям надлежагцую точность, освободившись от всяких ссылок на интуицию, мы пойдем тем же путем, что и для функций одной переменной. При этом достаточно будет рассмотреть эти вопросы только для случая двух независимых переменных, так как, если число этих переменных больше двух, положение дел совершенно аналогично, да и методы исследования те же, 1.

Формулировка принципа точки сгущеяйя. В основу мы опять положим принцип точки сгущения Больцано — Вейерштрасса. Пару чисел (х, у) мы будем называть точкой Р в пространстве двух измерений н изображать, как обычно, точкой с прямоугольными координатзми х и у на плоскости ху. рассмотрим теперь ограниченное 116 дополнвния к глава п бесконечное множество таких точек, т. е. такое бесконечное множество точек, которое содержится полностью в некоторой ограниченной области, так что, например, ~ х [«С и [у [ =.

С, где С вЂ” постоянное число. Так вот, принцип точки сгущения состоит в следующем: всякое бесконечное множество точек, лежащее в ограниченной замкнутой области, имеет в этой областгг ло крайней мере одну точку сгущения, т. е. в этой области существует по крзйней мере одна такая точка Я(1, »1), что в любой сколь угодно малой ее окрестности содержится бесконечно много точек данно~о множества. Другими словами, при любом сколь угодно малом значении числа Ь) О, в окрестности точки Я(», и), характеризуемой неравенствами [х — $[«д, ~у — »1[«Ь, содержится неограниченное число точек множества.

Эту же мысль можно выразить и так: пз всякого ограниченного точечного множества можно выделить последовательность точек Рь Ри Р„..., сходящуюся к предельной точке Я. [Точка Я соответствует в одномерном случае пределу выделенной последовательности.) Интуитивно принцип точки сгущения для случая многих измерений столь же ясен, как и для одного измерения. Однако его следует доказать аналитически, и это можно сделать тем же путем, которым мы пользовались в т.

1, стр. 81, — надо только заменить интервалы прямоугольными областями. Имея в виду еще и другие приложения, мы сформулируем здесь нащ принцип доказательства несколько более общб — как «принцип стягивающихся областейгс Если у бесконечной последовательности ограниченных замкнутых областей 0„0и 0„... каждая область О„содержится полностью в предшествующей области и может быть заключена в квадрат, сторона которого стремил»ся к нулю пргг п-+ со, то эта последовательность областей определяет одну и только одну точку Я, принадлежащую совместно всем областям 0„.

Доказательство очень просто: выберем в каждой области 0„ какую-либо точку Р„; тогда абсциссы х„и ординаты у„этих точек (согласно принципу сходимости для одной переменной) стремятся к пределам Е и,я, которые и определяют точку Я(1, а). Принцип точки сгущения является теперь прямым следствием принципз стягивающихся областей. Действительно, пусть в области 0 задано бесконечное множество точек. Разделим квадрат [х [«= С, [у[ « С, внутри которого содержится это множество, на четыре равных квадрата со стороной С. Если к каждому из этих квадратов присоединить его границу, то по крайней мере в одном из четырех квадратов, назовем его Яг, должно лежать бесконечно много точек заданного множества.

Квадрат Яг мы тоже разобьем на четыре рав- С ных квадрата со стороной —; по крайней мере один из этих квадратов (назовем его Яа) должен еще содержать бесконечно много % ь пьннцип тОчки сгущвння 117 точек нашего множества. К квадрату Сея мы применим ту же прас цедуру и найдем квадрат Оь со стороной 4, в котором имеется неограниченное количество точек множества и т.

д. Согласно принципу стягивающихся областей, последовательность квадратов Оь Ом О„... определяет одну и только одну точку га, которая и является точкой сгущения заданного точечного множества. Если же выбрать в каждом квадрате ьс„ по точке Р„ нашего множества, то из последнего будет выделена последовательность точек Р„, сходящаяся, очевидно, к пре- дельной точке а. Из принципа точки сгущения для многих измерений вытекают совершенно такие же следствия, как и для одного измерения. Так как и доказательства аналогичны, то можно ограничиться только формулировкой некоторых наиболее важных положений.

В первую очередь приведем критерий сходимоспш Коши, кото- рый можно формулировать следующим образом: Последовательность точек Р,(хну,), Ра(хг уг) Рз(хв уь) сходится к предельной точке в том и только в том случае, если для любого сколь угодно малого г)0 существует такой индекс йГ=Ф(ь), чгпо расстояние У (х„— хм)'+(у„— у )Я между точками Р и Р„становится меньше чем ь, как только оба номера т и п превосходят индекс Ф.

Палее, совершенно таким же путем, как и для одной независимой переменной, доказываются следующие теоремы: функция, непрерывная в замкнутой обласпщ, принимает в этой области наибольшее и наименьшее значение, Всякая функция г(х,у), непрерывная в замкнутой области О, равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого положи- тельного числа ь существует такое число а= 3(а), зависящее исключи- тельно от г, но не зависящее от точки (ха уь), что !г (ху) — г (хь уь)! (з во всей области, если только расстояние между точками (хь,уь) и (х,у), лежащими в области О, меньше чем Ь, 2. Некоторые понятия теории точечных множеств. Общее понятие точки сгущения имеет фундаментальное значение для многих тонких исследований по обосновзнию анализа, базирующихся на теории точечных множеств.

Хотя этн вопросы и не сугцественны для целей этой книги, мы все же для полноты приведем здесь некоторые основные понятия и предложения. Ограниченное множество, состоящее из бесконечно большого числа точек, называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения; это значит, что предельная точка любой последо- вательности точек, принадлежащей множеству, тоже принадлежит этому множеству.

Характеристики

Список файлов книги