1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассмотрим четыре точки: (х, у), (х+ Й, у) (х, у+й) и (х+й, у+й), где й ~ О и й ~ О. Если (х, у) является внутренней точкой области О, то при достаточно малых й и и все зти четыре точки, а также весь определяемый ими прямоугольник лежат внутри О. Составим теперь выражение А=У(х+Ь„у+А) — У(х+Ь, у) — У(х, у+Я)+У(х, у). Введя вспомогательную функцию в(х) =Дх, у+ я) — У(х, у) от одной переменной х, в которой рассматриваем у только как «параметр», приводим выражение А к следующему виду: А = и (х+ й) — у (х). К правой части применяем теорему о среднем значении: А = Ьр'(х+ 6й), где 6 лежит между О и 1. Но '6'(х)=у.(х, у+й) — Л(х, у) и так как мы предположили, что смешанная вторая частная производная у существует, то можно вновь применить теорему о среднем значении: р'(х)=чу.,(х, у+6Ъ), О<, 6 <- 1.
Теперь для А получается выражение А=Щ (х+6Ь, у+6'й), где 6 и 6' означают какие-то два 'числа между О и 1. Однако с таким же успехом можно исходить иа другой вспомогательной функции (на этот раз — от у) 6(у) =Дх+ й, у) — Д(х, у), з) 6 в. чдстныя пвонаводныя от о»нкцнн многих ппввмвнных 71 рассматривая х как параметр. Теперь выражение А запишется тато А = Ф (у+ Ь) — Ф(у). Действуя таким же путем, как и раньше, после двукратного приме- нения теоремы о среднем значении придем к равенству А=ЬЬ»»„(х+ЕтЬ, у+В;Ь), где 0(втс '1 и 0(Е;< 1.
Приравнивая оба выражения для А, получаем следующее соот- ношение: У„»(х+ЕИ, у+ВЬ)=У»„(х+В,И, у+Е;Ь). Заставим теперь Ь и Ь стремиться одновременно к нулю; принимая во внимание, что частные производные У„»(х, у) и»»„(х, у) непре- рывны в точке (х, у), сразу получим то самое тождество Г,»(х, у)=»»„(х, у), которое требовалось доказать, Для более тонких исследований важно знать, что теорему о переме- стительности порядка дифференцирования можно доказать при более слабых ограничениях. Достаточно потребовать, чтобы существовала одна только из смешанных вторых производных (например, »л») в некоторой окрестности точки (х, у) и чтобы она была непрерывна в самой атой тачке.
Для доказательства исходим из того же выражения, что и выше, А=У(х+И, у+И) — У(х+И, у) — У(х, У+И)+ У(х, у)= =Ф (у+Ь) — Ф(у) делим его на ИЬ и заставляем стпемиться к нулю одно только И. ТогдапраУ» (х+ И, у) — У (х, у) вая часть стремится к пределу — ф'(у) = И И Следо- вательно, А»» (х+ И, у) — »» (х, у) !!ш — = а-оИЬ Ь С другой стороны, выше было доказано, что из одного только предположения, что»л» существует, вытекает равенство — =/л»(х+В/Ь у+0'Ь), где 0(0,6'( !. А Так как мы предположили, что »„.» непрерывна, то при скаль угодно мадом е ) О и достаточно малых |Ь! и !Ь( имеем » „(х, У) — л (/„»(х+ ВИ, У+6'Ь) СУл»(х, У)+а, откуда /» (х + И, у) — У» (х, у) Гл»(А у) — л~ И чяул»(хв у)+л Следовательно, Г»(х+И, у) — /„(х, у) И л а 72 гл.
и. Функции многих пеэеменных и их пэоизводкые (а Так как, по определению производной, предел левой части равен у „, то имеем окончательно тук (Х~ У) =Уху(кю У) Принципиально важно показать па примере, что если условие непрерывности второй производной у илиу „не выполнено, то наша теорема может и не быть спРавелливой, тав что может слУчитьсЯ, что Уху~рук. Такой пример дает функция, упомянутая уже на стр. 61, непрерывная в йачале координат: у (х, у) = ху †, . — с добавочным условием г(0, 0) = О.
х'+у' У этой функции существуют все частные производные второго порядка, но они не являются непрерывными функциями. Мы инеем Ух(О,У)=цшр( 'У ('У = 1нпу, У,= — у, х э т к э х+У г (х,О)=1цп ( 'У) ( ' )= 1сш х —,,=х, х'+у' откуда (О, 0)= — 1, а у к(0, 0)=1. Таким образом, эти два выражения не совпадают, что, согласно нашей теореме, может обусловливаться только раэрызностью функции ук в начале координат. Из теоремы о переместительности порядка диффереицировзпия вытекают далеко идущие следствия. Сразу замечаем, что число отличных друг от друга производных второго н высших порядков от функции многих переменных значительно меньше, чем можно было первоначально ожидать. Предположим, что все последовательно вычисляемые частные производные являются в рассматриваемой области непрерывными функциями от независимых переменных.
Тогда, применяя нашу теорему, виесто функции и=Дх, у), к функциям ссх(х у) с»у(х у) с у(х, у) и т. д., придем к равенствам 1»ху =Лук =.уухх> У»ту Ууку = пуух~ .С уу =уху»у=Х уук =Тулку=»уху» ††»к И т. д. Таким образом, получаем следующий совершенно общий результат: Лрсс многократном дифференцировании функции двух переменных, можно как угодно излсенять порядок дифференцирования, если толысо получаюсциеся производные являются непрерывными фуккцссямц Поэтому, если последнее условие выполнено, функция двух переменных имеет сири различных частных производных второго порядка: лхх~ .с»у~ сулх з) в 8. чАстные пРОизводные От Функции многих пеРеменных 73 четыре различных производных третьего порядка: тххх Ххху Луув Уууу и вообще (и+ 1) различных производных и-го иорядкаг в л ухл вув уха вувв Вхвл вв Вув\ Само собою разумеется, что аналогичная теорема справедлива и для функций от трех и большего числя независимых переменных.
Действительно, наше рассуждение можно применить с тем же успехом к перемене порядка дифференцирования по х и г или по у и х и т. дл ибо каждая перестановка двух дифференцирований производится только по двум независимым переменным. Упражнения 1. Сколько частных производных л-го порядка имеет функция трех персменныху 2. Доказать, что функция 1 р(хо хв, ..., хл) = л — 2 (х'+ х' + ... + х'„) а удовлетворяет уравнению Лаплзса у х +у +...+у, х =О. 3. Рассматривая определитель а, а, ав а = ь, ь, ь, с, с, с, как функцию девяти независимых переменных а„а„ам Зо ..., с„вывести формулы для частных производных этого определителя по своим элементам: да (с ~' да 1с с(''"'дс (Ь Ь 1' Вывести аналогичные формулы для частввых производных определителя четвертого порядка по своим элементам (см.
упр. 4, стр. 40). 4. Для любого определителя третьего и четвертого порядков доказать следующие теоремы: а) Сумма произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) определителя на его соответствующие частные производные по элементам той же строки (того же столбца) ранна значению определителя. б) Сумма произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) определителя на его соответствующие частные производные по элементам другой строки (другого столбца) равна нулю.
74 гл, и. эгнкцни многих пввемзнныт и нт пгоизводные [[ в)л Для определителя й (упр. 3) доказать да да, да дз дЬ, дв д«т дь да да, дат да да ЭЬ! дЬ, дв да д«, дс, Е 4. Полный дифференциал функции н его геометрический смысл 1. Понятие дифференцируемости. Для функций одной переменной существовзние производной теснейшим образом связано с возможностью приближенно выразить функцию й=У(Е), в окрестности точки х, с помощью некоторой линейной функции й=у(Е). Эта линейная функция определяется формулой 7 (Е) = У(х) + (Š— х) У'(х).
или з другой записи т«(х+ Ь) — тл(х) — Ьтт(х) = о (Ь) = еЬ, где е означает число, стремяшееся к нулю вместе с Ь. Величину Ь['(х), «линейную часть прираатеннял функции у(х), соответствующую приращению Ь независимой переменной, мы назвали в первом томе (гл. П, й 3, п' 10) дифференциалом функции г'(х) и обозначили через т[у = [(У(х) = УФ = ЬУ'(х) (а так ке через Ыу=у'ах, так как для функции у=х дифференциал тКу=т(х=[ Ь), Дифференциал является, как мы можем теперь сказать, функцией от двух невависимых переменных х и Ь, причем относительно величины приращения Ь мы не делаем никаких предположений. Правдз, этим понятием дифференциала пользуются только тогда, когда [Ь) настолько мал, что дифференциал ЬУ"(х) представляет собою достаточно точное приближение приращения функцни [(х + Ь) — У(х) для изучаемого вопроса.
Геометрически эта функция выра кает, в текупгих координатах Е и т[, касательную к кривой Ч=.у(Е) в ее точке Р с координатами Е=х и Ч=У(х~ Она характеризуется аналитически тем, что отли. чается от функции У(Е) з окрестности точки Р на величину о(Ь) более высокого порядка малости (стр. 63 и т.
1, стр, 222), чем разность абсцисс Ь=Š— х. Поэтому Ж) — р (Е) = Я) — Х(х) — (Š— х) У'(х) = о (Ь), э ь полный диэввгвнцндл вхнкцни Обратно, вместо того чтобы исходи~ь из понятия производной, можно положить в основу требование, чтобы для функции т)=Я), в окрестности точки х, существовала такая приближенно ее выражающая линейная функция, чтобы разность между данной функцией и ее линейным приближением имела порядок малости более высокий, чем приращение Ь независимой переменной.
Другими словами, мы требуем, чтобы для функции у($) при значении $=х существовала такая величина А, зависящая от х, но не зависящая от Ь, что ~(х+ Ь) — Х(х)=АЬ+о(Ь)=АЬ+ а(г, где я стремится к нулю вместе с Ь. Это требовзние равносильно требовзнию дифференцируемости г(х) при значении х; в качестве величины А нужно тогдз взять производную у'(х) при значении х. В этолг нетрудно убедиться, написав наше требование в форме У(х+ Ь) — У(~) ~+ и переходя к пределу при Ь -л О. Таким образом, дифференцируемость функции одной переменной и возможность ее приближения с помощью линейной функции (в укааанном смысле) являются равно- значащими свойствами.
Если учесть„что А+а=а(х, Ь) как функция от Ь стремится к А (х) при Ь -л О, то придем к эквивалентному определению: функция у(х) называется дифференцируемой в точке х, если у(х + Ь)— — г(х)=Ьа(х, Ь), где а(х, Ь) является непрерывной функцией от Ь в точке Ь = О. Эти понятия можно совершенно естественным путем распространить на функции от двух или многих переменных.
Функция и =у(х, у) называелгся дифференцируемой в точке (х, у), если в окрестности втой точки она может быть приближенно выражена с помощью линейной функции, т. е. может быть представлена следующим образом: У(х+ Ь, у+ Ь) =~(х, у) + А (х, у) Ь+ В (х, у) Ь+ ь Ь+ а,й, где А (х, у) и В (х, у) не зависят от величин Ь и Ь, изменяющихся неаависимо друг от друга, а аг и я, стремятся к нулю вместе с Ь и Ь. другими словами, разность между данной функцией т(х+Ь, у+Ь) в точке (х+ Ь, у+ Ь) и линейной относительно Ь и Ь функцией г(х, у)+АЬ+ВЬ [т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
