1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для того побы доказать непрерывность функции у=.г'(х) в какой-либо точке х=хь надлежит показать, что при любом сколь угодно малом наперед заданном числе а >О можно сделать 1у(х) — у(хо)!< з, если только выбрать х достаточно близким к хь Для этой цели положим и у,'=у,+е, уо =уо — з где уо — — у(хо), и для этих значений у, и у, определим соответствующий интервзл для х: х,-=х =х,. Тогда, по данному выше построению, для всякого х из этого интервала соответствующее значение функции у Г"(х) лежит между границами у, 'и уо, и отличается поэтому от уо —— у(хо) меньше чем на а. Это-то и выражает непрерывность функции у(х) в точке хо.
Так как это рассуждение применимо к любой точке интервала хо(х(хь то непрерывность функции показана для всех точек этого интервала. Доказательство общей теоремы о существовании и непрерывности неявной функции и=у(х,у, „ з), определяемой уравнением Р(х,у,..., з, и)=0 с ббльшнм числом независимых переменных, прошнштся по совершенно такому же обрззцу, как только что выполненное ч~псззательство, и не встречается ни с какими новыми затруднениями, 144 гл.
ш. поствовннз диееавенциаллного исчислзния н Упражнения 1. Доказать, что каждое из данных нн1ке уравнений определяет в неяв- ном виде однозначную функцию у=/ (х) в окрестности указанных точек: а) х' + ху +у' =7 в окрестности точки (2; 1); 6) х соз(ху) = 0 в окрестности точки (1; — 1; в) ху+1п(ху) =1 в окрестности точки (1; !); г) х'+у'+ху=З в окрестности точки (1; 1).
2. Найти первые производные от функций, заданных неявно в упр. 1, в указанных там точках. 3, Вычислить вторые производные от функций, заданных неявно з упр. 1, в указзнных там точках. 4. Определить максимумы н минимумы функции у = г(х), определенной неявно уравнением х' + ху +у' = 27. 5.
Функцнл з =у (х, у) определена в неявном виде уравнением х' + у' + е' — Зхух = О, Выразить з„и з„через х,у, з. 6. Покззаттч что уравнение х+у+п=а1п(хуп) определяет в окрестности точки (О, О, О) однозначную функцию и=у(х, у), приниыающую при х=у=о значение и=о. Найти частные производные этой функции. ф 2. Неявное задание плоских кривых и неявное задание поверхностей 1. Неявное задание плоской кривой.
):(о сих нор мы задавали плоскую кривую несимметрическим уравнением вида у=у(х), в котором одной из координат отдается предпочтение. В такой же не- симметрической форме писалось уравнение касательной к этой кривой т) =у+ (Š— х) ("(х) и уравнение ее нормали 1 '4 =у — (1 — )— т" (х) ' где Е и т) — текущие координаты касательной или нормали, а х и у— координаты точки касания. Для явного уравнения кривой мы вывели также выражение для кривизны и признаки точек перегиба. Теперь мы выведем соответствующие формулы для кривой, заданной неявным уравнением то(х, у)=О. Мы будем при этом предполагать, что функция то(х,у) дифференцнруема и что в рзссматриваемой точке т „н то„ не обращаются одновременно в нуль, так что в этой точке т" х+Ру ч' О. Допустим, например, что Р„ф О.
Тогда в уравнениях касательной н нормали в точке (х,у) кривой можно заменить у' ее выражением — —;, и сразу получится уравнение касательной Р'г ' (1 — х)l-„+(т) — у)1о =О Ц а кнвявнов задания плоских квивых и поввяхноствй 14б и уравнение нормали (1 — х) Р, — (т) — у) Р„= 0 в текущих координатах Е и ~.
Нынешней постановке вопроса более соответствовал бы вывод уравнения касательной прямым путем без использования явного уравнения кривой. Это можно выполнить, если дать касательной несколько иное определение. Мы теперь будем называть касательной к кривой в ее точке Р такую прямую, проходящую через эту точку Р, что расстояние от любой близкой точки Рг кривой до втой прямой имеет порядок малости более высокий, чем расстояние РРт, когда это последнее расстояние стремится к нулю.
Предоставляем читателю доказать, что двух различных прямых, тдовлетворяющих этому условию, быть не может, твк что новое определенйе касательной однозначно. Пусть теперь Р(х, у) — любая точка кривой, т. е. Р(х,у)=О. Уравнение всякой прямой, проходящей через точку Р, можно записать в следующем виде: а(е — х)+ Ь(т1 — У)= О, где $ и т1 — текущие координаты этой прямой. Лля того чтобы эта прямая была касательной в точке Р кривой, мы должны так подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы расстояние от переменной точки Р1 кривой с координатзми х~ = х+ Ь и у~ =у +. А до этой прямой имело более высокий порядок малости, чем р = уУУгв + ав, когда расстояние р между точками Р и Р, стремится к пулю.
В силу дифференцируемости функции Р(х,у) имеем Р( ' й У~й) Р(х,УН-йР+йР+яр, где в — 0 при р О, Так как обе точки Р и Р, лежат на кривой, то ггРл + УтРу = ер. Йля того чтобы выразить расстояние от точки Р1 до прямой (1), надо привести уравнение (1) к нормальному виду, подставить в левую часть полученного уравнения вместо е, т1 координаты х + уг, У + л точки Р, и взять абсолютную величину результата. Следовательно, искомое ая+ Ъ» расстояние равно )Унт 4 ьл ТепеРь сРазУ Ясно, что если положить а=Р„(хлУ) и Ь=Р„(х,У), ~о расстояние от точки Рт до прямой будет равно (вспомним, что 1.",'+ Р' =,Ь О) ЛРл+ ЙРл ~ в 146 гл. ш. постяовнив диээвгвнциального исчислиния [! где вя О при р — О. Стало быть, при р — О это расстояние тоже стремится к нулю, имея более высокий порядок малости, чем р.
Отсюда следует, что из нового определения касательной получается для нее то же самое уравнение, которое было выведено ранее. Из уравнения касательной видим сразу, что вектор (Р»,Р Д является ее нормальным вектором, т. е. нормальным вектором кривой. Из уравнения нормали видно, что за направляющий вектор касательной (касательный вектоР) можно пРинЯть вектоР [су, — Р»). Заметим, что если вместо кривой Р(х,у)= О будем рассматривать кривую с(х,у)=С, где С вЂ” произвольная постоянная, то ничего не изменится ни в наших рассуждениях, ни в вычислениях.
Придется лишь заменить функцию Р(х,у) функцией Р(х,у) — С, имеющей те же частные производные, что и первая функция; поэтому уравнения касательной и нормали имеют при любом С формально точно тот же вид, какой выведен выше. Множество всех кривых Е(х,у) =С, которые получаются, когда С пробегает исе значения в некотором интервале, называется семейством кривых. Градиент функции Р(х, у), т.
е. плоский вектор [рм ру), является в каждой точке плоскости нормальным вектором кривой семейства, проходяшей через эту точку, другими словами, первеядикулярен к этой кривой, как мы уже видели в гл. П, Э 7, и' 6. Этот факт дает егце один способ для вывода уравнения касательной — вектор [я — х, я — у) направлен по касательной, стало быть, он перпендикулярен к грздиенту, и скалярное произведение этих двух векторов должно равняться нулю: 6 — х) Р.+([ — у) Ру =О, а это и есть уравнение касательной. В т.
1, стр. 188, мы вывели для кривой, заданной явным уравнением у=Д(х), необходимое условие точки перегиба: у"(х)= О. Заменяя У"(х) выражением гь) ~РГ ~ ГР ~Р и р1 из предыдушего параграфа, мы получим необходимое условие точки перегиба Р»»Ру о1»уР»Ру + РууР» = О Р) для кривой, заданной неявным уравнением р(х,у)=0. В этой форме необходимого условия точки перегиба обе переменные х и у уже равноправны; эта форма условия совершенно симметрична и можно показать, что она уже не связана с допущением, что су ~ О.
Выражение для кривизны ц а к неявное задание плоских кривых н повеяхноствй 147 (р"-+ ~УЬ. )Р ~в и, наконец, новую формулу для кривизны й= —. р Р'""Ру 2~" ЪРу+РууР' (р;. + руу)"' (3) где + 1 при а ) О, арпа= — 1 прн а(0 (ср. т. 1, стр. 69). Знак кривизны по этой формуле имеет тот же смысл, что и в формуле, из которой она выведена (см. выше). <Если учу=О, то множитель сигнум надо просто опустить, и абсолютная величина кривизны получится правильно. Однако для случая Е„~с О можно вывести соответствующую формулу для кривизны из х" формулы й= , „ , пригодной для кривой, заданной уравне(1+х' ) '- нием х=р(у).
Тогда получится формула (4) По обеим этим формулам кривизна получается положительной, если кривая обращена вогнутостью вправо, и отрицательной, если она обращена вогнутостью влево.) Для координат (1, т)) центра кривизны получаются следующие 11 выражения (в которых р= — ц а1' рх(рз+ рр) Е=-х+р — х ~ р'! )'ря+ Г; 1 где р = — определено по формуле а т1 =У+ р —; —,—, У (4) и ру (рй + ~ у) Р'„„Ру; — 2ГлуР'„Р' + Р' Р'„' ' 1 ~ле р= — определено по формуле (3). и выведенное в т. 1, стр. 32б„тоже можно преобразовать к симметричному виду,, пригодному для кривой, заданной неявным уравнением тч(х,у)=0. Вспомним, что по этой формуле кривизна л)0, если кривая в данной точке обращена вогнутостью вверх, и л(0, если она обращена вогнутостью вниз.
Заменив у' через — — ", а у"= =у"'(х) выражением, написанным выше, получим 148 гл. ш. постгоянив диеевгвнпнлльного исчисления Если две кривые г»(х,у)=0 н 0(х, у)=0 пересекаются в точке (х,у), то углом между этими привалил называется угол ы между их касательными или между нормалями в точке их пересечения. Возьмем, например, нормальные векторы Ж=(г'х, Я и Ф» —— (0х, 0у). Тогда Д1Д!» Рх0х+ Ру0у (ДГ).
~ Л~» ( ~/ Рх»+ Ру» ~/0х»+ 0»» Полагая в этой формуле ы= —, получаем условие перпендииу- лнрносщи (условне ортогональности) двух кривых: МР,=Р„ах-+ стоу=о. Условие ха»анин двух кривых в их общей точке можно полу- чить либо нз коллннеарности нормальных (или касательных) векто- ров обеих кривых Р„: а„=Р„:0,, либо иа того фзкта, что отношение дифференцнзлов иу: »(х должно быть одинаковым для обеих кривых: йУ: Ь= — Р.„:Р;= — ах:0». Это условие касания можно ааоисать н в следующем виде: »х»у В качестве примера рассмотрим семейство еофохусных парабол у' — 2р (х + Р ) = О, 2) имеющих общий фок1с в начале координат (сделать чертеж; ср. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
