1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Общую теорему о неявных функциях можно обобщить на случзй многих независимых переменных следующим образом: Пусть Р(х, у, ..., г, и) есть непрерывная функция своих аргументов х, у, ..., г, и, обладающая непрерыенымп частными производными Р„, Р„, ..., Е„рк. Пусть система значений хо, уь ° ., го ио удовлетворяет уравнению Р=О, так чего Р(хо уь ° ., го ио)=0, а в к (хь уь .. ° гь ио) ~ О.
Тогда существует такой интервал и, -вг=-.ио вокруг ио и такая бласть О, содержащая внутри себя (хо, уь ..., го), что уравнением 140 гл. щ. постаоанна днвввэзнцнлльного исчислвння ~а Р(х, у, ..., », и)=0 определяется в области 0 однозначная функция и=у(х, у, ..., »), значени» которой лежат в интервале иг м- и ~ ггй эта функция удовлетворяет в каждой точке области 0 урзвиению Р[х, у, ..., », г(х, у, ..., »)[=О, и для нее и,=-р(хн у,, гг). Кроле того, функция и=у(х, у, ..., ») является непрерывной функцией независимых переменных х, у, ..., г и имеет по ним непрерывные частные производные, которые определяются из уравнений: Р„+Р„У.=О, Р,+Р.),=О, По поводу доказательства существования и непрерывности мы отошлем читателя к следующему номепу.
Что касается формул дифференцирования, то они получаются из правила дифференцирования неявной функции одной неззвисимой переменной. Для этого надо приписать всем независимым переменным, кроме одной, постоянные аначения и взять производную по оставшейся переменной; если, например, фиксировать значения у, ..., »„ то получим первую из записанных выше формул, для вычисления у„. Помножим первую из формул для проиаводных на йх, вторую— иа ау,..., последнюю — на Ы»; тогда если учесть, что Х,йх+фЬ+...
... +~,й» = г(~= йи, все формулы дифференцирования объединятся в одном уравнении Р„йх+ Рэйу + ... + Р,Ы + Р„йи = О, которое выражзет следующее: если аргументы х, у, ..., ж и функции Р(х,у„,.„з, и) не гименяются независимо друг от друга, а подчинены условию Р=О, то и их дифференциалы ах,ау, ... ..., а», г(и тоже не являются независимыми,— они связаны линейным уравнением ЙР=Р„йх+Ргг(у+ ... +Р,й»+Р„й»=0. Обратно, из этого уравнения можно вывести исходные формулы для производных. Лля этого надо ааменить аи его выражением и„в(х+ггэйу+ ... +ила», после чего уравнение примет следующий внд: (Р +Р„и )йх+(Р»+ Р„и„)ау+ ... + (Р»+Р„и,)Ы»=0. $!.
НВЯВНЫВ ФУНКЦИИ 141 Так как дифференциалы йх, йу, ..., йг уже взаимно независимы, то можно последовательно положить один из ннх не равным нулю, а остальные приравнять нулю, и тогда получатся все формулы для производных от функции и=у'(х,у, ...,г, и). Понятие неявной функции позволяет дать общее определение понятия алгейрассческой функции. Функция и=~(х,у, ...) называется алгебраической функцией независимых переменных х,у, ..., если она может быть определена неявно уравнением Р(х,у, ..., и)=0, где Р есть целая рациональная функция своих аргументов х,у, ..., й выражаясь короче, если и «удовлетворяет алгебраическому уравнениюь. Все функции, не удовлетворяющие алгебраическому уравнению, называются слрансцендентными. В качестве примера на дифференцирование неявной функции многих леременных рассмотрим уравнение исаровой поверхности х'+уз+и' — 1=0.
Для частных лропзводных первого порядка получаем и= — —, и,= —— У и ' > Дальней!нее дифференцированяе дает: 1 х х+и' сс.«» — + ! и« вЂ” ! и и' " и' х ху и „= — „ссу= — — „ й — й ич = — +у а„= — у+, -'У и й' У и' 6. Доказательство сушествоваиия н непрерывности неявной функции. Во многих конкретных случаях существовзние и непрерывность неявной функции вытекает из фактической возможности выразить из уравнения Р(х,у)=0 неизвестную у через х с помощью элементарных функций.
Тем не менее совершенно необходимо дать общее аналитическое доказательство теоремы существованись формулированной в и' 3. Прежде всего выделим прямоугольник хс(х~х„ус~у-=уэ з котором уравнением Р(х,у)= 0 однозначно определяется функция у =у'(х). При этом мы отнюдь не будем пытаться найти наибольший прямоугольник, обладающий этим свойством; мы намерены лишь показать, что такой прямоугольник суиСествует.
Так как производная Р„(х, у) непрерывна, а Р (хы уа) ~ О, то можно найти прямоугольник Ст' с центром в точке Р(хч, уа) настолько пглыи, что во всем этом прямоугольнике производная Р„ отлична от пуля и сохраняет постояссный знак. Не теряя общностй мы вправе 142 гл. ш. постговнив диээвгвнцилльного исчисления 16 допустить, что этот знзк положительный, т. е. что В )0 во всем прямоугольнике Я; действительно, если бы было Р„(0, то можно было бы заменить функцию Р на — Р, не изменяя уравнения Р(х, у)=0.
В силу Р )О, на отрезке любой прямой х=сопз1, параллельной оси у, лежащем в Я, функция Р(х, у), рассматриваемая как функция одного лишь у, монотонно возрастает. Так как Р(хм уз) =О, то в некоторой точке А(ха,уг), лежащей в Я на вертикали, проходящей через точку Р, причем у,(уэ аначение функции Р(хьу,) отрицательно, а в некоторой точке В(хьуа), уа)уь значение Р(хо уа) положительно (рис. 31). Вследствие непрерывности функции Р(х, у) отсюда вытекает, что гч(х,у) принимает отрицательные значения вдоль некоторого лежагцего в Й отрезка з горизонтальной прямой у=уь проходящей через А, и положительные В Я значения на лежащем в Я отрезке 3 Р прямой у=ум проходимцев через В. Стало быть, вокруг ха можно отме- 9( А тить интервал х, =.х(ха настолько ( малый, что для значений х из этого 0 Р " Фу П( у) Р. Р Р проходящем через А, и положительна на горизонтальном отрезке, проходящем через В.
Другими словами, во всех точках интервала х((х(ха выполняются неравенства Р(х,у()(0 и Г(х,уа))0. Выберем теперь любое значение х из интервала х, -- х =хя и, оставляя его неизменным, заставим у возрастать от у( до уь Тогда точка (х, у) остается в прямоугольнике х,(х~х„у,~у~уз Рис. 31 который мы можем считать лежащим целиком внутри )г'. Так кзк Р (х,у)) О, то значение функции Р(х,у) монотонно и непрерывно возрастает от отрицательного значения до положительного и в двух точках с одинаковой абсциссой не может принимать одно и то же значение.
Следовательно, каждому значению х из интервала х( -х«=х, соответствует однозначно определенное значение у, которое удовлетворяет уравнению Г(х,у)=0. Это значение у является поэтоиу функцией от х; тем самым мы доказали существование однозначной неявной функции у=Д(х), определяемой уравнением Р(х,у)=0. При этом ясно обнаруживается и роль условия Р ф О. Если бы это условие не было выполнено, то значения функции В(х,у) на горизонтальных прямых, проходящих через А н В, могли бы и не иметь противоположных знаков, так что Р(х,у) могла бы и не проходить через нуль на вертикальных отрезках. Если же значения функции на горизонталях, проходящих через А и В, даже имели бы различные 143 э !. нвявныв аннкцин знаки, то производная зп могла бы менять свой знак, так что функция г (х,у) не изменялась бы монотонно на вертикальном отрезке (т.
е. при постоянном значении х) и могла бы поэтому обратиться в нуль несколько раз, что сделало бы неявную функцию многознзчной. Отметим еше важность ограничения у, (у (уо. Если его опустить, то однозначность функции у =у(х) не была бы обеспечена. Г!усть, например, 1 1 г'(х, у) = х' +у' — 1 и х, = О, у, = 1. Тогда з интервале — — ( х ~— уравнением х' +у' — 1 = О определяется единственное решение у =у(х), «сан ограничить у интервалом О(у~2; если же не ограничивать значений у, то получится дза решения: у=)'! — х* н у= — )' ~ — х".
Наше доказательство только лишь устанавливает тот факт, что функция у=у(х) существует. Оно является образцом чистого «доказательства существования», совершенно не затрагивающего вопроса о практических возможностях вычисления функции. Этот отказ от нахождения практических методов является порою существенно важным шагом для упрощения доказательства Остается доказать непрерывность функции у(х), но она является непосредственным следствием наших рассуждений„В салюм деле, пусть прямоугольник Й'(х, ~ х( х„у, (у «уо) лежит полностью внутри пРЯмоУгольника хо:(х~хь УГ(У =Уо. ДлЯ этого меньшего пРЯ- моугольникз можно выполнить точно тот же самый процесс пастроения решении у=У(х) уравнения гс(х,у)=0. Так как в объемлющем, ббльшем, прямоугольнике это решение было однозначно определенным, то вновь найденная функция у=у(х) совпадает с прежней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
