1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Они и применяются лля изучения таких деформаций или перемещений. Пусть такое вещество з некоторый момент п ревени распределено непрерывно по двумерной области О, а затем подл< ргается деформации, так что вещество, которое располагалось раньше на области О, уже будет покрывать область Г, которзя может не < юпадать с областью О, Каждую частицу вещества можно отметить и начале движения ее координатами (х, у) в области О, а после деформации — ее координатами (Е, т)) в области Г. Взаимно однозначный «рактер преобразования, устанавливающего соответствие между по- <п копиями частицы (х, у) и (Е„т)) до и после деформации, есть прос- <о математическое выражение того физически очевидного фак~а, чтО 158 гл. ш, пост«овнив днвфв«внцилльного исчисления агота — «при х)0, х агоний — «+к при х =.О, угмО„ х агс(й — — я при х( О, у(0, У Х Е=г=)/ха+у',, т)=В= (л +у ~0) так что — я(9 = я, И вообще, когда задана система функций с= «(х,у),п=,ть(х, у) то для каждой точки Р(х,у) можно рассматривать соответствующую пару чисел (1, ч) как ее новые координаты.
Действительно, всякая пара чисел (с, .ч), принадлежащая области Г, однозначно определяет пару значений (х, у) и тем самым однозначно указывает положение точки Р в области 0; поэтому мы вправе называть $, т~ координатами точки Р. В любой системе координат координатными линиями нззываютсь такие линии, вдоль которых одна из координат сохраняет постоянное значение. Например, в декартовой прямоугольной системе координатными линиями являются прямые х=е и у=й, параллельные осям координзт. На этой же плоскости ху мы имеем в новой системе координат 1, т) двз семейства координатных линий, $ =с= сопят и т,= й = сопзг, которые определяются в неявном виде уравнениями «(х, у) = с и р(х, у) = й.
Эти координатные линии покрывают область О координатной сеткой, как правило, криволинейной; поэтому новые координаты (1, и) называются также криволинейными координатами в области О. Стало быть, декартова система координат, как прямо- кзждая частица сохраняет свою индивидуальность и после деформации, так что различные частицы остаются различными. 2. Вторая интерпретация системы функций: введение новых, криволинейных координат.
С первой интерпретацией (как отображения) тесно связана вторая интерпретация системы функций ч = =р(х, у), «=ф(х, у) как преобразования координат на плоскости. Однако если у н ф не яалпотся линейными функциями, это уже будет не аффинное преобразование, а преобразование к общим криволинейным координатам. Полагаем по-прежнему, что когда точка (х, у) пробегает область 0 плоскости ху, то соответствующая ей точка (с, тг) пробегает облзсть Г на плоскости 1т), н что, обратно, для каждой точки области Г соответствующая пзра значений (х, у) тоже определяется однозначно; другими словами, что преобразование взаимно однозначно. Обратное преобразование обозначим по-прежнему через х=й($, т),у=)г($,т0.
Координаталги точки Р области Оможно считать любую пару чисел, пригодную для однознаююго указания положения точки Р в облзсти О. Прямоугольные координаты представляют простейгпий пример координат, эффективных на всей плоскости. Другим типичным примером является полярная система координат, которая вводится на плоскости ху с помощью формул: $3. системы Функций, пРеОБРАзОВАния и ОтоБРАжения 159 угольная, так и косоугольная, является прямолинейной системой координат, а полярные координаты принадлежат к числу криволинейных. Подчеркнем еше раз, что оба различных толкования системы функций тесно связаны между собой. В плоскости ху имеется система прямоугольных декартовых координат (х,у), в плоскости ст) — такая же система координат (с, т)). С точки зрения первой интерпретации, функции Е=ф(х,у), т)=ф(х,у) отображают область 0 первой плоскости на область Г второй, причем прямым х=с, у=О области О соответствуют два семейства кривых в области Г плоскости чт).
С точки зрения второй интерпретации обратная система функций х= =а(с, т)), у=п(1, т)) вводит в области Г п.чоскости ЕО новую, криволинейную систему координат (х, у) и ее координатными линиями являются как раз только что упомянутые два семейства кривых, служащих изображениями прямых х=с, у= й. Обратно, координатными линиями криволинейной системы координат а = Р (х, у), 'ч = ф (х, у) для области 0 плоскости ху являются кривые, отображающие на зту область прямые 1 =с, т) =к плоскости ст). Даже при истолковании пар (5, т)) как криволинейных координат па плоскости ху пелесообразно, для достижения полной ясности, рассматривать одновременно еше и плоскость (О и на ней облзсть Г, которую пробегает переменная точка (с, т)).
Различие главным образом в точке зрения' ). Если нас интересует главным образом область 0 плоскости ху, то мы рассматриваем с, т) только как новый способ координапии точек в области О, а область Г плоскости ст) будет играть лишь вспомогательную роль. Если же нас равно интересуют обе области: 0 в плоскости ху и Г в плоскости $~), то лучше видеть в системе функций установление соответствия между обеими областями. Однако всегда желательно иметь в виду одновременно оба толкования — отображение и преобразование координат. Пустен например, в плоскости ху вводятся полярные координаты (г, З); 1 гда полезно ввести в рассмотрение вспомогательную плоскость га, з ка- 1 рой толкуем г и а как прямоугольные декартовы координаты. Окружности ~ =. сопэг и поаупрячые з = сопэг данной плоскости отобразятся в виде нрнныт, параллельных осям, на вспомогательной плоскости гэ.
Если область 0 паосйости ху есть круг хе+ус~1, то соответствующая область Г второй наоскости будет прямоугольник О~с~1, Он=э(2н) при этом сторону 6=2н прямоугольника ны не присоединяем к области Г, а вся сторона прямо- ~ ~ оаьника г = О служит изображением одной точки — начала координат х = О, Р .= О. Рассмотрим другой пример криволинейных координат — систему иар ~болических координат. Мы придем к ним, рассматрйвая в плоскости ') Однако существует и реальное различие, состоящее в том, что сие« на равенств с = Т(х, у), Ч = ф (х, у) всегда определяет отображение, неатн ино от того, сколько точек соответствует одной точке (х, у), между «ч как переход к криволинейным координатам оиа задает лишь в том а) час, если соответствие взаимно однозначно. 160 гл.
ш. поствовнив дисекввнцилльного исчисления (з ху семейство парабол (сделать чертеж; ср. стр. 148, и стр. 157, рис. 36) - . ~-+-Рг), имеющих общий фокус в начале коордвнат и общую ось — ось х. Через каждую точку плоскости проходят две параболы семейства, из которыя одна соответствует отрицательному значению параметра р, =1(О, а вторая — положительному значению р~ = ч ~ О.
Эти два зиачеийя получаем, решая относительно р квадратное уравнение р'+2рх — у'=О, в котором рассматриваем х и у как координаты конкретна заданной точки: $= — х — )гх" +у", х= — х+)гх" +у". Этими двумя функциями мы введем криволинейные координаты на плоскости ху. Новыми координатами (й 3) точки (х, у) являются, таким образом, параметры р, = 1 и р, = Ч тех двух парабол, которые в ней пересекаются; отсюда и название аарадолачегхаа хоорданаты. Оливка двум точкам Р (х, у) и 0 (х„ — у), рвсположсиаым симметрично относительно оси х, соответствует одна и та же пара координат ($, Ч), а стало быть, одна и та же точка плоскости (ч: зги точки Р и 0 являются точками пересечения олной и той же пары парабол нашего семейства. Так как а+ 8=рь+Ря= — 2х и 1ч =ру, = — у, то обратная система функций будет х= — —,, у= -в-у — ач.
Е+ч (г) Для того чтобы соответствие (1) было взаимно однозначным (при введении криволинейных координат зто необходимо), надо ограничиться либо верхней половиной плоскости ху, либо ее нижней половиной. Если выбрать за область О верхнюю полуплоскость у~ О, то во второй из формул (2) надо при квадратном корне взять знак плюс. Будем теперь рассматривать формулы (1) как отображение; тогда, при сделанном выборе области О, они дают отображение верхней половины плоскости ху (у зв 0) на вторую четверть плоскости ст) (это область Р). Изображениями полупрвмых х=с, лежащих в области О, являются лежащие в области 1" части параллельных прямых т(= = — 3 — 2с, а ивображенивми првмых у=й служзт лежащие в Р ветви гипербол 38= — ла.
(Все семейство парабол в целом совпадает с семейством парабол на рис. 36, только название осей равличное: там $, т), а здесь х,у. Существенное различие состоит в том, что пометки (надписи) на каждой конкретно выбранной параболе в обоих отображениях различны.) 8. Система трех функций от трех незивисимых переменных. В случае трех или большего числа независимых переменных дело обстоит совершенно аналогично. Например, систему трех непрерывно дифференцируемых функций з! з з, систнмы эвикций, пвиоввлзовлння и отовэлжвння И1 определенных в некоторой области 0 прострзнства худ, можно рассматривать как отображение области 0 на некоторую область Г пространства ЕтД.
Лопустим, что это отображение области 0 на область Г взаимно однозначно, так что и, обратно, для каждой точки (Е,ть С) из области Г координаты х,у, з исходной точки Р в 0 выражаются однозначно с помощью функций х = д(Е, т1, Е), у = й (Е, т„ Е), г = 1(Е, ть Сд тогда Е, 8 и Е можно также рассматривать как общие криволинейные координаты точки Р в области О. Поверхности 'Е= сопя(, й=сопз1 и Е=сопзс или 9(х у 2)=сопз1~ ф(х, у, з)=сопз1„)Е(х, у, г)=сопз1 образуют систему трех семейств поверхностей, покрывающих область 0; эти поверхности (как правило, кривые) назывзются координатными поверхностями.
Так же как и в случае двух переменных, взаимно однозначные преобразования трех переменных можно наглядно иллюстрировать как деформации вещества, непрерывно распределенного в некоторой области трехмерного пространства. Важнейшим примером введения криволинейных координат является преобра:ювание к сферическим или нространстеснным лоллр- В ьым координатам.
В этой системе координат положение точки Р в пространстве У валяется с помощью сле- У лу1ошнх трех чисел: 1) рас- = гэ:ь~я~*" гочки Р от начала коорди- Ряс. 37. пат, 2) географической дол- ~ оты э, т. е. угла от плоскости ХОз до плоскости, проходящей чгрез точку Р и ось з, и 3) полярного угла 9, т. е. угла от полоквгельного. направления оси з (полярной оси) до радиус-вектора ОР. пэ рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
