1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 36
Текст из файла (страница 36)
37 сразу находим формулы преобразования, выражающие прямоугольные координаты через сферические: х=гз(п8созр, у= гз(п 9з(пу, з=гсоз9. Р чюя эти уравнения относительно г, 9, э как неизвестных, получим ! Рмулы, выражающие сферические координаты через декартовы э г, куРат 162 гл. ш. постговнив дивевввнцилльного исчисления ~а прямоугольные; г = )рсха+уз+ «а, 6 = агссоз )' х'+у'+ г' агссоз при у ) О, )' х'+у' — агссоз " при у(О. 1~ х" +у' х=рсозо, у=рз(п р, г=з; отсюда обратное преобразование агссов Уха + уя при у~ О, при у(0, р= Ух'+уа, х — агссоз Г'ха+у' Таким образом, г==-О, 0( 9~п, — п(ср(я.
1(ля полярных координат на плоскости полюс (начало координат) является исключительной точкой, в которой нарушается однозначность, так как полярный угол делается неопределенным. В полярной системе координат в пространстве вся ось х занимает исключительное положение, ибо во всех ее точках долгота о неопределенна. В начале координзт становится неопределенным еще и полярный угол 9. Сферическая система координат имеет следуюшие три семейства координатных поверхностей: 1) при различных постоянных значениях г — конпентрические шзровые поверхности с центром в начале координат, 2) при постоянных значениях о — семейство полуплоскостей, проходяших через ось з, и 3) при Рис.
38. различных постоянных значениях 3 — конические поверхности вращения вокруг оси г с першиной в начале координзт (точнее, кзждая такая координатная поверхность есть только половина, т. е. одна полость конической поверхности (рис. 38)). Для координации точек в пространстве часто также пользуются и цилиндрической системой координат; ее получают, вводя на плоскости ху полярные координаты р, ~р и удерживая х в качестве третьей координаты. Формулы, выражающие прямоугольные координаты через цилиндрические, таковы: н а а.
систеа!ы Ф»нкций, пРЕОБРАЗОВАНИя и ОТОБРАЖЕНИЯ 163 Координатные поверхности р = сопа1 представляют собой круговые цилиндры с осью а, пересекающие плоскость ху по концентрическим окружностям с центром в начале координат. Поверхности ф=сопаЕ суть полуплоскости, проходящив через ось г, а координатные поверхности з= сова( — плоскости, параллельные плоскости ху. 4. Формулы дифференцирования обратных функций. Во многих практически важных -случаях возможно решить заданную систему уравнений Е=р(х,у), л=ф(х,у), рассматривая х я у как неизвестные (так было в рассмотренных выше примерах), и убедиться, что обратные функции непрерывны и имегот непрерывные производныц В связи с этим, мы покамест будем предполагать, что система функций обратима и что обратные функции длфференцируемы.
При этом предположении можно вычислить производные от обрзтных функций, не нуждаясь в предварительном явном решении системы уравнений, Для этого представим себе, что в данные уравнения Е=У(х У) т)=ф(х У) подставлены обратные функции х=я(Е, я), У=Ь(Е, я). Эти уравнения превратятся тогда в тождества Е = ф Гд (Е, т), Ь Ес, ТЕ)], ч = ф (Е'(Е, ТЕ), Ь (Е, т))], в которых правые части являются сложными функциями от Е и 11. Эти тождества мы продифференцируем по Е и по ть рассматривая их как независимые переменные. В правых частях мы воспользуемся правилом цепочки для дифференцирования сложных функций, и в итоге получим следующие четыре рзвенствз, справедливые при всех значениях Е и ть т.
е. четыре тождества относительно Е и ~Е: 1 =сРлйе+9»)хи О=фсбч+ ф»)гч, О = фаге+ ф»Ье 1 = ф ач + ф»~т Но эти равенства можно рассматривать как две системы уравнений для определения искомых частных производных. Обе системы уравнений имеют общий определитель Г) =ф,ф» — ф»ф„, который мы прел- полагаем не равным нулю. Из первой системы находим л и Ь, ив второй — я„и Ь,: фг РЕ или Е ~, Е, е д' ч Г»' .Ее ~)' Уч Г»' Таким образом, частные производные обратных функций х=е(Е, »Е) и У=Ь(Е, ч) по Е и по гЕ выражены через частные производные исходных функций Е=ф(х,у), 4=ф(х,у) по х и у.
Выражение дЕ дЕ дх ду Г)=Е,.Е» — Е»Ъ= й~ е дх ду 164 гл. ш, постяовнив дисввввнциальиого исчисления )а называется икобианом или функциональным олределишелем системы функций Е=<р(х,у) и т)=ф(х,у) по переменным х и у. Выше, как порою бывало и раньше, мы пользовалнсь краткой записью Е(х,у) и и(х,у) вместо подробного обозначения Е=р(х,у) и т) =ф(х, у), в котором делается рааличие между самими величинами Е и т), с одной стороны, и законами функционального соответствия р(х,у) и ф(х, у) — с другой.
Таким несколько вольным, ио зато более кратким и наглядным обозначением мы будем пользоваться и в дальнейшем, если не будет оснований опасаться недоразумений. В качестве примера рассмотрим выражение полярных координат на илоскости череа прямоугольные координаты ' агстя— У х прн х»0, агсгй — +я при хм=О, у»О, У х Е=г=)гха+у' В=В= (ха + уа о' О) агстй — — я при «~0, У~О. У х Частные производные будут г» гу = У У )уха+у' г )уха+у' У У Вк= — — = — —, ха+ут га' Следовательно, якобиан и частные производные от обратных функций, выражающих прямоугольные координаты через полярные, будут В х уу х = — = — ха= — — = — у, Ю г' г) х -х х'+у' г' (якобиаи).() столь часто встречается, символ д (й ч) д (х, у)' Функциональный определитель что для него ввели специальный сейчас убедимся. Из формул у Е х = —— а) ' л Уч=)) ю в целесообразности которого мы йт е у = —— ч» 1) В этом примере известны формулы обратного преобразования х=гсгмВ, у =г ип В, и, конечно, те же результаты легче получить прямым дяфферен- цированием этих формул.
а а системы вункций, пввовалзования н отовяажвния 166 выражающих частные производные от обратных функций, находим якобиан системы функций х=х(Е,ч)), У=у(Е, я) по переменным Е и тр Еххау 2Еху'Ът(у + Еууч)х чхх чу 2 ЬуЪч)у+ Еуу'Ь Ех хч(у 2Еху'Ь"9у + Еууйх т1 ф — 2Ъ ч)ххЕ +а В ч(у Е„ 'Ъ 1 х ы 1;и ! й~ 1 ы Тем же способом находят и производные третьего порядка и выше, дифференцвруа повторно получающиеся линейные равенства, и на каждой ступени появляется система линейных уравнений с отличным от нуля определителем О. 6. Умножение отображений и преобразований.
Если преобра- зование Е=в(х, у), ч)=ф(х, У) отображает взаимно опнозначно переменную точку (х,у) области 0 па точку ('„ ч) области Г плоскости Ет) и если затем эта область Г д (х у) Ехву — Еуях 1 д (Е~ Ч) д(Е, ч) = еуч чуя Ря й 'д(х, у)' Якобиан обратной системы функций равен обратной величине якобиана исходной системы.
Таким же путем можно вырззить и производные второго порядка от обратных функций через первые и вторые производные исходных функций. Лля этого надо только продифференцировать по Е и по ч) полученные выше (стр. 163) тождества, линейные относительно й, йп йа и Ач, пользуясь правилом цепочки. (Мы, естественно, предползгаем, что исходные функции имеют непрерывные производные второго порядка.) Полученные равенства, тождественные относительно Е и ть будут линейными уравнениями относительно искомых производных второго порядка, которые мы и вычислим из этих уравнений.
д'х д'у Например, для вычисления производных —,=й и — =Ля продифференцируем равенства Еххг + Еууе О Ъхе + Е уе еще раэ по Е; пользуясь правилом цепочки, получим О = Еххх( + 2(хухгуа + Еуур( + Еххее + Еууы О = 'Ъхх( + 2Ъухгуе + 'Еуууе + йхх.. + Еууы. Это система линейных уравнений относительно неизвестных х, иу, причем определитель системы опять равен б и, стало быть, по условию, отличен от нуля. Решив эту систему и подставив затем вместо ха н у~ найденные для них выше значения, получим 166 гл. ш. поствовннв дивввявнциального исчисления ~5 в свою очередь отображается взаимно однозначно преобразованием и=Ф(Е, а), в='Г(Е, в) на область В плоскости ив, то тем самым одновременно возникает взаимно однозначное отображение области О на область В, Это результируЮщее отображение или преобразование называется произведением данных двух отображений или преобразований и выражается формулами и = Ф [ф (х, у), ф (х, у)], в = чг [ф (х, у), ф (х, у)].
Частные производные от сс и е по х и по у легко вычисляются по правилу дифференцирования сложных функций: ди дх Фгф»+ Фчф„ ди — =Фгф +Ф„ф, до дх= гф + чф» ди ду= ГфУ+~чф' Сопоставляя эти формулы с законом умножения определителей (в конце гл. !), находим, что якобиан системы функций и и в по х и у: ди ди дх ду дв дв дх ду Ф Ф„ Ч.' Чг т» фу ф» фу т. е.
якобиан результирующего преобразования равен произведению якобианоа состиеляющих преобразований. Другими словами: при умножении преобразований перемножзются и их якобианы. Символи- ческая запись этого правила д (е, е) д (и, о) д (Е, ч) д (х, у) д (Е, ч) д (х, у) показывает целесообразность нашего обозначения якобиана. В этой записи правило вычисления якобиана результирующего преобразования напоминает правило вычисления произеодной от слозкной функции по производным составляющих функций одной переменной. Если якобианы составляющих преобразований отличны от нуля, то и якобиан их произведения отличен от нуля, В частности, если в качестве второго преобразования взять преобразование х=я(Е, а), у = )г(Е, я), обратное первому, то произведение будет тождественным преобразованием и= х, о=у с якобианом, О а а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
