1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Не только из условий (1) вытекзет условие (П), но и обратно, из (П) можно вынес~и уравнения (1). Для этого достаточно положить в (П) все независимые дифференциалы бх> йу, й», ..., кроме одного, равными нулю, % В, МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 203 В системе урзвнений (1) число неизвестных хь ув, зв, ... равно числу уравнений. Стало быть, иэ этой системы можно, вообще говоря, вычислить координаты точек, в которых есть основание ожидать экстремума. Однако в любой полученной таким путем точке функция не обязательно имеет экстремум. Рассмотрим, например, функцию и=ку.
Условия (1) (нх теперь два) дают сразу к= О, у=о. Однако в окрестности атой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, смотря по тому, з какой четверти берется точка. Стало быть, в точке (О, О) функция экстремума ие имеет. Изображающий эту функцию гиперболический параболоид и=ку (рис. 28, стр !35) имеет в начале координат так называемую мочку перевала или седловину. Полезно иметь специальное название для точек, удовлетворяющих уравнениям (1), независимо от того, дают ли они экстремум функции или нет. Всякую точку (хв, уь зь ...), в которой обращаются в нуль все частные производные ~„, У, Ур, ..., мы будем называть стационаРной Ачочной фУнкции и=УУ(х, У, з,...), а значение 1(хрь Уь Яь ° ° ) в такой точке — стационарным значением функции. В тзкой точке функция имеет, так сказать, замедленное изменение.
Ясно, что точки экстремума надо искать среди стационарных точек функции. Для решения вопроса, дает ли найденная стационарная точка экстремум функции илн нет, требуется дополнительное исследование. Однако во многих практических задачах положение дел ясно с самого начала. В частности, если известно, что функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение во всей области в некоторой ее внулгренней точке, а система уравнений (1) определяет единственную стационарную точку Рв(хь уь гв, ...), то функция имеет в Рв экстремум, а именно в первом случае — максимум, а во втором — минимум. Если же условие задачи не дает оснований для подобных соображений, то каждую стационарную точку надо отдельно исследовать.
В дополнениях к этой главе будут выведены достаточные условия максимума и минимума для функции двух переменных. 3. Примеры. Поясним полученные результаты на нескольких примерах. !) Частные производные функции и =кв +ув обращаются в нуль только при к =у= О. Следовательно, имеется лишь одна стационарная точка в на- чало координат.
В втой точке функция действительно имеет ие только мини- мум, ио и наименьшее значение, так как во всех точках, кроме начала коор- динат, функция как сумма квадратов принимает лишь положительные зна- чения. рр рр - -г~- -'Рр* р-р ~рр -. — — .О рр, * р р р — ' — р" ~ — *' — р' р,*=р=Р.Р „„,,„,,р „„,Р,„, р „И только максимум, но и наибольшее значение функции в ее области задания, так как подкореииое выражение 1 — к' — у' имеет, очевидно, во всех точках области, отличных от начала координат, меньшие значения, чем в самом 204 гл. нь ПОСТвовние дияэевеннилльиого иСчиСланиЯ начале. Свое наименьшее значение наша функция принимает на окружности х'+у'=1, являющейся границей области. 3) Требуется построить треугольник, у которого произведение синусов всех его углов принимает наибольшее значение.
Задача сводится к накожденню тех значений углов в и 3, при которых функция г'(а, р) = юп а а1п 6 юп (а + р) достигает своего наибольшего значения в треугольной области 0 а-- а ~я, 0(ряая, 0(а+0(я (рис. 56). Внутри области функция положительна, а на ее границе у(», 6)=О. Следовательно, наша функция принимает наименьшее значение (нуль) на границе области, а наибольшее значение (положительное) — в некоторой точке внутри треугольной области. Приравнивая частные производные нулю, получаем следующую систему уравнений: сова аш 3 юп (а + 6) + юп а юп 0 ом (в + 6) = О, з1пасозрюп(в+3)+вша атп рсоа(»+6) =О.
Из зтих уравнений вытекает, что тйе=тпа, а так как внутри области 0(в (я, 0(0(я и О~а+0(я, то р а. Подставив в первое О уравнение системы 6=а, получим соотношеал я я ние йпйа=О. Отсюда а= — и 3= —; зто 3 3' Рнс. 56. единственная стационарная точка внутри области.
Следовательно, искомый треугольник — равносторонний. 4) Три точки Р,(хоу,), Р,(ха, Уа), Р,(хму,) являются вершинами остроугольного треугольника. Требуется майей такую четвертую точку Р (х, у), чтобы ее расстояния от данных точек Ри Р, и Р, имели наименьшую сумму.
Сумма расстояний Р,Р+ Р,Р+ Р,Р является непрерывной функцией от координат х н у точки Р, и зта функция обязательно имеет наименьшее значение в некоторой точке Р, очень большого круга, содержащего внутри себя данный треугольник. Точка Р, не может быть вершиной зтого треугольника, так как основание перпендийуляра, опущенного из какой-либо другой вершины на противоположную сторону треугольнииа, имело бы заведомо меньшую сумму расстояний. Но Р, не может лежать и на окружности круга, если точки втой окружности достаточно удалены от вершин треугольника. Итак, требуется яайти наименьшее значение функции У(х, у) = гга+ Ра+Ра, где /~а=РаР=рг(х — ха)а+(у — уа)аа 0=1, 2, 3.
Эта функция дифференцируема везде, кроме точек Ро Р„Р,. Мы знаем, что в искомой точке Р, должны обрати~ься в нуль чзстные производные У, и у . Таким образом получается система уравнений х — х, х — х, х — х, =о, Ра Лиа ааа У вЂ” Уа У вЂ” Уа У вЂ” Уа + + =О. Из зтих уравнений видно, что три единичных вектора плоскости ху (х — х, У вЂ” Уа~ . ~х — х, У вЂ” У,~ (х — х, У вЂ” У,~ фв. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 205 имеют (векторную) сумму, равную нулю, так что при построении их суммы получается равнос~оронний треугольник (рис.
57). Отсюда вытекает, что направление каждого из этих векторов переходит в направление следующего при повороте на угол гя)3. Так как наши три единичных вектора имеют направления векторов Р,Р„Р,Р, и Р,Р„то каждая сторона данного треугольника должна быть видна из точки Р, под одним и тем же углом гя/3.
[Может случиться, что частные производные функции и=у(к,уг..) в отдельных точках обращаются в бесконечность или вообще не существуют. Следующие ниже примеры показывают, что в таких точках тоже может быть экстремум; поэтому каждую такую точку, как и каждую стационзрную точку, надо прове- Рнс. 57. рить, нет ли в ней экстремума. » гх 5) Функция и=э'к«+у» имеет частные производные и.= 3 '„/ (л»+у»)» и =, гу , Единственная «подозрительная» нв экстремум точка— -" 3',Г(~+у*)з ' начало координат, эде выражения для и„и пу становятся неопределенными. Поэтому вычисляем отдельно частные йроизводные в точке (О, 0)г и (О, 0)=1!шУ =со, и (О, 0)=1!ш' У =оо. о к — 0 у о у — 0 Вместе с тем ясно, что в начале координат функция имеет минимум, так как и(0, О) =О, а во всех других точках и) О. Нетрудно убедиться, что поверхность и =ф'х»+уЧ образована вращением вокруг оси и полукубической параболы и = У' л'.
В начале координат поверхность имеет единственную касательную прямую — ось и. Такой минимум (и аналогичный максимум) естественно называть осшрым, а экстремум, имеющий место в стационарной точке — гладлиль Читатель легко сам обнаружит, чтофункция и= — 1Уг — »+5» имеет я единственный экстремум в начале координат (острый максимум). 6) исследуем на экстремум функцию и=)гл»+у».
частные производные нигде не обращаются в нуль, а в начале координат их выражения становятся неопределенными. Отдельное вычисление дает и(л, 0) — и(0, 0) !. ~х' — 0 )' 1 при л — О, л о к — 0 «-о х — 0 [+1 прил +О и аналогично и(0, у) — и(0, 0) ! — 1 при у — О, Вш у О (+1 приу +О. Итак, в начале координат частные производные не существуют. Однако наша фуйкция имеет в этой точке очевидный минимум. Изображающая ее поверхность — верхняя полость кругового конуса л'+у' — л'=О, имеющего осью ось и.
206 гл. ш. постэовнив дивввэвнциального исчислвния 14 7) Так же точно решается задача об экстремумах функции и=-е «+». Стационарных точек нет. В начале координат частные производные не существуют (как и в предыдущем примере, здесь тоже требуется отдельное вычисление). Однако ясно, что эта функция имеет прн х=у=О минимум и !.
Геометрическое изображение — поверхность, образуемая вращением вокруг оси и дуги кривой и=.е", х)0, плоскости ки. Ясно, что в своей точке (О, О, 1) поверхность имеет, вместо касательной плоскости, касательный конус (круговой) с вершиной в втой точке. Такую особую точку поверхности можно назвать конической точкой. «в „в Читатель сам найдет, что функция и= — е е э имеет при к= у=О максимум и (О, 0) = — !. Точка (О, О, — 1) соответствующей поверхности тоже коническая точка, но касательный конус уже не круговой.
8) Найдем наибольшее н наименьшее значения функции и = нп у'хе-)-у' з замкнутой области, ограниченной окружностью х'+у'= «', а также экстремумы функции, лежащие в этой области. Наглядное рассмотрение сразу дает ответ: функция ярииимает свое наименьшее значение нуль э начале координат и во всех точках граничной окружности, а наибольшее значение, единицу, ге на окружности «'+у'= —. Вычисление показывает, что все точки втой по- 4 ' саедней окружности являются стационарнымн; в каждой из этих точек функция имеет несобственный максимум. В начале координат частные производные не существуют; однако функция имеет в этой точке минимум. Изображающая функцию поверхность обраэовэна вращением вокруг оси и дуги синусоиды и= них, Оецх~л, н имеет в начале координат коническую точку.) 4.
Условные экстремумы. Задача на отыскание экстремумов функций многих переменных чзсто возникает в форме, отличной от изложенной выше. Пусть, например, требуется найти на данной поверхности в(х, у, г)=0 точку, ближайшую к началу координат. Лля решения этой задачи придется определить минимумы функции у(х, у, г)= )~ха+у'+г', в которой, однако, координаты х, у, г уже не являются йсе независимыми переменными, а связаны между собой дополнительным условием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
