1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 46
Текст из файла (страница 46)
они должны удовлетворять уравнению поверхности и (х,у, г) = О. Экстремумы функции и =» (х, у, ...), аргументы которой удовлетворяют еще некоторым добавочным уравнениям (число которых, конечно, меньше числа аргументов), называются услозныли или ошносггтельными вкстремуиами. В отличие от них, рассмотренные выше экстремумы (бев дополнительных условий) называются сзободнымгг или безуслоенымгт экстремумами. Задача отыскания условных максимумов и минимумов не является, правда, принципиально новой проблемой.
Так, в примере, с которого мы начали, надо только выразить из уравнения поверхности одну из переменных, например г, через остзльные, и подставить полученное выражение в исследуемую функцию у"= "к'ха+у~.+г'; тогда мы придем к обычной зздаче на экстремум функции двух независимых переменных х и у. Но при таком решении переменные х, у, г перестают быть равноправными, двум из них (х и у) отдается предпочтение перед г.
$6, максимумы и минимумы 207 Представляется более удобным и более изящным найти симметричную запись необходимого условия относительного экстремумз, в которой ни одна из переменных не пользуется преимуществом перед другими. Рассмотрим сначала более простую, но типичную задачу об условном экстремуме функции двух переменных: лгребуется найти точки вкстремума функции р(х, у), если аргументы х п у не являются невавпсимымл переменными, а связаны добавочным условием в(х, у)=0. Аналитическому решению мы предпошлем геометрическое рассмотрение. Допустим, что уравнение р(х,у)=0 изображается кривой без особых точек (рис.
58) и что семейство кривыху(х, у)=-с покрывает часть плоскости, как показано на том же рисунке. Задача состоит в том, чтобы среди кривых этого семейства, пересекающих кривую р (х, у)= О, найти ту, для которой постоянная с имеет максимум или минимум. Двигаясь вдоль кривой ч = рб = О, мы пересекаем последовательно кривые семейства У(х, у)= с, и при этом параметр с семейства изменя- Ряс. 58. ется, вообще говоря, монотонно.
Экстремума параметра с следует ожидать в такой точке кривой р = О, при прохождении которой изменяется направление пробега шкалы с. Ив рис. 58 видно, что это может произойти втакойточке кривой р=0, в которой она как раа касается кривой семейства, соответствующей экстремальному значению с. Координаты точки касания и будут искомыми значениями х= с, у =та которым соответствует экстремум функции у(х, у). Но касание кривых у=О и У=с означзет, что эти линии имеют в точке (с, я) общую касательную; следовательно, в точке касзния нормальные векторы обеих кривых (у», Я и (р„у ) коллинеарны, откуда г» ' 9» =Уу ' 9у = где через ( — Х) обозначено общее значение равных отношений, Стало быть, координаты (с, »1) точки касания удовлетворяют системе трех уравнений у»+)гр„=О, г +Х|р„=О, э(х, у)=0, из которой надо определить координаты (с, я) точки касания и коэффициент пропорциональности Е Это и будут необходимые условия относительного экстремума.
Мы не зря предположили, что кривая р(х, у)= 0 не имеет особых точек. Если отбросить это предположение, то может случиться, что 208 гл. ш. постяовнив днвввэинпнлльного исчислвния 14 точка (Е, ц) в которой сливаются две точки пересечения кривой р=о с кривой семейства )=с, является особой точкой линии у=о, и тогда наши рассуждения неприменимы. Но в этом случае р»(Е, ц)=0 и р (Е, ц)=0. Найдя особые точки линии у=о, их можно отдельно исследовать.
На рис. 89 показан случай, когда кривая у=о имеет особую точку — точку. заострения, а экстремум существует именно в втой точке. Итак, мы пришли наглядным путем к следующей теореме: Для того чтобы функция У(х, у) имела в точке х=Е, у=ц вкстремум, при условии р(х, у)=0, необходимо, чтобы существовал такой множитель )» что три числа Е, ц, Ъудовлетворяют системе трех уравнений ~.(Е, ц)+Лир„(Е, ц)=0, ух(Е, тй+)ар„(Е, '9=0 р(Е, 9)=о.
тгри этом яредлолагается, что часпхные производные р„(Е, ц) и ~р„(Е, ц) не обращаются одновременно в нуль, так что точка Рис. 59. (Е, ц) заведомо не является осо- бой точкой кривой ~р(х,у)=0. Доказательство этой теоремы будет дано в пьб. Это необходимое условие дает для определения Е, ц и Х столько же уравнений, сколько имеется неизвестных. Прибавилось еще одно неизвестное Е, но зато мы выиграли в том отношении, что получили вполне симметричную формулировку задачи.
В итоге мы имеем следующее удобное практическое правило для отыскания условных экстремумов: Для того чтобы найти экстремумы функции у(х,у), подчиненные дополнительному условию ~р(х,у)=0, надо сложить исследуемую функцию У(х,у) с произведением функцию р(х,у) ма неизвестный множитель Х, не зависящий от х и у, а затем написать известные необходимые условия вкстремума для вспомогательной функции р=у(х, у)+)у(х, у), а именно: ~„+)«р„=о, ~„+1р,=о. Эти уравнения вместе с дополнительным условием р(х, у)=0 служат для определения координат точек, «подозрительных» на экстремум, и множителя Х.
Множитель Л называется множителем Лагранжа, а сформулированное только что правило называется правилом илн методом неопределенных множителей Лагранжа. Прежде чем перейти к доказательству правила неопределенных множителей, покажем его применение иа простом нримере. Требуется найти зкстре- % б МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ мумм функции и=ху на окружности радиуса 1 с центром в начале коорлинат, т.
е. при дополнительном условии х'+ у' — 1 ='О. Согласно правилу Лагранжа, строим вспомогательную функцию Р(х, у) =ху+Х(ха+уз — 1) и пишем для нее необходимые условия экстремума: Р„=— у+2 =О, Р„= к + 2ьу = О; вместе с дополнительным условием к'+у' — 1=О они составляют систему уравнений для определения неизвестных х, у, Х.
Решив зту систему, получим четыре стационарные точки: 1 )Г2, Е= У2; 1 2 1 1 $ = — — )г2 ч = — — )г2 2 ' 2 $= ~-)/2, 1 1 ч = — — )'2. 2 1 1 а — я~2, Ч 2)2, 1 В первых двух точках функция и=ху принимает значение и= —, в по- 2' 1 следних двух точках †значен и = — — , 2' Наша функция обязана принять в некоторых точках окружности свое наибольшее и свое наименьшее значение, а так как окружность, будучи замкнутой линией, не имеет граничных точек, то этн крайние значения функция может принять только в своих стационарных точках. Отсюда вытекает, что в первых двух найденных точках функция имеет максимум и 1 вместе с тем свое наибольшее значение и= — на окружности, а в послед- 2 1 них двух точках — минимум и наименьшее значение и = — — .
2 Дх, л(х)) =и(х) 6. Доказательство правила неопределенных мцожителей для условного экстремума функции двух переменных. Аналитическое доказательство правила Лагранжа мы получим естественным путем, приведя задачу к уже знакомому случаю свободных экстремумо!ь Допустим, что в точке экстремума обе частные производные р„(Е, я) и р (с, "я) не обращаются одновременно в нуль; пусть, для определенйостн, у (6, т)) ~ О. Тогда на основании $ 1, и'3 уравнение ~у(х, у)=0 определяет в окрестности втой точки однозначным образом величину у=я(х) как непрерывно дифференцируемую функцию от х. Подставим это выражение в функцию у(х, у); тогда функция 210 гл.
ш. поствовнив диоовввнцнлльного исчислкння »з должна иметь при х=Е свободный экстремум, а для этого должно выполняться при х=Е необходимое условие и'(х) ы У„+ ~„й' (х) = О. Кроме того, для функции у=и(х), определенной неявно урзвиеиием р(х, у)=0, удовлетворяется тождественно соотношение о, + отл'(х) = О. Ив последних двух уравнений искшочимбг(х) следующим способом: сложим первое из иих со вторым уравнением, помноженным на у = — -д, в ревультзте чего получится уравнение тл' Л+ Л9л=О.
С другой стороны, из определения множителя Л вытекает уравнение у, » л~,=о. Тем самым правило неопределенных множителей доказано. Из хода доказательства ясно, насколько существенно предположение, что в точке (Е, т») ие обращаются одновременно в нуль обе частные производные р и ~р.
Да это видно и из самого правила, которое теряет силу в этом случае. ДейУ ствительно, если фуикпия у(х, у) имеет з точке (Е, т») экстремум при условии о(х, у)=0, причем ~р„(Е,.я)=о„(Е, т)=0, го уравнения У + Ьр„=О и Уу+ ЛЕт = 0 принимают вид У =0 и ~„=О, которым точка (Е, и) отнюдь не обязана удовлетворять. Поясним это на следующей задаче. Требуется найти на кривой (х — !)' — у' = 0 точ. ку, наиболее близкую к началу координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
