1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вообще поверхность Е называется огибающей двупараметрического семейства поверхностей, если она в каждой своей точке Р касается одной нз поверхностей семействз и если при этом выполняются следующие два условия: 1) когда точка Р пробегает поверхность Е, то значения параметров (а, р), соответствующие той поверхности семейства, которая касается огибающей Е в точке Р, должны пробегать некоторую область плоскости а, ~, и 2) различным точкам (а, р) должны соответствовать различные точки поверхности Е. Стало быть, теперь поверхность семейства касается огибающей, вообще говоря, в одной точке, а не вдоль целой кривой, как это было у однопараметрического семейства поверхностей.
а а. семейства кэнвых н поввэхностий; нх огивлющин 199 При допущениях, подобных сделанным выше в теории огибающей плоских кривых, найдем, что точка касания поверхности семейства с огибающей, если последняя существует, должна удовлетворять системе урзвнений У(х, у, г, а, р) = О, У'„(х,у, г, а, р)= О, У' (х, у, г, а, р)= О. (1) Если из этой системы уравнений удается выразить х, у, г через параметры а и р: х=х(а, р), у=у(а, р), г=г(а, р), то получим параметрические уравнения так называемой дтгснрилгининтной поверхности семейства; исключив из уравнениИ (1) параметры а и р, получим уравнение этой поверхности в неявном виде й(х, у, г)=О.
И здесь дискрнмннантная поверхность объединяет в себе огибающую и геометрическое место особых точек поверхностей семейства. Если огибающзя поверхность существует, то из трех уравнений (1) можно найти координаты точки касания огибающей с любой поверхностью семейства; надо только подставить в эти уравнения зкачення параметров а и р, соответствующие интересующей нас поверхности семейства. Найдем, например, огибающую семейства всех шаровых поверхностей радиуса 1 с центрами в плоскости хОу: У(х, у, з, а, д! ви (х — а)'+ (у — р)'+ з' — 1 =0.
Это семейство с двумя параметрами а и р. Согласно (!), надо добавить еще два уравнения У„ш — 2(х — а)=О, Ха= — 2(у — Р)=О. Стало быть, дискримннантное уравнение будет з' — 1 = О, а так как шаровые поверхности не имеют особых точек, то наше семейство имеет огибающую, состоящую из двух плоскостей г= ! и г= — !. Этот результат мы предвидели выше из соображений наглядности.
Упражнении 1. Пусть з= и (х, у) есть уравнение трубчатой поверхности, т. е. огибающей семейства сфер радиуса 1, центры которых лежат на кривой у=у(х) плоскости хОу. Доказать, что и' (и„'+ и' + 1) = 1. 2. а) Найти огибающую двупараметрического семейства плоскостей, для которых ОР+ ОО+ Отт= 1, гле Π— начало координат, а буквы Р, О, й обозначают точки пересечения плоскостей семейства с осями координат. б) Найти огибающую семейства плоскостей, для которых ОР*+ ОО'+ О)!' = 1. 3. Пусть С вЂ” произвольная кривая на плоскости. Рассмотрим окружности этой плоскости радиуса р, центры которых лежат на С.
Доказать, что огибающая этого семейства окружностей состоит из двух кривых, параллельных 200 гл. щ. постгозниз днеевайнцилльного исчислзннд 11 кривой С и отстоящих от нее на расстоянии р (определение параллельных кривых см. т. 1, стр. 334, упр. 21). 4ь. Семейство прямых в пространстве задано как сечение двух плоскостей, зависящих от параметра П д (г) х + Ь (г) у + с (г) а = 1, А (Г) х + В (Г) у + С (Г) л = 1.
Доказать, что если асе эти прямые являются касательиымя некоторой кривой, другими словами, если это семейство прямых имеет огибающую, то ! а — А Ь вЂ” В с — С ь 7 =О. А В бя. Семейство плоскостей задано уравнением х соз Г + у а(п Г + л = Г где à — параметр семейства. а) Найти уравнение огибающей поверхности в цилиндрических координатах Г, Е, а.
б) Доказать, что зта огибающая образована касательными к некоторой кривой. 6. Тело бросают вверх из заданного начального положения, с заданной начальной скоростью, в одной и той же вертикальной плоскости, но под рззличнымн углами к горизонту. Доказать, что траектории двяжейия тела образуют семейство парабол н что огибающая этого семейства есть тоже парабола. 7*. Найти огибающую семейства шаровых поверхностей, касающихся трех ланвых сфер: 3,: (х — — ) +у'+л'=— 2) 4' 3 та 9 Ва: х'+~у — — ) +з'=— 2) 4' 31' 9 3: х'+у'+ з —— а. 2) 4 8.
Если плоская кривая С задана уравнениями х=У(Г), у=у(Г), то ее взаимно полярной «ризой С' называется огибающая семейства прямых 1У(г)+ чй(г) =1 гле (с, ч)-текущие коорлинаты на С'. а) Доказаттч что и кривая С является взаимно полярной для С'. б) Йайтн взаимно полярную кривую окружности (х — а)'+(у — Ь)'=1. х' ук в) Найти взаимно полярную кривую эллипса —,+ —,=1. да Е 8. Максимумы и минимумы 1. Определение.
Теория максимумов и минимумов является и у функций многих переменных одним .из важнейших приложений дифференцирования. Рассмотрим сначала функцию двух независимых переменных и =У(х, у) и изобразим ее наглядно поверхностью в пространстве хуц % К МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ВОТ Мы будем говорить, что величина и имеет максимум в точке (хм уз), если 'все другие значения функции в некоторой окрестности этой точки меньше значения из ††у(хь уа). Геометрически такому максимуму соответствует вершина (верхушка) на поверхности. Аналогично мы будем говоритгь что и имеет в точке (хь уэ) минимум, если все другие значения функции в некоторой окрестности этой точки больше значения из=у"(ха, уэ). Как и у функций одной переменной, эти понятия всегда относятся лишь к достаточно малой окрестности рассматриваемой точки. Весь кусок поверхности, изображзющий функцию и= У(х, у) в области ее задания, может, конечно, содержать точки, лежащие выше максимума или ниже минимума.
Дадим аналитическую формулировку определения максимума и минимума в общем виде для функции любого числа независимых переменных: Функция и=1(х, у, ...) имеет в точке (хэ, уа, ...) максимум (минимум), если она в некоторой окрестности втой точки принимает всюду значения меньшие (большие), чем в самой точке (хьум "Л Если в окрестности точки (хь уэ, ...) функция принимает значения, только не превышающие значения втой функции в самой точке (хь уь ".), т.
е. если и(х, у, ...)(и(хэ, уа ".), то говорят, что функция имеет несобственный или нестрогий максимум в втой точка Аналогично определяется и несобственный минимум. Мы вновь подчеркиваем, что наше определение относится к надлежащим образом выбранной окрестности, окружающей рассматриваемую точку со всех сторон [т.
е. оно носит локальный (местный) характер[. Мы уже знаем, что функция, непрерывная з замкнутой области, всегда принимает з некоторой точке области наибольшее, и з некоторой ее точке — 'наименьшее значение. Так вот, вполне может случиться, что значение максимума будет ниже наибольшего значения функции з замкнутой области, а значение минимума может оказаться выше наименьшего значения функции в той же областаь Если функция принимает свое наибольшее (наименьшее) значение в точке Р, границы области, то это значение не обязательно будет максимумом (минимумом) в определенном выше смысле; вспомним, что так именно обстоит дело н у функций олной переменной.
Лейстэительно, если функция определена только з замкнутой области, то полной окрестности точки Р„ в которой бы функция была определена, вообще не существует; если же функция определена з некоторой более обширной области, содержащей упомянутую замкнутую область, то э этой более обшнрноя области функция может н не иметь максимума (минимума) з точке Р,. Это можно наблюдать на следующем примере. Возьмем функцию и = — х — у, определенную на всей плоскости ку, но будем ее рассматривать только на квадрате О( х:ц.1, О ~у ~ 1. В втой замкнутой области функция и принимает свое наибольшее значение нуль в начале координат, но это наибольшее значение не является максимумом.
В самом леле, если рассматривать полную (всестороннюю) окрестность начала координат, то в ней функция и = =к †принимает и значения, большие нуля. Однако практически важно отметить следующий факт: если функция принимает свое наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это значение обязательно будет максимумом (минимумом) функции в смысле нашего определения [собственным нли несобственным1.
202 гл, ш. постаовнив диьвяэвнциального исчислзння [а 2. Необходимые условия вкстремума. Как и у функций одноя переменной, мы наряду со словами максимум и минимум будем пользоваться термином экстремум или экстремальное значение, объединяющим зги два понятия. Сообщим теперь необходимые условия сушествовзния экстремума, т. е. такие условия, которые непременно должны быть выполнены в точке (хь уь ...), если функция имеет в этой точке экстремум. Для того чтобы дифференцируемая функция и=у(х, у, г, ...) имела экстремум в точке Ро(хь уа, го, ...), необходимо, чтобы выполнялнсь следующие равенства: Ух(хо, уь го, " ) = О У»(хо уа га, ...)=О У~ (хо уо гь ° ° ) = О Эти условия легко вывести из уже известного необходимого условия экстремума дифференцируемоя функции одной переменной. В самом деле, припишем, например, переменным у, г, ...
постоянные значения у =уо, г = го, ... и будем рассматривать нашу функцию в окрестности точки Ро, как функцию у(х, уо, го, ...), аависящую только от х. Тогда эта функция одной переменной х должна иметь экстремум при х=хо, а необходимым условием такого экстремума является у (хо, уь го, ...)=О. Итак, необходимым условием существования в точке Ро(хь уь гь ...) экстремума дифференцируемоя функции сс =у'(х, у, г, ...) является обращение в этой точке в нуль всех частных производных»г у» Л ° ° ° В случае лифференцируемоя функции двух переменных и=»(х, у) это необходимое условие имеет простоИ геометрический смысл: функция может иметь в точке Р,(хь у,) экстремум лишь э том случае, если поверхность и =Г (х, у) имеет в Р, касательную плоскость, параллельную плоскости хОу.
Для многих целей удобнее объединить формально наши условия (1) в одно условие, налагаемое на полный дифференциал функции: й1(хо, уь гь ")=У (хо, уо гь ")йх+У,(хо уь «ь ")с(у+ +У.(хо, уь гь ..)йг+...=О. (П) Этот вид необходимого условия можно выразить словами так: функция сс=у(х, у, г, ...) может иметь экстремум лишь в таких точсаах, в которых полный дифференцсаал (линейное приращение функции) обращается в нуль при любых значениях дифференцссалов йх, бу, бг, ... независимых переменных х, у, г, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
