1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Составить уравнение касательной плоскости а) к поверхности х'+2хуг — 7г'+Зу+1 О в точке (1; 1; 1); б) к поверхности (х'+у')'+х' — у'+7ху+Зх+г' — г =14 в точке (1; 1; 1); 3 lя в) к поверхности ип'х-(-соз(у-(-г) = — в точке ~ —, —,, О) . 1 (6' 3' ж Вычислить кривизну плоской кривой з!п х+созу= 1 в начале координат. 3. Из трех семейств поверхностей ху=Сг, )гхэ+г'+Уу'+г'=Со )'Р+г' — 1~у'+гг =С, ножгю выделить три поверхности (по одной от каждого семейства), имею- щих общую особую точку. Доказатгь что эти три поверхности попарно ор- тогональны.
4. Точки А и В движутся равномерно с одинаковой (скалярной) ско- ростью. Точка А движетсв по оси г, точка  — по прямой, параллельной оси у. В начальный момент А находилась в начале координат,а В в в точке (а, О, О). Найти поверхность, являющуюся геометрическим местом прямых, соединяющих обе движущиеся точки. 5. Доказатгч что точки пересечения кривой (х+ у — а)'+ 27аху = О (а ф О) с прямой я+у=а являются точками перегиба кривой.
6, Определить а и Ь так, чтобы кривые второго порядка 4х'+ 4ху+ уэ — 1Ох — 1Оу + 11 = О, (у+ Ьх — ! — Ь)' — а (Ьу — х + 1 — Ь) = О пересекались в точке (1; 1) под прямым углом и имели в этой точке оди- наковую по абсолютной величине кривизну. 7. Поверхность задана уравнением Г(х, у, г) = 1, где Г есть однород- ная функция измерения И. Показать, что касательная плоскость втой поверх- ности в ее точке (х, у, г) приводится к виду ЬГл+ЗГг+(Г = И. В. К, н К,— две окружности, имеющие две общие точки А и В.
Дока- зать, что если окружность К ортогональна к обеим окружностям К, и К„ ~о она также ортогональна и ко всякой окружности, проходящей через ~очки А и В. ф 3. Системы функций, преобразования н отображения 1. Перван интерпретация системы функций: преобразование н отображение. Сведения, полученные о неявных функциях, дают геперь возможность изучать системы функций, т. е. несколько функций, рассматриваемых совокупно.
В этом параграфе мы рассмотрим особенно важный случай таких систем, в которых число функций равно числу независимых переменных. Выясним сперва смысл таких ~ ос тем функций на случае двух независимых переменных. Пусть даны лэ функции й=р(х,у) и э)=ф(х,у), 154 тл. и!. постаоений диФФевенциального исчисления с! дифференцируемые в некоторой области О плоскости ху. Эту систему можно истолковать двумя различными способами.
В этом номере мы изложим первую интерпретацию, рассматривающую систему функций как отображение или преобразование (а вторая будет дана в п' 2). Точке Р (х, у) одной плоскости соответствует, в качестве ее ссзображенил, точка П (Е, я) другой плоскости. Точка Р (х, у) называется оригиналом своего изображения П (Е,т)). Примером такого отображения является аффинное отображение или преобразование (гл.
1, Э 4) Е= а,х+Ь|у, т)=пах+дар, где аь Ь!, а, и Ь,— постоянные числа Точки (х, у) и (Е, т)) часто рассматривают как точки одной и той же плоскости; тогда говорят об отображен!с!с плоскости (х, у) на самое себя нли же о деформаисси плоскости. Одну функцию одной независимой переменной Е=У(х) тоже можно интерпретировать как отображсние, считая, что эта функция точке х на осн х приводит в соответствие точку Е на оск Е; это точечное соответствие отображает ось х каи ее часть на ось Е иаи часть этой оси.
Равномерная шкала равноотстоящих точек на оси х превращается в шкалу тачек Е (вообще говоря, неравномерную) на осн Е, на которой точки то сгущаются, то разражаются. Шкалу ка оси Е можно использовать дая наглядного изображения функции Е=У(х); такая точка зрения часто применяется с успехом в приложекиях (например, в номографии). Основной задачей, которая возникает в связи с преобразованием, является задача об его обращении, т. е. вопрос о том, дают ли уравнения преобразования Е=р(х,у) и т)=ф(х,у) воаможность рассматривать обратно х и у как функции от Е и ть и если да, то как дифференцировать эти обратные функции.
Когда точка (х, у) пробегает область О, пусть точка (Е, т)), которая служит ее изображением, пробегает область Г плоскости Ет); тогда эта область Г называется изображением области О. Если прн этом двум различным точкам области О всегда соотвесиствуют две различные точки области Г, то для всякой точки области Г существует единственная точка области О, изображением которой она является.
Стало быть, можно обратно каждой точке области Г отнести исходную точку области О, ее оригинал, т. е. наше преобразование можно обратить и выразить переменные х, у однозначно как обратные функции х=й(Е, с), у=й(Е Ь) определенные в области Г. В этом случае отображение называется однозначно обратимым, взсисмно однозначным илн одно-однозначным, а система функций х —..--Л(Е, 4), у=Ь(Е, я) называется преобразованием или отображением, обратным первоначальному. 1! в а системы вкнкцнй, паеоваазовлння и отоаалжвння 133 Если точка Р(х, у) пробегает в области 0 некоторую кривую, то изображение этой точки опишет в области Г тоже кривую, которая называется изображением первоначальной кривой. Так, например, линии х= с, т. е, прямой, параллельной оси у, соответствует на плоскости Е'Е кривая, выражаемая параметрическими уравнениями Е=ф(с, у), т>=ф(с, у), в которых параметром служит у. Аналогично, прямой у=>е соответствует изображаю>цая ее кривая Е = ф(х, й), 4 = ф(х, й).
Припишем постоянным с и уг последовательно различные значения сь са, са ° .. и уен йь уеа,...,' тогда прямоугольной координатной с с с Рис. 33. Рис. 34. сеглке прямых х=сопИ и у=сопИ (например, сети прямых на миллиметровой бумаге) соответствует на плоскости Ее сенека линий, вообще говоря, криволинейная (рис, 33 и 34). Имея в своем распоРюкении выражение обратного преобразовзния х=а(Е, ч)), у=у>(Е, ъд, можно оба семейства кривых этой криволинейной сетки представить и в неявном виде уравнениями й(Е,4)=с, У>(Е, ч~)=А. Подобным же образом двум семействам прямых на плоскости итобрзжения Е =Т и а=в соответствуют на исходной плоскости ху два семейства кривых ф(х, у)=Т и ф(х,у)=ж В качестве примера однозначно обратимого преобразования Рассмотрим > кеереию, иначе называемую ок>ображением с помощью обратных радиу- не иаи симметрией ол>ноеительно единичной окружности.
Это преобразо> .юие задаегся уравнениями х х'+у' ' 156 гл. ш. постгоннип д55оонвпнцидльного исчислвния Радиус-вектор тачки Р есть 0)З=-г= (л; у», а радиус-вектор ее изо- г г', браження, точки П, 5)П = —, =--. Таким образом, точка Р и ее изображс- г' г' ние П лежат иа одной полупрямой, выходящей из начала координат (пентра окружности х'+у'=1), и полярный радиус точки П равен числу, обратному 1 полярному радиусу точки Р 50!! =ОР. Точки, лежащие внутри единичной онружности отображаются на точки, лежащие вне ее, и обратно. 'т щи 1 и н'и а 4=0 4=5 й-2 ~-3 а-4 Рис, Зб. ! Так как !а+ят=, + „, то обритное преобразование спь 6 х= „+„,, у=- „+ т. е.
тоже инверсия. За область сг можаю принять всю плоскость ху, за исключением начала координат, а за область à — всю плоскость $, т), за исключением начала координат. Прямым 6 = с и ч)=й плоскости !ч соответствуют на плоскости ху окружности х +у — — х = О и л' +у' — — у = О;в начале коора а ! а с й динат первая из атил окружностей касается оси у, а вторая — оси х. Аналогично, координатная сетка х=с н у — — й плоскости ху изображается на плоскости $ч) криволинейной сеткой, состоящей из двух пучков окружнастей, касающчлся в начале координат оси т! (первый пучок) н оси ! (второй пучок).
В качестве второго примера рассмотрим отображение с =- х' — у', д =- йху. (А) <) з з. систзмы вхнкций. пязоззлзозлния и отозялжзння )67 Прямым Е= сонат соответствуют на плоскости ху равнобочные гиперболы хэ — у'=сопэг, имеющие асимптотамн прямые у=х и у= — х. Прямым Ч = сонм соответствует другое семейство равнобочных гипербол ху = солж, имеющее асимптотами оси координат. Гиперболы каждого семейства пересекают гиперболы другого семейства под прямым утлом (рис. 35). Прямым плоскости ху, параллельным осям координат, соответствуют на плоскости Еч два семейства парабоа (рис. 36), а именно: прямым х=с соответствуют параболы Ч" = — 4с'(Š— с'), а прямым у=А — параболы 3'=- = ад»(е+А').
Оба семейства парабол имеют общий фокус в начале координат и общую ось — ось Е (объединенное семейство софокусных и соосных парабол, рис. 36). [Каждой точке плоскости ху соответствует одна и только одна точка плоскости Еж Однако на всей плоскости ху это превбразование не является взаимно однозначным. Формулы обратного преобразования будут РЕ'+ч +с, у=.+.1/ г'Еч+ча — Е, 2 прн ем, в силу равенства «=2лу, нрн, ) 0 надо в обеих формулах брщь одинаковые знаки, а при «( 0 — различные знаки. Отсюда видно, что на всю верхню<о полун.тоскость Ч ) 0 плоскости Е» отображается как перван, так н третья четверть плоскости ху; а на нижнюю полуплоскость Ч( 0 пло<костн ЕЧ отображается как вторая, так и четвертая четверть и;<оскости ху. Поэтому, чтобы о<ображение (А) было однозначно Рнс.
36. обратимым, можно за область Г принять всю плоскость Еч, а за облазь О выбрать одну вз четырех воэможностей: либо полуплоскость у ) О, либо полузлоскость у(0, либо полу- и <оскость х) О, либо полуплоскость х.с 0.[ Обратииые преобразования можно наглядно представить себе как л< формации или перемещения непрерывно распределенного вещества, <ыпример жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
