1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 21
Текст из файла (страница 21)
и Р„, г . Однако для краткости часто пользуются более простыми обозначениями и, а, ..., и„, ттл во всех случаях, когда не опасаются недоразумений. Показ<ем ив примере, что лнффереяцирование какой-либо величины получает совершенно различный смысл, смотря по характеру функциональной зависимости межлу,нею и независимыми переменными, и результат дифференцирования по одной и той же переменной зависит от того, какие в а.
сдожныи нкнкции лругие величины (в качестве независимых переменных) сохраняют при этом постоянные значения. Величина я=а+я=У(В ч) при «тождественном» преобразовании Е = х, Ч =у переходит в функцию и = 2х+у; следовательно, и = 2, и = !. Если же мы вместо этого совершим другое преобразование 1=-х (как в перный раз) и Ч= — х+ т, то и =х+ Г, откуда их= ! и и,= 1. Стало быть,. лнфференцированне по одной и той же независимой переменной х= 6 привело к различным результатам. Уп р аж ненн я 1. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности второго порядка ах' + Ьу' + сгт =я 1 а точке (х„ у„ г,) этой поверхности.' 2. Показать, что если и = и (х, у) есть уравнение конической поверхности, то и удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными нроизводнымн ихки у — (их„)»=0.
3. Доказать, что если функция У(х) непрерывна на отрезке [а, Ь[ и имеет производную а интервале (а, Ь), то производная от функции [у(х) х ! к (х) = ~У(а) а ! У(Ь) Ь ! обращается в нуль при некотором значении х, лежащем л«ежду я и Ь. 4.
Доказать теорему: если элементы определителя третьего порядка являются функциями переменной х, то производная опрелелителя пах равна сумме трек определителей, каждый из которых поаучается нз данного определителя дифференцированием по х одной из его строк. Формулировать н доказать аналогичную теорему для определителей второго и четвертого порядка. 5. Вычислить д» а+х Ь с — е+х у' Дх«И И+ 6.
Доказать, что у, (х) у» (х) у» (х) у,' (х) д (х) у» (х) дх ду дг д«(У) д» (У) Я«У) = Я«(У) д» (У) Е» (У) И, (г) И, (г) И, (г) И; (г) И» (г) И; (г) 7. Пусть функция У(х, у, г) зависит только от г=Р«хг+ут+гт, т. е. у(х, у, г) =а(г). а) Вычислить Ухк+Ууу+Ук б) Доказать, что если У(х, у, г) =я(г) удовлетворяет уравнению Лапа леса Ухх+Ууу+укг=б то У= у(г) =- — + Ь, где а и Ь вЂ” постоянные. 8. Функция У(хн х„..., х„) =д(г), где г=ргх[+хг«-)-.„+х», Вы числить «Х«К«+ ~К Хг+"'+»Х Х 9. Если У(х». Хм ° хл) =а(г) (см. упр.
8) удовлетворяет уравнению Лапласа 96 гл. и. вкнкцнн многих пвнвмвнных и нх пяоизводныв [1 то л(г) = — „, +Ь при и) 2 и л(г) =а1пг+Ь прн и = 2, где а и Ь вЂ” по- а стоянные (Ср, выше упр. 7б и упр. 2, стр. 73). 1Оь. Преобразовать дифференциальное выражение Лаплзеа г'„»+тут+ +у к полярным координатам в пространстве (сферическим координатам), т. е. ввести вместо х, у, з новые переменные г, 0, ч с помощью формул у=гь1паэ!пт, е=гон0.
х = Г Бш 0 соз т, (Ср. с упр. 7а.) 11. Доказать, что ныражение у„«+у сохраняет свой вид прн повороте системы координат на любой угол. 12. Доказать, что при линейном преобразовании х = «1+ ать у = 70+ ач вторые производные г"„х(х, у), г (х, у), У (х, у) преобразуются соответственно по тому же закону, что и коэффициенты а, Ь, с миогочлена ах'+ + 2Ьху+ су'. ф 6. Теорема о среднем значении и формула Тэйлора для функции многих переменных 1. Постановка задачи и предварительные замечания. В первом томе (гл. Ч1, й 2) мы научились аппроксимировать функцию одной переменной, имеющую производные до и+ 1-го порядка включительно, в окрестности данной точки многочленом, который мы назвали алироисижирующи и многочленож Тэйлора, То приближение с помощью линейной чзсти функции, которое дает дифференциал, является лишь первым шагом к этому более точному приближению, точность которого возрастает с возрастанием и.
Можно теперь попытаться и функцию многих (например, двух) независимых переменных приближенно представить в окрестности данной точки' многочленом степени и. При подходящих обозначениях вопрос сводится к тому, чтобы при любом п найти для У(х+ут, у+А) «аппроксимирующий многочлен Тэйлора» степени и относительно приращений (т и А с коэффициентами, ззвисящими от выбора постоянной точки (х, у). Простая мысль дает возможность привести эту задачу к соответствующей уже решенной зздаче для функции одной переменной. Введем вспомогательную переменную 1 и вместо функции у (х+ )т, у + Ь) исследуем выражение Г(1)=Х(х+Ы, у+И) как функцию от одной независимой переменной 1, считая временно х, у, Ь и А постоянными. При изменении 1 от О до 1 точка (х+И, у+И) пробегает прямолинейный отрезок от точки (х, у) до точки (х+Ь, у+Ь).
Сначала вычислим производные функции Г(1), Предполагая, что все частные производные от функции у(х, у), которые понадобятся 21 а а. теоивмл о с»вднвм значении н «го»мела тэйлоил 07 ниже, непрерывны в некоторой области, содержащей упомянутый выше отрезок, получим по правилу цепочки ($ 5, п' 3) д+ д' г д'У, дгУ а д'У Р" (С)=Ь' — + 2ЬЬ вЂ” +Ь' —, дх' дх ду ду" И вообще, пользуясь методом полной индукции, получим для производной порядка и следующее вырзжение: ги( 1(1)=Ь |„+( ) Ь Ь~„-ге+(, )Ь Ь г» вЂ” гуг+...+Ь У»и, которое, как и формулу для и-го дифференциала на стр.
84, можно записать символически в следующем виде: ( д + ду) Скобки в правой части надо раскрыть формально по формуле бинома Ньютона, а полученное развернутое выражение «помножить» затем почленно на г, Члены полученного разложения будут содержать производные и-го порядка — „д „,, д „, „и т.
д. Во всех этих производных следует в качестве аргументов писать вместо х и у величины х+И и у+И. 2. Теорема о среднем значении. Исходным пунктом для построения искомого аппроксимирующег о многочлена послужит игеорема о среднем значении, зналогичная уже известной нам теореме о среднем значении для функции одной неззвисимой переменной.
Эта теорема связывает приращение Дх+ Ь, у+ Ь) — у (х, у) с частными производными г„и у . Прн выводе формулы, выражающей эту теорему, мы определенно предполагаем, что этн частные производные непрерывны. Применим известную нам теорему о среднем значении к функции одной переменной гч(1) для интервала от О до Ь ( г ) р ( О ) () где 8 есть какое-то промежуточное число между О и 1. Подстзвив сюда выражения функции р(г) и ее производной ги'(г) нз и' 1, получим У(х+И, у+И) — У(х, у) =- ЬУ'„. (х + ОИ, у + 8И) + ЬУу (х + гОЫ, у + ОИ). Полагая здесь 1= — 1, получим следующую формулу, выражающую елеорему о среднем значении длл функции двух переменных: /'(х+ Ь, у + Ь) — 1(х, у) = Ц„(х + ОЬ, у )- ОЬ) + Ц (х + 8)п у+ 8Ь) = =- ЬГ", (О, 1) + Ьгу (О, г)), и к» 98 гл.
и. втнкции многих пвввмвнных н их пяоизводныв 1а Словесно теорему можно формулировать так: Приращение функции 1"(х, у) при переходе от точки Р(х, у) к точке Я(х+», у+») равно полному дифференциалу функцшь в некоторой промеэкуточной точке (1, т1) прямолинейного отрезка РО, Подчеркиваем, что прн определении промежуточных значений обеих переменных х и у кзк з Тл, так и в Тэ зсе четыре раза участвует одно и то же значение 8 (0(9(1). Из теоремы о среднем аначении вытекает, в качестве простого следствия, такая теорем а: функция Т(х, у), частные производные которой ~„и Т„в некоторой области всюду существуют и равны нулю, есть постоянная.
В самом деле, прн выполнении этих условиЯ правая часть формулы, выражающей теорему о среднем значении, обращается в нуль; стало быть, Дх+», у+»)=Т(х, у) при произвольных значениях» и», так что функция имеет всюду в рассматриваемой области одно и то же значение. Обратно, если функция Т(х, у) сводится к постоянной, то обе ее частные производные У'„н ~' всюду существуют и равны нулю.
Следовательно, обращение а нуль производных Х„н Т является необходимым н достаточным условием .постоянства функция Дх, у) в данной области. 3. Формула Тэйлора для функции многих переменных. Напишем для той же функции Р(1) формулу Тэйлора 1т. 1, формула (В) на стр. 369) с остаточным членом Лагранжа (т. 1, стр.
372), а затем положим 1= 1; тогда получится формула Тэйлора для функции двух переменных К(х+», у+»)=у(х, у)+(»7'„(х, у)+»у (х, у)) + + 21 (» Тех (х~ У) + 2»»усу (А У) +» "Ууу (х~ У)) + ° ° ° ...+ —,(»"Т» (х, у)+(")»" '»~~~- (х, у)+...+»"Д~,(х, у))+я„ с остаточным членом, записанным в символическом виде д„= ',1(»д— +»д— 1" 'Т(х+6», у-1-6»), О<-6(1. Формула Тэйлора прелставляет приращение Дх+», у+») — Т(х,у) в виде суммы однородных многочленов первой, второй, ..., и-й и (и + 1)-й степени относительно » и ». Первые и многочленов (если 1 1 11 опустить множвтелн —, —,, ..., — ) совпадают с дифференциалами функции Дх, у) первого, второго, ..., и-го порядка в точке (х, у): йг = Ьт, +»гю У~=(» — +А —.) Т(х, У)=»'У„,+2»Цэ+»аУ», йя~ (» д +й д)'"'у( )»ьу ~ (п)»ь ьц + ~ »~у з) в а. твоввма о сявднвм знлчвннн н воямтлл тэйлоял 99 а многочлен (и+1)-М степени, фигурирующий в остаточном члене (, ( +1)' 1 без множителя 1,), есть полный дифференциал (и+ 1)-го по(и+ 1)1 рядка с(зг'у в промежуточной точке ((, т1) прямолинейного отрезкз, соединяющего точки (х, у) и (х+ й, у+ й).
Поэтому можно формулу Тэйлора переписать в следующем более-сжзтом и легче обозримом виде: дх+ й, у+ й)=дх, у)+ 4~(х, у)+ —, г)адх, у)+... ...+ — „', б"Лх, у)+)~. где )2„= — д"+гДх+Ой, у+Ой) (0(О(1). При этом, вообще говоря, порядок малости остаточного члена выше порядка малости последнего известного точно члена Ыху(х, у), т. е. при й-г-О и й-ь 0 будет Ус„=о(()У й'+ йа) ]. В теории формулы Тэйлора для функции одноМ переменноп важную роль играл предельный переход н -~ оо при условии, что он влечет за собой Я„ -+-О.
В этом случае получался бесконечный ряд Тэйлора, которын дает возможность разложить в стеленноМ ряд обширный класс функций одной переменнон. У функции многих переменных такой метод является в обгцем виде слишком сложным. Здесь мы еще в большем степени, чем для функции одной переменном, подчеркнем главным обрззом тот фзкт, что формула Тэйлора пРедставляет приращение Дх+ й, у+й) — у(х, у) функции у(х, у) в виде суммы дифференциалов различных порядков г(У, еГаТ, ...
Упражнения 1. Найти многочаеи второй степени, дающий наилучшее приближение к функции у(х, у) = апх ип у в окрестности изчала координат. 2. Доказать, что функцию е У +т"У можно разложить в ряд вила я з сходящийся нри всех значениях х и у, и что а) все Н (х) являются многочаенами степени л (это тзк называемые мяогочаены Урмита); б) Н„'(х) = 2лН„, (х) при н~1; з) Н„,(х) — 2хН„(х)+ 2пН, (х) =О при и) 1; г) Н„" (х) — 2хН'„(х) + 2нН„(х) = О при п ~ О, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
