1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В первом случае легко показать на примерах, что решение у=у(х) или х=в(у) может и не существовать. Например, параболоид и=ха+уз имеет начальное решение х=О, у=О, но не имеет других общих точек с плоскостью хОу. Еще пример: гиперболический параболоид и=ху имеет начальное решение х =у=О Рис. 23. Рис. 29.
и действительно пересекает плоскость хОу по прямым х=О и у=О (ср. рис. 28 и 29). Но ни в какой окрестности начала координат невозможно представить асю линию пересечения с помощью функции вида у=г(х) или вида х=и(у). С другой стороны, и в этом случае, когда плоскость и = 0 является касательной плоскостью к поверхности в точке, служащей начальным решением, не исключена возможность, что уравнение г'(х, у)=0 имеет решение, как показывает пример нр(х, у)=(у — х)ь=О.
Следовательно, в том случае (его естественно считать исключительным), когда плоскость а=0 является касательной плоскостью к поверхности и =Г (х, у) в точке 136 гл.!и. постРоение лиФФеРенциьльного исчисления !3 (хе~ уе) не представляется возможным высказать заранее определенное общее заключение. Остается еще возможность, что в точке (хе, уе) — начальном решении — касательная плоскость существует, но не совпадает с плоскостью хОу.
Тогда наглядное представление показывает, грубо говоря, что поверхность и=Г(х, у) не может изгибаться настолько быстро, чтобы избежать пересечения с плоскостью хбу в окрестности точки (хь у,) по единственной вполне определенной кривой, и что часть этой кривой вблизи начального решения может быть выражена уравнением вида у =Д(х) или х=у(у» Но утверждение, что касательная плоскость в точке (хь у,) плоскости хОу не совпадает с этой плоскостью, равносильно утверждению, что частные производные ре(хь уе) и !' (Хе уе) не равны одновременно нулю. Этот-то случай мы и рассмотрим аналитически в следующем номере. 3.
Теорема существовании-неявной функции и правило ее дифференцирования. Общая теорема, устанавливающая достаточные условия существования неявной функции и дающая в то же время правило ее дифференцирования, формулируется так: Если функция Е(х, у) имеет непрерывные производные Е„и Г„ и если спичка (хь уе) из области ее определения удовлетворяет уравнению Р(хе, уе) = О, между тем как Р„(хе, уе) ч- 'О, то вокруг точки (х -у4можно выделить такои прямоугольник хе(ха-хе, уг(у(уе, что в интервале хг(х:-хе уравнением Е(х, у)=0 определяется однозначная непрерывная функция у =У(х» значения которой лежат в интервале у! --у (уь Эта функция лринимаегп при х=хе значение уе=Д(хе) и в каждой точке х интервала [хь, хе[ удовлетворяет уравнению Р[х, 7(х)[=0.
Функция у=ДХ) дифференцируема, а ее производная и дифферен- циал выражаются следующими формулами: «йу =йУ(х) = — ' —" йх. Эти формулы выражают правило дифференцирования неявной функции. В этом номере мы будем предполагать, что первая часть теоремы, говорящая о существовании и непрерывности неявно заданной функции, уже докавана, и ограничимся здесь лишь докааательством дифференцируемости функции у = Г(х) и выводом правила дифференцирования. Аналитическое доказательство существования и непрерывности неявной функции мы отложим до пе 6.
Если бы можно было дифференцировать тождество Р[х, г(х)) =0 по правилу цепочки, то сразу получили бы формулы дифференцирования (ср. т. 1, стр, 677). Но так какдифференцируемость функции ДХ) о ь неяВные Функции 137 требуется еще доказать, то мы вынуждены воспользоваться более сложным рассуждением. Согласно условию теоремы, производные Р и Р непрерывны. Следовательно, функция Р(х, у) дифференцируема, и можно написать Р(х+й, у+й)=Р(х, у)+йР„(х, у)+йР„(х, у)+е,й+е,й, где е, и ео — два числа, стремящихся к нулю вместе с й и й или, что то же, вместе с р =)~ йе+ йо. Будем рассматривать только такие пары значений (х, у) и (х+й, у+й), для которых х и х+й лежат в интервале хе(х~хо, причем у=Д(х) и у+й=у(х+й). Лля таких пар значений будет Р(х, у)=О и Р(х+й, у+й)=О, так что последнее равенство примет следующий вид: О = йР„+ йР + егй + еей. Мы уже условились счвтать здесь доказанной непрерывность функции Дх); поэтому при й-» О будет и й-» О, а вместе с ними также е,-»О и е,— » О.
По условию, Р„~эб, стало быть, можно разделить полученное равенство на йР„, что дает а отсюда, переходя к пределу при й -+ О, получим 1пп л + — ", = О. л-о Это равенство и доказывает существование предела у(х+ й) — у (х) Лп Л='1щ й о-о е о т. е. дифференцируемость функции т(х) и вместе с тем дает требуемое правило дифференцирования У=Г(х) = — — ',;". Это цравило можно записать и в таком виде: Р„+Р,У=О, а также в виде ФР=Р„э»х+Р е(у=о. Это равенство, устанавливающее, что в силу уравнения Р(х, у) = О полный дифференциал функции Р(х, у) обращается в нуль, показывает, что по той же причине дифференциалы е(х и Ыу нельзя выбирать независимо друг от друга.
Неявную функцию обычно проще дифференцировать по этому прзвилу, чем путем предварительного нахождения явного выражения функции н прямого дифференцирования этого выражения. Это правило 138 гл, ш. постаовнне днаавввнцнального исчнслвння (4 всегда приводит к цели, когда неявная функция (на основании теоремы этого номера) существует, даже в тех нередких случаях, когда явное выражение функции через обычные (рациональные, тригонометрические и т. д.) практически получить очень сложно, а порою и невозможно. Предположим, что функция Р(х, у) имеет непрерывные частные производные второго порядка.
Тогда можно равенство у'= —— Рк у прзвая часть которого представляет собой сложную функцию от х, дифференцировать по х, пользуясь правилом дифференцирования дроби и правилом цепочки: Ру (Гкк + Гкуу') — Гк (Рук+ Гулу') У вЂ”вЂ” Га Подставив сюда вместо у' ее знзчение — —, получим формулу для Рт' второй производной от функции у=у(х): Г„кР' — 2Г„ Г Гу + Г Г„" У— Га Таким же путем последовательного дифференцирования можно вычислять и дальнейшие производные от функции у=,у(х), заданной в неявном виде. 4.
Примеры. !) Из уравнения зллилеа х' у' Р'(х, у) = — + — — ! =О Ь* нзходим для определенной этим уравнением функции у=у(х) ее производную Г„Ь'х Проверим этот результат. Решая уравнение эллипса относительно у, получим Ь две однозначные функции: у= — 3Гаа — х' для верхней половины эллипса а и у = — — у~аз — х' для нижней половины. Прямое дифференцировенне Ьх дает для верхней половины эллипса у'= —, а для нижней полол Ьга' — х' Ьх Ь'х вины у'= .
Для обеих ветвей у'= — —, а Г'аз — х' аау ' 2) Из уравнения лемниекашы (т. ), стр. 94) Г(х, у) ьи (х'+у')' — 2аа (ха — у') = О нелегко получить явное выражение для у. Имеем Г = 4х (ха+уз) — 4а'х, Ру — — 4у (х'+ ]и) + 4а'у. Прн х=-О и у= — О оказывается Г=О, Г„=О и Г„=О. Следовательно, в начале координат теорема существования не действует, и правило диф- а) 139 4 к ниявныи ьхнкции ференцирования нельзя применить; это можно было ожидать, так как через начало проходят две различные ветви лемнискаты.
Однако для всех точек кривой, в которых уу'-О, имеем Р„~О, и наше правило призожимо. Ддя производной от функции у =/(х) получаем 4х (х' + у') — 4а'х 4у (х'+у') + 4а'у' Из этой формулы можно извлечь важную информацию о течении кривой, и не подставляя в нее явного выражения у через х. Например, максимумы нли минимумы функция у=~(х) может иметь лишь в тех точках, где у'=О, стало быть, либо при х=О, либо там, где х'+у'=а'. Из уравнения лемйискаты видно, что при х=о также н у=о; но в начале координат, р как показывает, например, рнс.
26 лгу (т. й стр. 94), экстремума нет. Под- а вГ ставляя же в уравнение лемннскаты х'+у" =а', получим еще одно уравне- в в ние х' — у'= —. Из этих двух урав- 2' ш ао2 нений определяются четыре точки ч О г (- -) а — а~ — аь 3) ч в -о- — )/3, -в- — ), которые действитель- 2 ' 2)' 2 -а авм но лают экстремумы неявно заданной функции у =1(х). 3) У декартова лаогла Р(х„у) ы : — х'+у' — Заху = О (рис. 30) явное выражение функции было бы чрезвычайно неудобным.
В начале координат, где кривая сама себя пересекает, наше Рнс. ЗО. правило опять неприменимо, так как в этой точке Р= Рк = Р„ = О, главное, Р„ = О, Во всех точках, в которых ув ~ ах, имеем х' — ау у = Р у' — ах' У Отсюда видно, что производная обращается в нуль в тех точках, где х' — ау = О. Это уравнение совместно с уравнением кривой дает одну точку: х = а )/ 2, у= а )/ 4. Испытание этой точки (выяснением знака второй производной у ) обнаруживает в ней максимум функции у =у(х). Б. Теорема существования неявной функции нескольких переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
