1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

2. Двойной предел в случае непрерывно изменяющихся независимых переменных. Во многих случаях встречаются тзкие предельные переходы, в которых участвуют одновременно как целочисленные индексы, так и одна или несколько непрерывных переменных, причем' индексы, например п, неограниченно возрастают, з непрерывные переменные х, у,...

стремятся к определенным пределам $, встречаются и тзкие процессы, в которых нет индексов, а участвуют в них в качестве аргументов только лишь непрерывные переменные, стремящиеся к своим пределам. Ко всем таким случаям принципиально вполне приложимы известные уже нам рассуждения и результзты без существенных изменений. Прежде всего отметим, что понятие предела последовательности функций ул(х) или у„(х, у) при неограниченном возрастании п являетея как раз примером первого 126 дополнвния к Глава и типа только что перечисленных предельных переходов.

Действительно, величина у„(х) или р„(х, у) зависит не только от переменной х или от (х, у), непрерывно изменяющихся в некоторой области, но еще и от целочисленного аргумента — индекса п. Мы видели в первом томе (гл. Н111, 4 4), что если последоззтельность непрерывных функций у„(х) сходится равномерно, то и предельная функция ,у(х) также непрерывна Эта теорема приводит к следующим равенствам: )(1)= 1пп )(х)= 1ип [1!ш у„(х)! = 1!ш г„(1)= !пп [ 1пп у"„(х)), п со «Е выражзющим переместительность предельных переходов и -ь оо н х-ьй Эта теорема справедлива и в том случае, когда члены последовательности у„(х, у, ...) ззвисят от нескольких переменных,— при этом ничто не изменяется ни в определениях, ни в доказательствах. С другими примерами, показывающими, какое большое значение имеет в анализе вопрос о переместнтельиости предельных переходов, мы уже встречались не раз в прошлом, например в теореме о перемене порядка дифференцирования при вычислении частных производных, и еще встретимся в будущем.

Здесь мы рассмотрим еще только пример функции в в При постоянном уело и к О получается 1!ш у(х, у)= — 1, а при посто«в янном хфО и у — О другой предел 1ппу(«, у)=1. Стало быть, у втой у-о функции !цп [11ш У(х, у)[ф 1вш [!цп у(х, у)) и результат зависит ог у-о «-о , -о у-о порядка предельных переходов. Это связано, очевидно, с наличием разрыва функции в начале координат. Заметим в заключение, что в случае непрерывных переменных вопрос о разложении двойного предела на последовательные простые предельные перехода! и о лереместительности порядка составляющих простых предельных переходов подчиняется таким же точно теоремам, какие были только что доказаны в п' 1 для двойных последовательностей.

3. Теорема Дини о равномерной сходнмостм монотонных по-. следовательностей функций. Во многих более тонких аналитических исследованиях применяется с пользой одна общая теорема о рзвномерной сходимости. Мы уже знаем (т. 1, стр. 449 — 4оО), что последовательность непрерывных функций может сходиться к непрерывной предельной функции, несмотря на то, что эта сходииость неравномерна. Однако существует важный случзй, когда ив непрерывности предельной функции вытекает равномерность сходимости. Это тот случай, когда последовательность функций монотоннз, т.

е. при любых фикси рованных значениях х и у значение функции Уь(х, у), с возрастанием и, либо никогда не убывзет, либо никогда не возрастает, Теорема формулируется так: 3! а я. понятие п»едРАА Функции многих пеРеменных 127 Если в залгкнутой области 0 последователю ь непрерывных функций ~„(х, у) сходитсп к непрерывной предельной функции 1(х, у) и если во всех точках области г !(х, у)~,Р„(х, у) либо во всех точках области у„»г(х, у)(~,(х, у), то сходилость равнолсерна в области О. При доказательстве можно ограничиться случаем, когда У„(х, у) монотонно возрастает или монотонно не убывает (первое неравенство),— при втором предположении рассуждение аналогично.

Приводимое здесь доказательство от противного представляет собой типичный пример применения принципа точки сгущения. Если бы сходимость была неравномерной, то существовало бы такое положительное число а, что для некоторой бесконечной последовательности номеров пь па, ... нашлось бы в области О по точке Р„о Р„„..., в которой значение функции У«а(Р» ) отличалось бы от значения предельной функции У(Р„А) больше чем на а.

Последовательность точек Р„„Р„„... имеет по крайней мере одну точку сгущения О, а так как область 0 замкнутая, то точка Я должна принадлежать этой области. Но для всякой точки Р области О и всякого натурального числа р должно быть »(' ) »»(Р) +)~»(~ )' где У (Р) и «остаток» Й (Р) являются непрерывными функциямн точки Р. Так как последовзтельность функций 1„(Р) мснотонно возрастает (или по крайней мере не убывает), то гг»(Р))Я„(Р) при и >!».

В частности, в каждой из точек Р„ прн пь »!» будет г«» (Р„») ~ Р»ь (Р„ь') ~ а. Из последовательности точек Р„„Р»н Р„„... можно выделить подпоследовательность, стремящу!ося в пределе к точке 0; в силу непрерывности Я»(Р) при любом фиксированном значении р будет также Я»Д)) а. Так как в нашем предельном переходе номер пь неограниченно возрастает, то индекс !» можно взять сколь угодно большим, ибо, как бы велико ни было р, всегда еще будет бесчисленное множество номеров пм превышающих !». Но нерзвенство Я„Д))а при сколь угодно большом р противоречит тому факту, что Я» Я) стремится к нулю при возрастании !».

Следовательно, предположение, что сходимость неравномерна, приводит к противоречию, что и докззывает нашу теорему. Упражнения 1. Выяснить, существуют аи сведующие двойные пределы: (1п и,' — (!а и)' а) !1ш „(1п и)'+ (!п т)» ' м»» 128 дополнения к главк и ц тй и + тй гл Р— тйптйт1 1 кч в) 1пп — у с<м — . а оэ ж и ы со 2. Доказать, что функция Р(х, у) непрерывна, если а) при фиксированном у функция у является непрерывной функцией от лн б) при фиксированном х функция у равномерно непрерывна относительно у в том смысле,что для всякого а)0 существует такое Ь)0 (не зависящее от х и р), что ! у (х, у,) — у (х, у) ~ ( ы коль скоро ~ у, — у ~ ~ Ь.

3. Доказать, что функция у(х, у) непрерывна а точке х=О, у=О, если функция Ф (т, т) =У(г солт, Г а1пу) а) является непрерывной функцией от с при постоянном т и б) равномерно непрерывна относительно Ч при постоянном т, так что для всякого а)0 существует такое Ь)0 (яе зависящее от Г и З), что ! Ф (Г, Ф,) — Ф (т, т) ((ц если только (т,— у )~сз. 4.

Докааатгь что лопоаяитсаьяос множество Лля замкнутого множсстааЗ (т. е. множество всех точек, не принадлежащих 8) является открытым множеством. ф 8. Однородные функции В заключение сообщим некоторые сведения об однородных функ циях. Простейшими однородными функциями являются однородные целые рзционзльные функции (короче — многочлены) от многих переменных.

Многочлен ах+ Ьу называется однородной функцией первой степени относительно х и у, многочлен аха+Ьху+суа — однородной функцией второй степени и вообще целая рациональнал функция от х и у пли от больигего числа переменных называется однородной функцией степени и, если сумма показателей независимах переменных имеет во всех членах одно и то ысе значение и, так что в случае двух переменных х и у эта функция имеет следующий вид: аах" + лье" 'у + а,х" 'у'+... + а„у", где аа, аь ..., а„— постоянные коэффициенты. Эти однородные многочлены обладзют тем свойством, что при любом вначенин г выполняется тождество у((х, (у)=(" р(х, р). Это свойство однородных многочленов кладут в основу общего о п р е де л е н и я однородной функции: Функция г (х, у,...) называется однородной функцией измерения (или степени) Ь, если она удовлетворяет равенству у((х, (р, ...)=гьу(х, р, ...).

129 аз. однозодныв атнкции Приведем несколько примеров однородных функций, ие являющихся многочлепами: ), и=о. 1У' 1х) ' х' мп — +у Уха -»-уа1п У х х'+ Зху'+ я' ху+ у'+ х« 2) Л=2 4) Косинус угла между двумя векторами (х, у, «» и (и, и, ж» хи+уз+ «ж )ГР+З*+~ Уи'+и'+ж' является однородной функцией шести переменных измерения 6 =0. 5) Длина вектора (х, у, «), т. е. )'х'+у'4-«', является примером функции положительно однородной первого измерения, т. е. тождество, служащее определением однородных функций, выполняется здесь лишь при г)0.

Положительно однородной является и функция 2). Если однороднзя функция дифференцируемз, то она удовлетворяет соотношению однородности Эйлера х~ + у1 + «г", +... = лу(х, у, «), х~„(вх, 1у,...)+у» (1х, 1у, ...)+...=»ггь 'р(х, у,...). При 1=1 отсюда вытекает доказываемое соотношение. Соотношение Эйлера вполне характеризует однородные функции; это значит, что не только соотношение Эйлера является следствием однородности функции, но и, обратно, всякая функция, удовлетворяющая соотношению Эйлера, есть однородная функция, так что саотношение Эйлера служит необходимым и достаточным условием однородности фуннгрис Прежде чем приступить к докззательству упомянутой обратной теоремы, заметим, что определяющее свойство однородных функций равносильно следующему свойству: если разделить функцию на х", то полученное частное зависит только от отношениИ вЂ”, —, ...

« действительно, подставив Г = — в тождество Г у(х, у, е, ...) = 1 ь у(х~У«,".), I У «1 IУ « б з. ктрзит которое представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка Для доказательства продифференци- руем по 1 определяющее тождество У(1х, 1у, 1«, ... ) = (гУ (х, у, «,...). Применяя к левой части правило цепочки, получим йополнйния к глава и Обратно, если †' ', †"' = т ~ — — ...) то у(,е, у е . ) у(х,у,г,...) lу хт' '1х' х '" = х т ~ —, — „...). Подставив сюда внестох, у,а, ...

Характеристики

Список файлов книги