1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Итак, предположение, что теорема ложнз, приводит к противоречию, а следовательно, теорема о покрытии доказана. Упражнения 1. Выпуклую область О можно определить как ограниченную замкнутую область, обладающую тем свойством, что если какие-либо две точки А и В принадлежат области О, то н весь отрезок АВ прннадле»нит О. Доказать след>ющие утверждения; а)«Если точка Р не принздлежит выпуклой области О, то существует прямая линия, проходящая через Р и не имеющая ни одной общей точки с О.
б)* Через всякую точку Р границы выпуклой области О проходит такая прямая 1 (так называемая «опорная прямая»), что все точки области О лежат по одну и ту же сторону от прямой 1 или на самой втой прямой. в) Если точка М лежит на той же стороне от любой опорной прямой, что н точки выпуклой области О, то М тоже является точкой области О. г) Центр массы вып>клой области О принадлежит »той области. д) Если замкнутая кривая не имеет более двух общих точек с любой прямой, то она является границей выпуклой области.
е)* Если кривизна — замкнутой кривой положительна во всех ее точоз ках, то зта кривая образует границу выпуклой области. (Предполагается, что при обходе всей кривой ее касательная совершает полный обороу.) ш а) Если б есть произвольное замни>тое ограниченное точечное мно- жество, то существует «наименьшее выпуклое множество» Е, содержащее 8» т. е. такое множество, которое !) содержит все точки множества 8, 2) содержится полностью во всех выпуклых множествах, содержащих множество 8, и 3) само является вып>клым.
б) Это множество Е можно также описать и следующим путем: Любая точка Р плоскости принадлежит множеству Е в том и только в том случае, если для любой прямой, оставляющей все точки исходного множества б по одну сторону от себя, точна Р лежит на той же стороне. в) Центр мзссы множества 8 принадле«кит Е. ф ш Более подробное исследование понятия предела функции многих переменных Полезно сопоставить между собой различные процессы предельного перехода для функции многих переменных н точнее их охарактеризовать с единой точки зрения, Здесь мы также огрзничимся типичным случаем двух переменных.
1. Двойные последовательности и их пределы. В случае одной переменной мы начали с изучения последовательности чисел а где номер и пробегает всю нзтурзльную последовательность чисел. Для многих переменных столь же важны двойные поеледозатпельноетгг, дополнвния к ГлАВе и т. е. множества чисел а снабженных двумя номерами п и т, которые пробегают, неазвисимо друг от друга, все числа натурального ряда, так что двойная последовательность начинается, например, так: ан, аы, ам, а~а аы авь аьь ам Вот примеры таких последовательностей: 1 1 а а и+ сл ' ле л'+ спе ' и а е— л л+и 1пп ал =й л со о» Так, например, 1пп =О, 1 л „и+т лс со !Ип +, = 11ш ( —,+ — 1=0. л со л ооС И здесь критерий сходимости Коган дает возможность судить о том, сходится ли последовательность илн нет, исходя из ее определения и не нуждаясь для этого в какой-либо информации о пределе.
Для двойных последовательностей критерий Коши. формулируется так: Числовая послгдовательносл ь ал сходится в том и только в том случае, если для любого числа е)0 существует такое число )ч'=1Ч(е), что (а„— а,„~< е, сели только все четыре номера п, т, и', т' превосходят А1. Многочисленные вопросы анализа, касающиеся функций многих переменных, сводятся к возможности разложить тгкой двойной предельный переход на два последовательных .обыкновенных предельных перехода. Другими словами, вместо того чтобы заставить и и т одновременно расти неограниченно, пытаются сначала, оставляя неизменным один из индексов, например т, выполнить предельный переход и-ьсо. Полученный таким путем предел (если он существует), будет еше в общем случае зависеть от т; обозначим его через с' .
Теперь заставим т расти неограниченно и постараемся выяснить, сходится ли l при т-ьсо. Если 1пп ~,„существует, то возникнет вопрос, совпадает ли предел последовательности 1 с искомым двойным пределом, и если да, то г1ри каких условиях. И другой вопрос при Введем следующее определение: Двойная последовательность а„,„стремится или сходится при и-ь оо и т-ьсо к поеделу 1 (двойному пределу), если абсолютная величина разности ( ал — 1( становится меньше любого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа е, коль скоро оба индекса п и т выбраны достаточно большггми, например, оба превышают некоторое число Ф, зависящее только огп е. Этот факт записывают так: Ц в х понятии пэидилл акнкпии многих пивиминных 123 разложении двойного предела на два последовательных простых предельных перехода зависит ли результат от того, в каком порядке совершаются составляющие предельные переходы, т.
е. монгио ли, наоборот, сначала найти !ип ал =Лсо а затеи 1пп Л не рискуя получить другой результат. Для того чтобы ориентироваться в положении дела, рассмотрим сначала несколько примеров. 1 !) Для двойной последовательности ал = , сохраняя т постолы а+гл с янным, получим 1!в ал =1„=О, а затем и Дв Гт=О; тот же реэульл со В са тат получится, если совершить предельные переходы в обратном порядке. л 2) Иначе обстоит дело у последовательности а лт — л+ т — лс ° и Теперь 11в ал =1 =1, так что и 1цп! =!.
Если же выполним прел аа сл-са дельные переходы в обратном порядке, то сначала получим 1нп ал =Ля=О, а затем !!в Ля=О. Стало быть, в этом случае результат двух л со последовательных переходов к пределу зависит от порядка, в котором они выполнены: 11в ( 1пп ал ) ~ 1!в ( 1пи ал ). л са т со К тому же здесь при олновременном переходе л — со и т со двойной предел вообще не существует. Действительно, если бы этот двойной предел существовал, то он должен был бы равняться нулю, так как числа а, можно сделать сколь' угодно близкими к нулю, выбирая л достаточно большим 1 и т=л', С другой стороны, если положить л=т, то ал = —, сколь бы большим ни выбрать л. Сочетание этих двух фактов противоречит допуще- нию, что двойной предел существует.
1 3) Пример-последовательности а показывает, что двойл — в+в 2 ной предел может не существовать даже н в том случае, когда 1пп ( 1'пп ал ) = 1пп ( 1пп ал ), т со л аа л со т со 4) Интересный пример представляет двойная последовательность ал юп л — Здесь двойной предел 1!ш ал существует и равен нулю, так как гл л:а абсолютная величина числителя не может превзойти единицу, тогда как знаме- натель неограниченно возрастает.
Этот же предел получается, если сперва устремить яс — со, так что !пп ал =Ля=0, а затем совершить предель- ный переход л со: 1цп 1,л=О. Но если бы мы пожелали выполнить прел»со дельные переходы в обратном порядке, оставляя сначала т неизменным и увеличивая неограниченно л, то встретились бы с затруднением: 11в ып л л со вообще не существует. В данном случае разложение двойного предела на два последовательных простых предельных перехода возможно только одним из двух способов, 124 дополнвния к глава и СушЕствуюшую здесь ззкономерность можно формулировать в виде следующих двух теорем. П е р в а я т е о р е м а. Если существует двойной предел Ип! а„=(, а простой предел !ип ал =1м существует при веял сь л со ком значении т, то существует также и предел (м при т-1-со, и притом 1ип 1м = Е Если, кроме того, существуетл также и 1пп ал„=Ля при любом значении п, то и Лл при п-ьсо стремится к тому же пределу Е Это можно запнсзть в виде одной формулы 1= Ищ а „= !пп ( Иш ал,„)= 1пп ( Иш а ), лс сс л сс так что двойной предел можно разложить на простые предельные переходы, и -результат не зависит от порядка составляющих пре- дельных переходов.
Доказательство вытекает почти сразу вз определения этих пре- делов. Из сушествовання двойного предела ь' следует, что для всякого л)0 нмеется такое число Л1=Д!(а), что )а „вЂ” ь)(а, как только п и т становятся больше чем Ф.
Оставляя в этом неравенстве т не- нзменным и неограннченно увеличивая п, находим, что ! Ищ а, — 1( = л сл = )!,„— 1~ ~ л. Это неравенство выполняется прн любом положи- тельном а, прн том лишь условии, что т >М(кЛ стало быть, оно равносильно утверждению, что 1йп ( Иш а „) = й Точно таким же л сс л сл способом доказывается и вторзя часть теоремы. Вторая теорема является в некотором смысле обратной по отно- шенню к первой. Она дает достаточное условие эквивалентности двух последовательных предельных переходов двойному пределу.
Эта тео- рема основывается на понятвн равномерной сходимости, которое определяется следующим образом: Говорят, ' что последовательность ал„при п — ь со сходится (или стремится) к пределу 1,„равномерно относительно т, если не только существует при всяком т предел Иш а =гль но, л сл сверх того, для любого сколь угодно малого л)0 можно найти такое число М=са!(а), зависящее талано от а, но не зависящее от т, что ~ ьсл — алас ( с а, коль стсоро п) Ж, л 1 1 Так, например, последовательность ал т (л+ гл) а л+ гл схо! двтся разномерно относительно ю к пределу Г„, = — как ато видно вз лс !с а 2. понятие паедела ч»кнкцнн многих неизменных 12о оценки 1 — стоит только положить дг~ —. $ гл Напротив, последовательность а„ при и со стремится к я+т сзосиу пределу неравномерно (отяосительно а), Хотя при любом постоянном значении и предел !ип а„=( =О, однако сходимость ата неравное»» мерна.
Действительно, при любом наперед заданном и как бы ни было велико значение л, всегда можно найти такие значения т, для которых гл ! алл» вЂ” (л, ! = алл» »1 такие значениЯ ю найдем, РешаЯ УРавнение — ) И и+т лп окажется, что достаточно выбрать т ) —, чтобы а„отличалось от своего предела (ю — О больше чеи на к Вторая теорема. Если последовательность а„при постоянном т стремится и пределу 1пп а „=( равномерно относительно т и если н тому же существует Ип! ( =(, тогда сул»»» ществует и двойной предел Иш а„и имеет то же самое вна- ление й !пп ( Ип! а„)= Изп а Если при этом известно, что и Ищ а.„=1„существует, то (на основании первой теоремы) порядок предельных переходов можно изменить. Докззательство приводится тем же путем, что и для первой теоремы, с помощью неравенства ( а „ — 7( ~ !а „ — у,„) + (7„, — ь'1; мы предоставляем его читателю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
