1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Это видно на примере семейства конгрузнтных кубических пзрабол у — (л — е)'.†...О. Все зги параболы получаются Рнс. 55. Рнс. 54. перемещением одной из них параллельно оси х, и никакие две из них не пересекаются (рис. 55). Наше правило дает уравнение У,в 3(х — е)'=О, так что дискримннзнтной кривой является у=О:, т. е. ось л. Она и являетса огибающей, так каи касается всех кривых семейства 7' 196 гл. ш. постзоение диоверенцндльного исчисления (э 13) Понятие огибающей предоставляет возможность дать новое определение вволюты плоской кривой (ср.
т. 1, стр. 327, 351 и след.). Эаолюту Е кривой С мы определим теперь как огибающую семейсшаа нормалей кривой с. пусть эта кривая задана уравнениями х=в(г), у=Ф(р). тогда семейство нормалей кривой С имеет уравнение (параметром семейства является г) у(х, у, р) ив [х — р(г)) р'(г) «-[у — Ф(г)] Ф'(г) =о. Длв нахождениа дискрнмннантной кривой дифференцнруем зто уравнение по р и приравниваем уг нуюо: урии [х — р (г)) р" (г) + [у — Ф (г)) Ф" (г) — р' (г) — Фл (р) = о.
Ив этого уравнения и нз уравнения семейства нормалей находим параметрические уравненнл дискриминантной кривой х = ( ) — Ф (г) ' + Ф Ф"р'-р"Ф' у" '«Ф*' У=Ф(г)+7'(р) ~ ° - .=Ф+ — Т вЂ”вЂ”вЂ” Ф"р'+е"Ф' [Г '«Ф" где ( э+Фа)нэ есть радиус кривизны кривой С (т. 1, стр. 326). Так как Х~= 7'(г) и ух= Ф (г) не равны одновременно нулю при всех эначенилх Г, соответствующих заведомо обыкновенным точкам кривой С, то дискриминантнаи кривая и является огибающей семейства нормалей, т. е. эволютой кривой С.
Полученные здесь уравнения совпадают с уравнениями эволюты, выведенными в т. 1, стр. 327. 14) Кривая С задана уравнениями х=в(г), у=Ф(г). Найдем огнбающую Е семейства окружностей, проходящих через начало О и имеющих центры на С. Уравнение семейства есть х*+у* — 2хв (г) — 2УФ (Р) = о, Так как окружности не имеют особых точек, то днскриминантнал кривая должна состоять из огибающей Е и начала координат [обшей точки всех линий семейства — см. примеры 2 и 3). Дла ее полувенка надо к уравнению семейства присоединить уравнение хр (г) «-уФ «) =о. Это уравнение при каждом значении Г представляет прямую, проходншую через начало О (общую точху всех окружностей), и ее вторав точка пересечения с окружностью семейства с тем же значением Г есть как раэ точка касания О огибающей с втой окружностью. Указанная прямая, очевидно, перпендикулярна касательной кривой С в точке Р втой кривой, служащей центром той же окружнострь Ясно что РО=РО как радиусы одной окружности; следовательно, РО и РО образуют равные углы с касателыюй к кривой С в точке Р.
Представим себе, что О есть светящаяся точна, а С вЂ” отражающая кривав (зеркало); тогда ОР дает направление отраженйого луча, соответствующего палаюшему лучу ОР. Огибающал отраженных лучей называется «аустичесхой кривой или каустихой относительно точки О. Эта каустическая кривая совладает е заплатой кривой Е, т. е. огибающая отраженных лучей язллетсл зволютой огибающей Е нашего семейства окружностей. Действительно, отраженный луч ОР есть нормаль кривой Е как радиус окружности с центром Р, проведенный в точку касания этой окружности с кривой Е, 11 Эа.
СимвйСтвя КэиэыХ Н пОввэХНОСтпй; нх огнвающнн 1Я7 а иэ предшествующего примера мы знаем, что огибающая нормалей линии Е является ее эвоаютой. Пусть, например, кривая С (линия центров наших окружностей) есть тоже окружность, проходящая через начало О. Тогда огибающая Е пучка окружностей есть иуть, описываемый точкой О' окружности С', конгруэнтной с С и катящейся по С иване, причем в начале движения точка О' совпадает с О. Действительно, все время движения точка О' (как и точка О в предыдущем рассмотрении) симметрична с О относительно общей касательной обеих окружностей.
Следовательно, Е является одной из эпициклоид, а именно кардиоидой (ср. т. 1, стр. 310, упр. 2 и 3). Так как эволюта эпициклоиды есть тоже эпициклойда, подобная данной (см. т. 1, стр. 357, упр. 1), то каустика окружности С относительно ее точки О есть кардиоида. 4. Огибающая семейства поверхностей. Все рассуждения, относящиеся к огибающей семейства плоских кривых, приложимы, лишь с небольшими изменениями, к семейству поверхностей. Рассмотрим сначала однопараметрнческое семейство поверхностей у(х,у, л„ с)= 0 в некотором определенном интервале значений параметра с. Поверхность Е называется огибающей еемейелгва, если она касается каждой поверхности семейства вдоль целой кривой, причем множество этих кривых касания составляет семейство кривых, покрывающее полностью огибающую поверхность Е.
Примером валяется семейство всех шаровых поверхностей радиуса ! с центрами иа осн к Наглядно ясно, что огибающей будет поверхность кругового цилиндра х'+у" — 1 =0 радиуса 1, симметричная относительно оси я. Семейство кривых касания состоит из окружностей радиуса 1, плоскости которых параллельны плоскости хоу, а центры лежат на оси а.
Заметим, кстати, что огибающая поверхность семейства сфер постоянного радиуса, центры которых лежат на какой-либо заданной кривой, называется шрубчатой поверхностью. Для нахождения огибающей поверхности, в предположении, что она существует, можно применить совершенно тзкой же эвристический метод, как в п~2. Начинаем с рассмотрения двух поверхностей семейства у(х,у, г, с)=0 и у(х,у, г, с+й)=0. Эта пара уравнений определяет совместно линию пересечения обеих поверхностей, существование которой мы определенно предполагаем.
Второе уравнение этой системы мы заменим уравнЕнием у(х,у,а,е+/ю) — у(х,у,г,а) 0 Ь которое является линейной комбинацией обоих уравнений, причем новая система равносильна прежней. Заставим теперь Ь стремиться к нулю; тогда линия пересечения будет стремиться к некоторому предельному положению, н эта предельная кривая, которую образно называют линией пересечения двух бесконечно близких поверхностей семейства, определяется следующей системой уравнений У(х,у, л, с)=0, У,(х,у, л, с)=0, (,") Она зависит еще от параметра е, так что все эти кривые пересечения образуют однопараметрическое семейство пространственных кривых.
198 гл. пь поствовннп днвввяанцньльного нсчнслзння Если из двух уравнений (;) исключить пзраметр е, то получим так называемое диенриминантное уравнение вида и(х,у, «)= О. Представляемая этим уравнением поверхность называется диенриминантной поверхностью системы. Совершенно таким же способом, как в п'2„можно показать, что огибающая поверхность, если она существует, входит в состав дискриминантной поверхности и что, обратно, дискриминантная поверхность имеет со всякой поверхностью семейства в любой их общей точке общую касательную плоскость, если только Д+Д+ДФО в этой обшей точке, т. е.
во всяком случае, если эта точка является обыкновенной точкой семейства. В итоге мы приходим к аналогичному выводу: дискриминантная поверхность состоит нз огибающей н из геометрического места особых точек поверхностей семейства. Прим ер. Найдем огибающую семейства У(х, у, «, е) кях'+у'+ +(е — е)' — 1=0, подвергнутого выше наглядному рассмотрению. Согласно правилу (ч), присоединяем равенство У,(х,у, «, е)= — 2(« — с)=О.
При всяком фиксированном значении е оба уравнения, взятые совместно, определяют окружность радиуса 1, лежащую в плоскости, параллельной плоскости «Оу на уровне «=с. Исключив из этих двух уравнений параметр с, получим уравнение дискриминантноа поверхности х' +у' — 1 = О. Эта поверхность и будет огибающей, так как шаровые поверхности не имеют особых точек; она представляет собой цилиндрическую поверхность, имеющую направляющей горизонтальную окружность радиуса 1, а осью — ось «. Задача о нахождении огибающей семейства кривых имеет смысл лишь в том случае, если это семейство зависит только от одного параметра.
Лля семейства же поверхностей эта задача имеет смысл и в том случае„ если это семейство у(х,у,«, а, р)=О зависит от двух параметров а и р. Таково, например, семейство всех шаровых поверхностей радиуса 1, центры которых лежат в плоскости хОу. Уравнение этого семейства (х — а)а + (у — р)' + «а — 1 = О. Наглядно ясно, что обе плоскости «=1 н «= — 1 касаются в каждой своей точке одной нз сфер семейства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
