1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти ряды Тэйлора для следующит ф>икциз н выяснить область ик пригодности: а) 1 б) е~у. 1 — х — уг 1ОО гл. и. эгнкцин многих пзавмвнпых н нх пэонзводныв В 7, Применение векторных методов Многочисленные факты и соотношения дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных значительно выигрывают в прозрачности и простоте, если применить к ним понятия и обозначения векторного исчисления. Поэтому мы в заключение этой главы добавим еще некоторые исследования относящихся сюда вопросов. 1.
Векторная и скалярная функция точки — векторное н скалярное поле. Шаг, связывающий векторное исчисление с нашей темой, заключается в следующем. Вместо того чтобы рассматривать, как в главе 1, один-единственный вектор или несколько постоянных векторов, мы исследуем векторное многообразие, ззвисящее от одного или нескольких непрерывно изменяющихся пзраметров, 1векl 1' торные и скалярные функции 1 1 1 1 г ~ ,, а г точки).
~ г / 1 Рассмотрим, например, веще-' ство, заполняющее некоторую область пространства и находящееся в состоянии движения. Тогда в заданный момент времени движущаяся материя имеет в кзждой точке определенную Рис, 25. скорость, представленную вектором и. Принято ~оворить, что эти векторы и образуют векторное ноле в рассматриваемой области. Переменный вектор и называется векторолг поля. Он представляет собой векторную функцию от вектора положения, т. е.
радиус-вектора г переменной точки области (поля) и=и(г), а три координаты вектора поля предстают перед нами как три функции и,(х, у, г), пя(х, у, г), п,(х, у, г) от трех координат точки наблюдсниа На рис. 25 в качестве примера векторного поля изображено поле скоростей твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа.
Силы, действующие на точки движущейся в пространстве мзтерии, тоже образуют векторное поле — силовое поле. В качестве примера силового поля можно привести поле силы притяжения, с которой материальная точка действует по закону тяготения на единичные точечные массы. Согласно закону Ньютона, все векторы этого силового поля направлены к притягивающей точке, а их модули э т. пРиминвнив ВектОРных мвтодОВ обратно пропорциональны квадрату расстояния точки приложения от притягивающей. точки.
Если путем повОрОта дЕкэртпвой прямОУгольной системы коорДинат перейти к новой системе, то все векторы поля будут иметь новые координаты по отношению к новой системе осей. Если новые координаты точек 1, 4, ( связаны с их старыми координатами формулзми преобразования (гл. 1, $ 1, и' 4) 1= аэх+ ЬУ+ Тэ«, э1 ="эх+ РХУ+ Тэ» С =аэх+ РВУ+ Тэ» и вытекаюцшми отсюда обратными формулами х = аээ + аээ1 + аэс, У = Р 1+ Ргй + Рэг, = Тэ( + Тэ'4 + Тэс, то новые координаты вектора поля ээь эээ, мэ связаны с его старыми координатами иэ, иэ, иэ формулами преобразования см.
гл. 1, $1, стр. 21) ач =айээ+ Р,иэ+ Т,иэ, ыэ =аэгб+ Рэиэ+ Т,и„ мэ = аэиэ + Рэиэ + Тэиэ и, обратно, иэ = аэ РЧ + аэЭЭэ + аэыэ, иэ=р1эч+ рэмэ+ рээээ из= Тэач + Тээээ+ Тээ1э. Лля заданной точки поля при повороте системы координат не изменяется ни ее радиус-вектор г, ни соответствующий этой точке вектор поля и, причем сохраняется векторная функциональная зависимость между ними: и = и(г), но три функции и,(х, У, »), и,(х, У, «), иэ(х, Ую ») заменяются тремя новыми функциями и~(1, Ъ (), 'мэ(1, ть С), мэ(э, ~Ъ 0 Последние трн функции (в новой системе координат) получаются так: в первые три функции подставляют выражения х; у, » через .", Т), Ь, а полученные три выражения подставляют вместо иь иь и, в фоРМУлы (см. Выше), выРажающие чеРез них новые кооРдинаты мь ыэ мэ вектора поля.
102 гл. и. фкнкции многих пвгвмзнных и их пвоизводныв !а В рассмотренных выше примерах векторное поле и=и(г) задано с самого начала, а тем самым определены координаты вектора поля в любой системе декартовых прямоугольных координат. Обратно, если в некоторой выбранной системе координат х, у, г заданы три функции иг(х, у, г), ггя(х, у, г), иь(х, у, г), то они определяют в этой системе коордимат векторное поле и=и(г), в котором вектор поля и имеет такие координаты; координаты ь1, вектора и в другой системе координат ч, ч1, с вычисляются по данным выше формулам преобразования. Если в физических приложениях кзждой точке некоторой пространственной области 0 отнесено определенное значение величины и, например плотность зешестза в этой то .ке, так что в 0 задана одна-единственная функция и=у(х, у, г)=Г(г), причем -т1 величина и является не координатой вектора, а такой величпнсй, которая сохраняет свое значение при изменении системы косрдинат, то эту функцию называют скалярной функцией точка Говсрят также, что в области 0 задано скалярное поле.
Так, например, во всяком векторном поле и=и(г) величина )и)ь=ы(-~-п$+пч явшгется скалярной функцией точки: она ведь равна квадрату модуля вектора поля, а стало бытгч не зависит от выбора системы координат. 2. Векторная функция скалярной переменной и ее производная.
Наряду с векторными и скалярными функциями векторного аргумента (векторными и скалярными полями) рассматривают также и векторную функцию скалярной переменной, т. е.' многообразие вли семейство векторов, зависяшее от одного параметра г; записывают это так: и= и(Г). Если перейти к координатам иь и„, пь переменного вектора и, то последняя векторная функция скалярного аргумента 8 равносильна системе трех скалярных функций Если отождествить вектор и с радиус-вектором точки в пространстве, то при изменении г в интервале 11(С(тя конец рздиус-вектора опишет дугу пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями (1).
!Для векторных функций и(т) вводят понятие предела совершенно так же, как это было сделано для обычной (скалярной)-.функцни одной переменной: Говорят, что переменный вектор (г(Г) стремится к пределу а, когда Г стремится к йь если для любого положительного числа а существует такое положшпельное Число 3, что неравенство )1 — гь((д влечет за собой неравенство ) и(С) — а)(а. Записывают это так: !1ш и(!) = а или и(Х) -+ а при С -+ сь ь ы На основе этого определения нетрудно вывести правила действий с пределами, анзлогичные обычным, % 7. ПРИМЕНЕННЕ ВЕКТОРНЫХ МЕТОДОВ Тзк, предел постоянного вектора равен ему самому. Далее, если при 1-« 1« дано, что и(1) -+ а, е(1) -«Ь, е(1) -«ю то и(1)+е(1)- а+Ь, е(1)и(1)- вг« скалярное произведение и(1)е(1)-+аЬ, векторное произведение [и (1) е (1)» -+ [аЬ».
Доказательства предоставляем читателю. Из правила вычисления предела скалярного произведения выведем следующую теорему: предел проекции в~ктора и(1) на постоянную ось равен проекции предела на ту оке ось. Действительно, пусть с' — единичный вектор оси, а йю и(1)=а. Тогда при пр, и(1)= ы =с'и(1) — «с'а, т. е. проекция вектора стремится к проекции его предела нз данную ось. Так как координаты вектора — это его проекции иа оси координат, то по — — е;и, где ег (1=1, 2, 3) — орты осей.
Поэтому пределы координат переменного вектора и(1) равны соогпветствуюгцилг коордггнаталг предела ветлора, т. е. утверждение: при 1-«1о и (1) = (гц (1), ого (1), ого (1)» -«а = (а„ао, ао» равнозначно утверждению и, (1)-+ аь п,(1) — «ао по(1)-+ ао. Векторные функции скалярной переменной 1 можно дифференцировать по этой переменной. Для этого вводят определение производной и'(1) от векторяой функции и(1) с помощью знакомого нам предельного перехода дп „,, а(1+«) — и(е) — = и' (1) = 1ип до «-о при том условии, конечно, что этот предел существует.
Из определения видно, что производная и'(1) есть тоже вектор, являюгцийся функцией той же скалярной переменной 1. Нетрудно доказать, что координаты производного вектора и'(1) равны производным от одноименных координат исходного вектора: если и(1)=(гц(1), и,(1), гго(1)», то и'(1)= (гг1 (1), ио(1), ла(1)».
Столь же нетрудно доказать, что для векторных функций скалярной переменной справедливы знакомые нам прзвила дифференцирования н некоторые вм аналогичные. Так, производная постоянного вектора равна нулю. Далее, для векторной суммы те=и(1)+е(1) имеем те' = и'(1)+ е'(1). 104 гл. и. агнкции многих па»змеиных н их пеоиэводные 1» Для проиэведсния скалярной функции у(«) на векторную и(«): если св(«)=»»(«)и(«), то тв'Я= р'Я и Я+а(«) и'Я (чи)'= в'и+ ри'. или Скалярное произведение двух вектор-функций и(«) в о(«) уже является обычной, т, е. скалярной функцией от «, в ее производная вычисляется по формуле а' (ив) Ли = - — о+ и — „или (ио)'= и'о+ ио'. Векторное произведение [и(«)о(«)] дифференцируют по формуле — [ио] = ~ — „, о~ + [и — ~ или [ио]' = [и'о] + [ио'].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
