1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ряс. 23. Ряс. 24. Рассмотрим, например, функцию и=?(х,у) от двух аргументов х и у и припишем аргументу у определенное значение ул уе†— с. Полученную при этом функцию и=у(х,ул) от одной переменной х можно изобразить геометрически как сечение поверхности н=Д(х, у) плоскостью у =уе= с (рнс. 23 и 24). Эта линия пересечения имеет в плоскости у=ур уравнение и=Дх,ул). Возьмем теперь обычным путем производную по х от функции и =у(х,уе) в точке х=хе (предполагая, что производная существует). Эта производная называется 3 Р. Курант 66 гл.
и. Функцига многих пвявманных н нх пяонзводныв часяеной производной огл Г(х,у) по х в точке (хьуе). Согласно известному определению производной, частная производная по х есть следующий предел: У(ха+ ГЬ Уа) — У(аа Уо) й Бсяи гочка (ха,у,) лежит яа границе области задания функции и =У(х,у), то предельный пароход по Л к яуяю должен совершаться таким образом, чтобы переменная точка (х, + И, у,) яе выходила иэ этой области. Геометрический смысл этой частной производной по х таков: она равна тангецсу угла между прямой, параллельной оси х, и каса. тельной к кривой у = г(х, уе), Стало быть, частная производная по х дает леру яруглизны поверхности и=у(х,у) ло направлению оси х.
Существует несколько различных обозначений для частных производных; укажем самые употребительные из них: Нпт у (х, + Л, у,) — у (хе у,) > =г (хе Уо) =и,(хо Уе) =и'„(хо Уе). ь е л Если желательно, чтобы в самом обозначении оставался след того, что частная производная есть предел отношения приращений, то ее обозначают символом ду д дх — или дх При этом пользуются круглой буквой д вместо обыкновенной првменяемой в обознзчении производной от функции одного аргумента, желзя этим показать, что речь идет о функции от многих переменных, которую днфференцируют по одной из ннх.
Иногда удобно польаовзться символом Р, введенным Коши (о нем уже упоминалось в т. 1, стр. 116), с добавлением индекса, указывающего, по какой переменной берут производную: ду дх но мы будем лишь изредка пользоваться этим обозначением. Точно таким же путем определяют частную производную от у(х,у) по у в точке (хе,уо) соотношением Б У(.ао Уа+Д) У(ха Уа) г ( у) ду Ру(х я-я У е е ду э = пу (хь уо) = агл (хе, уе) Эта частная производная по у дает наклон касательной к линии пересечения поверхности и =у(х,у) с плоскостью х = хо.относительно прямой, параллельной оси у.
Будем теперь рассматривать точку (хе,уе), которая до сих пор считалась неподвижной, как переменную точку и в соответствии с згим опустим индексы О. вкругими словами, будем представлять В а з. члстныв ппоизводныв от ятнкции многих пзввмвнных 67 себе, что дифференцирование выполнено в каждой точке области определения функции Дх,у). Тогда обе частные производные сами окажутся функциями от х и у: и и (х,у) у (х,у) дУ(х, у) м„(х, у) = у (х, у) = Например, функция и=.»'+у' имеет частные производные и„=2х н и =2у, потому что прн дифференцировании по л член у' рассматривается как постоянный я имеет производную, равную нулю, а прн дифференцировании по у член х' имеет производную, равную нулю.
Аналогично, функция и=х'у имеет частные производные и„=3»у к и =х'. Таким же образом дается определение частных производных прн любом числе н независимых переменных ду(хо ха~" хя) р у(х, + И, х„..., хя) — У(х1 ха .-., хл) А = у„(хп хв..., х„) = В„У(хь ха,..., х„), конечно, в предположении, что этот предел существует. Ясно, что можно также составить часгяные производные аисгиах порядков от Дх, у), вновь дифференцируя частные производные «первого порядка» у (х,у) и у (х,у) по каждой ив независимых переменных и повторяя последовательно и дзльше этот процесс. В какой последовательности дифференциру1от по разным переменным отмечают порядком указателей (индексов) илн же порядком символов дх и ду в «знаменателе» слева направо. Таким образом, для частных производных второго порядка установлены следующие символы: д (д ') д'У ду ~дхг дхду — ( — )= — =у".л=у =Ы,у, ,— „(д — „) = — дуд —, = ~';.
=ф.=й,'.Л ) '(д (=Ь у По тому же правилу обозначают частные производные третьего порядка: д'У =„—,,=Гх" =У дл д даУ вЂ” д»аду т»»У вахту да~ = дхд д» =У»У»=Ух>'к и т' д' 3' 68 гл. и. эгнкцин многих пвявмвнных и нх пяоизводныв 1Я и вообще производные порядка хс д [д~- у1 дл/,л1 ду (дхл») дхл 'ду л у л у — — =у л — » =ул-«и т.д. Техника вычисления частных производных не содержит ничего такого, с чем бы читатель ранее не встречался. действительно, согласно определению, надо считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой берется производная.
Поэтому остальные переменные следует рзссматривать как постоянные и выполнять дифференцирование по тем же правилам, по которым дифференцируют функции одного зргумента. Тем не менее читателю полезно изучить примеры вычисления частных производных, данные в главе Х первого тома (стр. 564 и след.). Как и у функций одного аргумента, существование частных производных является специальным свойством функции, которым обладает даже не всякая непрерывная функцию Однако это свойство присуще всем практически важным функциям, за исключением, быть может, в отдельных особых точкзх. Термин «хифференцнруемая функция» будет объяснен з 6 4, и 1; у функций многих переменных он означает боль»яе, чем одно только сущестзозанне чзстных производных. 2.
Существование частных производных по х и по р и непрерывность функции. Мы уже знаем, что у функции одного зргумента из существования производной в какой-либо точке вытекает непрерывность функции в этой точке (т. 1, стр. 122) В противоположность этому уже у функции двух переменных из существования обеих частных производных еще не вытекзет непрерывности функции. Возьмем, например, функцию п(х, у) = „, с дополнительным х" +у' определением и(0,0)=-0. Эта функция имеет всюду обе частные производные. [Во всех точках, кроме начала координат, это вытркает из того факта, что в этих точках знаменатель не обращается в нуль, а в начале координат имеем а-о и, (О, О) = 1пп — ' — ' = 0.~ и (О, Д) — и (О, 0) а о Между тем мы видели (т.
1, стр. 560), что эта функция имеет разрыв в начале координат. Говоря геометрически, существование частных производных ограничивает поведение функции лишь по направлениям оси х и оси у, но не налагает ограничений на ее поведение во всех прочих направлениях. аГ з а. члстныв пгоизводныв от эвикции многих пвявмзнных 66 Итак, существование у функции двух переменных обеих частных производных не позволяет делать вывод, что она непрерывна.
Однако из существования в замкнутой области ограниченных частных производных вытекает непрерывность функции, как показывает следующая теорема; Если функция У(х, у) имеет всюду в области О частные производные ~,(х,у) и г (х,у), удовлетворяющие неравенствам )~„(х,у)((М а )У„(х,у)((М, где число М не зависит от х и у, то з(х,у) непрерывна в обло° ° О. Для доказательства рассмотрим две точки (х,у) и (х+Ь,у+Ь), лежащие в области О. Предположим еще, что оба прямолинейных, взаимно перпендикулярных отрезкз, соединяющих эти точки с точкой (х+Ь, Ь), лежат целиком внутри области О.
Это во всяком случае верно, если (х,у) есть внутренняя точка области О, а точка (х+Ь,у+Ь) достаточно к ней близка. Тогда Дх+Ь,у+ Ь) — У(х,у)= = Ях + Ь, у + и) — у (х+ Ь, у)) + Ях+ Ь, у) — У'(х, у)). Оба члена в первой фигурной скобке правой части отличаются только значением аргумента у, а члены, заключенные во вторую фигурную скобку — только значением аргумента х. Поэтому каждую из этих фигурных скобок можно преобразовать по теореие дифференциального исчисления о среднем значении (т. 1, стр. 130), рассматривая первую из этих скобок как приращение функции одного толькоу, а вторую — как прирзщение функции одного только х.
В итоге получим ~(х + Ь, у + Ь) — У(х, у) = Ь~, (х + Ь, у+ дгЬ) + Ь|„. (х + 9аЬ, у), где 9, и 9,— два числа, лежащих между 0 и 1. вкругими словами, производная по у берется в некоторой точке вертикального отрезка, соединяющего точки (х+Ь,у) и (х+Ь,у+Ь), а производная пох— в какой-то точке горизонтального отрезка от точки (х,у) до(х+Ь,у].
Так как абсолютнзя величина каждой из этих производных, согласно условию теоремы, меньше числа М, то Жх+Ь, у+ Ь) — 1(, у) ~ (М(~ Ь~+ ~ Ь'1). При достаточно малых значениях )Ь! и (Ь! делается сколь угодно малой и правая сторона этого неравенства, а это доказывает непрерывность функции Д(х, у). 3. Изменение порядка дифференцирования. Во всех примерах вычисления частных производных, приведенных в главе Х первого тома (стр. 564 †5), всегда ~„„=~„т; другими словами, для всех рассмотренных там функций безразлично, производится ли диффе- тО гл.
и. втнкцин многих пвеиминных и их паоизводныи ренцироиание сперва по х, а затем по у, или сначала по у, а затем по х. Это не случайное совпадение, а общее свойство обширного класса функций, выражаюпгееся в следуюецей важной теореме: Если «сметанные» втоРме пРоизводнме У„т и Уе«фУнкйии г(х, у) являются в облатии 0 непрерывными фуйкциями отх ссу, то внутри втой области всюду ~~и — Уху другими словами, порядок дифференцирования по х и по у СГевразличен. Локазательство этой теоремы, как и теоремы предыдущего номера, получается с помощью теоремы и среднем значении из дифференциального исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
