1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Например, все точки замкнутой кривой или поверх. ности образуют замкнутое множество. Точная верхняя граница расстояний между всевозможными парами точек множества называется поперечником или диаметром этого Н$. дополнвний к гллвй и множества.

Если множество является замкнутым, то эта точная верхняя граница действительно достигается для некоторой пары точек множества. Отметим еще следующий факт. Если точка Р не принадлежит замкнутому точечному множеству М, то существует положительное кратчайшее расстояние от этой точки до множества М, т. е. множество М содержит такую точку Я, которая удалена от Р на расстоянии меньшем (или по крайней мере не большем), чем любая другая точка множества М. Опираясь на эгот факт, можно доказать, что замкнутые области, определенные на стр. 57, являются фактически замкнутыми точечными множествами в смысле данного здесь опрелеления. Действительно, пусть С есть замкнутая кривая, а В есть та замкнутзя область, которая состоит нз всех точек, лежащих внутри кривой С, и из всех точек самой этой кривой. Требуется доказать, что все точки сгущения области В принадлежат ей самой.

Предположим противное, а именно, что область В имеет точку сгущения Р, ей не принадлежащую. Тоглз точка Р не лежит на кривой С н нзходится вне ее, так как, в противном случае, она принздлежзла бы области В. Стало быть, на основании формулированного выше факта существует положительное наименьшее расстояние точки Р от кривой С (ибо последняя составляет замкнутое точечное множество). Построим круг с центром в точке Р радиусом меньшом, чем наименьшее расстояние точки Р от кривой С. Все точки этого круга лежат вне кривой С и, слеловательно, ии одна его точка не принадлежит замкнутой области В.

Но мы предположилш что Р является точкой сгущения области В, так что построенный нами круг должен содержать бесконечно много точек области В. Таким образом, предположение, что замкнутая область В имеет точку сгущения, ей не принадлежащую, приводит к противоречию, а это и доказывает наше утвержление. Как рзспространить это прелложение на замкнутые области, ограниченные несколькими замкнутыми кривыми, очевидно. Важное свойство замкнутых множеств содержится в теореме о стязивающихся последовательностях замкнутых множеств: Если дана последовательность замкнутых множеств Мп М„ М,, ..., каждое пз которых содержится в предшествующем множестве, то существует такая гпочка ('., и), которая принадлежит всем этим множествам.

Выберем в каждом из множеств М„по точке Р„. Последовательность точек Р„должна солержагь либо бесконечное число повторений одной н той же точки, либо бесконечное число различных точек. Если точка Р повторяется бесчисленное множество раз, то оно принадлемит всем нашим множествам; в самом деле, если М„ есть тобое вз этих множеств, то точка Р несомненно принадлежит некоторому множеству М„„ номер которого пг ) и, так что Мяч содержится в М„. Если же существует бесконечно много различных точек Р„, то на основании принципа точки сгущения последовательность з и пгинцнп точки сггщвння точек Р„должна иметь точку сгущения Р(с, т).

Эта точка Р непременно принадлежит всем множествам М„. Это следует из того, что при т)п точка Рм принадлежит множеству М„(ибо Рт есть точка множества М которое само содержится в М„). Поэтому точка Р(?, ц) является точкой сгущения последовательности точек Рм множества М„, а так как М„есть замкнутое множество, то Р(?, ц) принадлежит М„. Стало быть, существует точка, принадлежащая всем множествам М„, и наша теорема доказана. Сделанное з условии теоремы предположение, что множества М„замкнуты, существенно, кзк показывает следующий пример.

Пусть миожесг- 1 вами М являютсз промежутки Осхе —, Каждое из этих множеств 'сол л' держится з предыдущем, однако ие существует точки, принадлежащей всем этим множествам. Депсгзительио, точка х=о ие принадлежит ни одному из множеств М„, если же х)0, го зта точка ие принадлежит тем множе- 1 стзам М„, для которых -- (х. и Множество называется открытым, если для каждой его точки существует некоторый круг с центром в этой точке, содержащийся полностью в данном множестве. Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат множеству.

Связное открытое множество нааывается открытой областью. Примером открытой облзсти может служить множество всех точек, лежащих внутри любой замкнутой кривой, или множество, состоящее из всех внутренних точек круга, зз исключением всех точек одного из его рздиусов. Точки сгущения открытой области, которые сами не принадлежат этой области, называются ее краееымп или граничными точкалщ. Множество краевых точек открьпой области 0 нзаывается ее границей или контуром. Граница С области О является замкнутым множеством.

Наметим доказательство этого утверждения. Всякая точка сгугцения Р границы С ие принадлежит открытой области О, так как любая точка последней лежит в круге, состоящем только из точек области О и ие имеющем поэтому общих точек с контуром С.?1о точка Р является также точкой сгущения области О, так как на С можно найти точку Я, сколь угодно близкую к Р, а в О можно найти точки, сколь угодно близкие к Я.

Следовательно, Р принздлежит границе С. Если к открытой области присоединить все ее краевые точки, то получится замкнутое множество. В самом деле, всякая точка сгущения полученного множества является либо точкой сгущения контура С и принадлежит этому контуру, либо точкой сгущения для 0 и принадлежит области О или ее контуру С. Такие замкнутые множества называются замкнутыми областями; для наших целей они особенно полезны.

дополнения к ГлАВе и В ааключение определим окрестность точки Р как любую открытую область, содержащую эту точку. Самыми простыми видами окрестности точки Р(Е, т[) являются круговая окрестность, состоящая из всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству (х — Е)Я+ (у — ![)ь ( дь, и квадратная окрестность, состоящая из всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенствам 1х — Е1< д и 1у — я[1(д. 3.

Теорема Гейне — Бореля о понрытин. Еше одно следствие принципа точки сгущения предстзвляет теорема о покрытии Гейне — Бореля, полезная для многих доказательств и более тонких исследовзний. Если каждой точке ограниченного замкнутого множества М отнесена некоторая окрестность втой точки, например круг или квадрат, то из всех этих окрестностей можно выделить конечное их число таким образом, что они полностью покроют множество М. Это утверждение означает, что всякая точка множества М принадлежит хотя бы одной из конечного числа выделенных окрестностей. Доказательство получается почти непосредственно из теоремы о стягивающейся последовательности замкнутых множеств путем умозаключения от противного.

Предположим, что теорема не верна, т. е. множество М не покрывается конечным числом наших окрестностей. Множество М как ограниченное лежит в некоторою квздрате (г. Квадрат [ч мы разобьем на четыре равных квадрата. По крайней мере в одном из этих равных квадратов и на его границе лежит такая часть множества М, которая не может быть покрыта конечным числом окрестностей, ибо если бы каждая из четырех частей могла быть покрыта таким путем, то и само множество М оказалось бы покрытым.

Эту часть множества М обозначим через Мь и сразу видно, что М,— замкнутое множество. Теперь разделим квадрат, содержащий М!, на четыре равных квадрата. Тем же рассуждением обнаружим, что часть М, множества М„лежащая в одном из этих квадратов илн на его границе, не может быть покрыта конечным числом окрестностей. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств Ми М„ М„...; каждое иа них содержится в квадрате, сторона которого стремится к нулю, и нв одно из них не может быть покрыто конечным числом нзших окрестностей.

По теореме о стягивагощейся последовательности замкнутых множеств, существует точка (г(Е, т[), принадлежащая всем этим множествам, а следовательно и множеству М. Точке (,[ соответствует, соглзсно условию теоремы, одна из наших окрестностей, которая, очевидно, содержит малый квадрат, окружающий точку Я. Так как любое М„содержит точку Я и само содер- й з к понятии пзвдвлл функции многих пвзвмвнных 121 жится в квадрате со стороной, стремяшейся к нулю, то все М начиная с некоторого номера, полностью лежат в малом квзлрате вокруг точки Я и, стало быть, покрыты одной лишь окрестностью из всего нх множества, а это противоречит полученному выводу, что ни одно из множеств М„не может быть покрыто конечным числом этих окрестностей.

Характеристики

Список файлов книги