1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Следовательно, за нормальный вектор поверхности можно принять вектор (г„г ). Так как г'и=('гю Фч Хи)~ г.=Ь.* Ф. М* то нормальный вектор нашей поверхности )11 = [гигп1 = (Фах — хафъ хя'Рз — Рих., Мэ — ФиМ. В силу сделанного в самом начале п' 1 допущения (а)„ этот вектор пе равен нулю. 11ля вычисления направляющих косинусов нормального вектора понадобится его модуль.
Согласно тождеству Лагранжа (стр. 33, упр. 7), имеем ~ д1 )' = (г,г,)а = г))г, '— (г„г,)а = ЕΠ— Е'. Следовательно, модуль нормального вектора поверхности ()17) = =У'Яа — 1 . В конце пч 1 мы видели, что уравнения и=8(1), п=Ь(1) определяют кривую на поверхности. Касательный вектор Т этой кривой дается производной от радиус-вектора по параметру д По правилу цепочки Г 4Гл да Т= „— , =г.~+..— „= =(х Й(г)+х й(г) У 3(г)+У ЬЯ, я,ф(1)+и (гЯ, а единичный касательный вектор получим делением вектора Т на сго модуль ~Т~=~ ф=~',=УИЕ+т~д-.
ай' гГи дз (гм. формулу (1), где теперь — =8, — =Л). да ' гГГ 182 гл. пь постаозннз днвввазнцнлльного нсчислвння [г Рассмотрим на нашей поверхности еще другую кривую и=юг(ч), и='лг(т), пересекающую первую в точке Р, соответствующей некоторым значениям параметра 4 первой кривой и параметра т второй. Обозначим кзсательные векторы обеих кривых в их общей точке через Т и Тг. Тогда угол м между обеими кривыми как угол между их касательными векторами определяется по формуле у7; еде, + р (дл, + КЛ) + алл~ ~ т1 1Т,1 )г а~'+2рхл+ ил'Уее, +2рйл, + ал|' лл еа ° ел, где д= †, Ь = †, 81 = ††', йг = †'; значениЯ всех этих пРоиз- ггг ' ег ' ег ' ег ' водных должны быть взяты в точке пересечения обеих кривых.
В частности, можно рассматривать те кривые на нашей поверхности, которые определяются уравнениями вида и=сопя( или в= = сопз4. Подставляя в параметрические уравнения поверхности вместо и постоянное значение а = с, получим лежащую на поверхности пространственную кривую, для которой переменным параметром служит и; и-с г если же подставим постоянное зна""сг чение и = л, то получится кривая нз "=с, поверхности с переменным парамет"л г 3. а-Л а яг в л ром и.
Эти кривые и= с и о=л называются лараметрггчеехими криеимгг иа поверхности; мы уже встреу чались с ними. Сетка параметрических кривых соответствует сетке прямых, параллельных осям, в плоскости ггв (рис. 44). х Отображение плоской области на другую плоскую область можно расРис. 44. сматривать как частный случай параметрического представления поверхности.
Действительно, пусть а = у(и, в)= О во всей заданной области плоскости иж Когда точка (и, и) пробегает свою область изменения, то при этом соответствующая точка (х, у, а) опишет некоторую область плоскости (х, у) Стало быть, наши уравнения дают просто отображение области плоскости ив на область плоскости ху. Если же мы предпочитаем точку зрения преобразования координат, то можно сказать, что те же уравнения определяют систему криволинейных координат в плоской области ио; обратные функции (если онн существуют) определяют в свою очередь криволинейную систему координат и, в в плоской области ху. Линейный элемент Пз плоскости ху выражается через дифференциалы 183 В е цют.толкания криволинейных координат и, е следующей формулой: г(за= ЕУттэ+ 2рбл г)о-'; 04Ьэ, где Приведем еще один пример параметрического задания поверхности, а именно выведем параметрические уравнения тора.
Эту поверхность овисывает окружность при своем вращении вокруг оси, лежа- 2 щей в плоскости окружности и ее не пересекающей (рис. 45). Примем ось вращения за ось л, а ось х проведем через центр окружности; абсцнссу этого центра обозначим через а. Если радиус окружности г < ( а (, то сразу получим параметрические уравнения окружности (в ее начальном положении) в плоскости хл: х — о = т с4м В, у= О, л=г вше (О<В <2я). При вращении втой окружно- Ж сти вокруг оси л расстояние а =- ф' х' + у' = и + г сш В каждой ее фиксированной точки Рис. 45.
от оси вращения остается постоянным. Таким образом, обозначив через т угол поворота вокруг осн л> получим следующие параметрические уравнения тора: х=(я+гааза)санта у=(в+гсовВ)М В, л=гашз (О.шч<2я, О<В<2) с параметрами В и е. При том поверхность тора представтена как однозначное отображение квадрата со стороной 2я в плоскости Вч. Исклгачение составляют тачки периметра квадрата: любая пара точек периметра, лежащая на одной и той же прямой В=сонат или у=сопэй соответствует лишь одной точке поверхности тора, да и все четыре вершины квадрата соответствуют одной и той же точке торф Нетрудно вычислить выражение для линейного элемента поверхности тора дз'= гтдВ'+ (я+ г с В)* Вт'. 3. Понятие о конформном отобрижеиин.
Преобразование 1= р(х, у), т)=ф(х, у) (1) называется нанформным, если оно отображает любые две пересекающиеся кривые в такие две другие, которые составляют между собой тот же угол, что и исходная пара кривых. Теорема. Для глого чтобы (непрерывно дтгфференцоруемое), лреобразовантте (1) было нанформным, необходимо и достаточно 184 гл. ш. постуовнив дноввувнциального нсчнслвния 11а чтобы ояо удовлетворяло условиям или уравнениям Коши — Римана р„— фу=о, ру+ф»=о (2) либо ф»+фу=(» фу — ф»=11. В первом случае направление отсчета углов сохраняется, во втором же случае оно изменяется на противоположное; зто последнее утверждение сразу вытекает из результатов $ 3, п' 6 о знаке якобиана р»фу — ф ф„.
11оказательство необходимости. Предположим, что преобразование (!) конформно. Линии 1=сопя( и. й=сопа1 плоскости Ей ортогональны; следовательно, соответствующие им в плоскости ху кривые р(х,у)=сопз1 и ф(х, у)=сопз1 тоже должны быть ортогональны. Стало быть, ф»ф„.+ ~„ф, = о (см. условие ортогональности двух кривых, стр, 148) Отсюда вытекает, что т»=»фу 'т = — 1ф (*) С другой стороны, кривые, соответствующие в плоскости ху взаимно перпендикулярным прямым (+~1=сопя( и $ — в=сопа1, тоже должны быть ортогональны. Это дает (9»+ ф»)(9» — ф»)+(фу+ фу)(ру — фу)=1' откуда т»+ту=ф»+Ь Подставив в зто равенство выражения (в), получим 1Я=1, а зто значит, что функции р(х,у) и ф(х,у) удовлетворяют либо первой, либо второй системе уравнений Коши — Римана.
Локазательство достаточности. Предположим, что условия Коши — Римана выполнены. Пусть в плоскости ху даны две кривые Р(х, у)=0 и 0(х, у)=0, и пусть, в силу нашего преобразования, Р(х, у)=Ф(1, т~) и 0(х, у)=Г($, зД. С помощью правила цепочки находим Р» — Фгт» + Фчф»~ О» = Х го» + Гтф», Ру=Фгфу+Фчфу, Оу —— Ггфу+Гтфу. А теперь, воспользовавшись условиями Коши — Римана, после несложных выкладок получим Р:+ Рг =Я+ Ф*,Нф.
+ фу), О„+ 0„=(г(+ Г;)(р„+ фр, Р„О„+Р„О =(Ф Г +Ф Г )(р„'+~'» 1()б $ К ПРИЛОЖЕБИЯ следовательно, Р«О«+ Ру~у Фарт+ ФЧГ УО49 УМ<- ~„' У Ч4Е' УЧ4-"' В левой части этого равенства стоит косинус угла между кривыми Г=О и 0=0, в правой — косинус угла между их изображениями 4й=О и У=О. Стало быть, угол между двумя кривыми плоскости ху равен углу между их изображениями в плоскости 14). Итак, наше преобразование конформно, и достаточность условий Коши — Римана доказана. Упражнения 1.
а) Доказать, что стереографическая проекция сферы на плоскость является конформным отображением. б) Доказать, что стереографическая проекция преобразует окружности на сфере в окружности или в прямые линии на плоскости. в) Доказать, что отражение сферической поверхности в плоскости экватора (как в зеркале) соответствует, при стереографической проекции, инверсии а плоскости ио. г) Найти выражение для линейного элемента сферы в стереографических параметрах и, о.
2. Вычислить линейный элемент а) на сфере х — — азювсщч, у=а юпйюпф «=асозз,' б) на однополостном гиперболоиде Х=ае4пие!то, Уа ЬиниСЬО, «=СЗ)4О; в) на поверхности, описанной вращением вокруг оси «кривой х=у(«) плоскости хк Полагаем у(«) )О, так что кривая не пересекает оси враще. ння. В качестве криаоаинейных координат на поверхности вращения принять цилиндрические координаты з и 6; г)я на поверхности Г, = сопз! семейства софокусных поверхностей второго порядка, заданного уравнением з т «т — + — + — =! а — т ь — г с — т приняв Г, и Г, за криволинейные координаты на изучаемой поверхности (ср. пр.
б, стр. !76). .1 р . Йа поверхности с параметрамн и, в вводится новая системз криволинейных координат г, з с помощью уравнений и = и (г, з), о = о (г, з). Доказать, что нд рт (нгт Ра)~ тд (и, о)тз (,д (г, з) ~ ' где Е', Р', 0' обозначают гауссовы коэффициенты на поверхности в системе параметров г, з н В, Г, 0 — гауссозы коэффициенты в системе и, о. 4. Обозначим через Г касатеаьную к поверхности 8 в ее точке Р и рассмотрим линии сечения поверхности 8 всеми паоскостямн, содержащими касательную т.
Доказать, что центры кривизны всех этих линий лежат на окружности. 5. Как и в упр. 4, пусть «вЂ какая-либо касательная к поверхности 8 в ее точке Р. !1остройм нормальное плоское сечение, проходящее через 186 гл.ш. постговннв днсвеззнциального исчисления касательную Г (т. е, линию сечения поверхности я плоскостью, проходящей через Г и через нормаль к Л з точке Р). Обозначим кривизну этого нормального сечения в точке Р через Д (она зависит от направления касательной г). Иа каждой касательной в точке Р отложим от Р вектор РЯ длиною ! =, Доказать, что конечные точки !Е этих векторов лежат на кривой втоЬ%' рого порядка.
6». Кривая задана как сечение двух поверхностей х' + у'+ е' = 1 и ах' + Ьу» + сз' = О. Составить а) уравнения касательной н б) уравнение соприкасающейся пло- скости з любой точке кривой. $ Б. Семейства кривых н семейства поверхностей; их огибающие 1. Понятие семейства кривых и семейства поверхностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
