1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 38
Текст из файла (страница 38)
+ф.=о, в„х + >р,у + >р = О, ф.х.+ф,у.+ф.=О, получаемых по правилу цепочки и рассматриваемых как системы линейных уравнений для пар неизвестных х>я уя; ...; х, у„, 8. Вааимиаи зависимость функций. Йеобходимо подчеркнуть, что если якобиан В обращается в пуль в некоторой точке (х„у,), то по вопросу о существовании обратной системы функций в окрестности этой точки невозможно выскззать наперед никаких общих утверждений.
Однако, если обратные функции существуют, то они не могут быть дифференцируемыми в соответствующей точке, так как в противном случае произведение якобианов д ' д ' обратилось д (й Ч) д (х, у) бы в нуль, между тем как, согласно п'5, оно должно равнятьск единице. Например, система функций и = х', в =у, якобиаи которой обрмцастся в нуль из оси у, имеет все же олкозиачвую обратную систему «= т>й> у = тл однако функция т' и ислиффсрсвцирусма при и = О. С другой стороны, система функций п=х' — у', в=2ха> не может иметь однозначной обратной системы функций в окрестности начала координат, тзк кзк двум различным точкам (х, у) я ( — х, — у) плоскости ху соответс>вуег одна в та жс точка плоскости ив. Если же якобиан равен нулю тождественно, т.
е. не только в одной точке (х„у„), по и ао всех точках некоторой ее окрестности, з а. системы эвикций, пзвозвьзовьния н отовалжвния 173 то преобразовзние называется вырожденным. В этом случае говорят, что функции и=о(х,у) и о=ф(х,у) взаимно зависимы или просто зависимы. Рассмотрим сначала частный случай, являюшийся почти тривиальным, когда о„=О и о„=О во всех точках рассматриваемой окрестности, так что в ней функция у(х,у)=сопай Ясно, что когда точна (х, у) пробегает некоторую двумерную область, ее изображение, точка (и, и), всегда остается на прямой и= сопзй Стало быть, наша область отображается уже не на область, а на отрезок прямой, и о взаимно одновначном отображении двух двумерных областей друг на друга не может быть и речи.
Подобным же образом обстоит дело и в обшем случае, когда нз частных производных о и о по крайней мере одна не равна тождественно нулю, между тем как 0 = О тождественно. допустим, например, что в точке (хм у,) рассматриваемой области у„ ~ О. Согласно пь 6, нзше преобразование можно разложить на два примитивных преобразования 6=~р(х,у), и=у и и=1, о=%'($, ч), ибо мы там пользовались только допушением, что р„ ~ О. Так как якобиан б-= = р„Ф = О, то в окрестности точки (х„ у,), в которой о„ не обрашается в нуль, производная Ч должна быть тождественно равна нулю; стало быть, функция о=У вовсе не зависит от ч и является функцией лишь одной переменной $ =к о= 'яг(и). Итак, мы приходим к следуюшему выводу: Если янобиан преобразования тождественно равен нулю, то двумерная область плоскости ху отобразится не на двумерную область ллосиости ив, а на кривую линию втой плоскости, так как каждому значению гс (в некотором интервале) соответствует лишь одно значение о.
Следовательно, если янобиан системы функций и=ар(х, у), я=ф(х, у) тождественно равен нулю, то вти фуннции взаимно зависимы, т. е. существует соотношение вида которому удовлетворяют все лары значений (х,у) в упомянутой выше области. Лействительно, если Е(и, о)=0 есть уравнение той кривой плоскости ио, на которую отображается упомянутая выше облзсть плоскости ху, то Е (о (х, у), ф(х, у)) = О для всех точек этой области, т. е. цоследмее равенство есть тождество относительно х и у. Тот случай, с которого мы начзли рассмотрение этого вопроса (Р„=О и о„=О), очевидно, содержится з этом предложении как юстный случай.
Кривая, на которую отображается область плоскости ху, является в этом случае просто прямой и=сопят, параллельной оси Ф. 174 гл. ш. постоовнив дивввавнцнального исчисления р Приведем пример вырожденного преобразования Е= к+у, Ч=(»+у)о. Это преобразование переводит асс точки плоскости ху в точки параболы ч = Р плоскости Еч. Что обращение этого преобразования невозможно, вилио уже иэ того, что все точки прямой х +у = с отображаются на одну точку Е = с, Ч = о'. Легко проверить, что якабиои этого преобразования тождественно равен нулю.
Соотношение Р(Е, Ч) = С, которое, согласно общей теореме, должно связывать функции Е и Ч, есть здесь Р— ч= с. Заключительное замечание. Во всем этом параграфе мы виделн, что общее преобразование во многом напоминает аффинное преобразование и что якобиан играет здесь такую же роль, какую играет определитель аффинного преобразования, Следующие соображения помогут нам лучше уяснить себе это обстоятельство. Так как функции Е =ф(х, у) и я =ф(х, У) дифференцируемы в окрестности точки (х„у,), то их можно представить в следующем виде: Š— Ео=(х — хо)Ч'»(хо~ Уо)+(У Уо)'Ру(хо Уо)+ + о)» (х — хо)'+(У вЂ” Уо)' э) — ~Ел=(х — хо) ф»(хо Уо)+ (У вЂ” Уо) фу(хо Уо) + + Ь )' (х — хо)о + (у уо) где о и а стремятся к нулю одновременно с расстоянием р = =У(х — хо) +(У вЂ” Уо)'.
Отсюда видно, что при достаточно малых значеннЯх )х — хо! и /У вЂ” Уо! наше пРеобРазование можно Рассматривать в первом приближении как аффинное, т. е. в первом приближении его можно заменить аффинным преобразованием Е = Ео + (х хо) ф» (хь Уо) + (У Уо) фу (хь Уо) 'й =т~о+ (х хо)ф, (ха Уо)+ (У Уо) фу(хо Уо) определитель которого есть значение якобиана исходного общего преобразования в точке (хь Уо).
9. Несколько слов о преобразованиях в пространстве и измерений. Обобщение изложенной теории на три или большее число функций такого же числа независимых переменных не встречает особых затруднений. Главное различие состоит в том, что вместо определителя В второго порядка якобианом будет определитель третьего или более высокого порядка. )(ля преобразований в трехмерном пространстве Е=9(х,у, л), й=ф(х,у, л), Е=Х (х, у, г), х = д (Е, эь Е), у = Уо (Е, эь Е), д = У(Е, ъ Е) якобиан будет определителем третьего порядка ф» ф» Х» д (Е, ч, 1) 1, ф» ф» Х» а1 а т.
системы Фгнкцнй, пяеоваазования и отоваажения 175 1(ля преобразований в и-мерном пространстве (г = о, (хь хт, ..., хл), х~=йг6 3 " 1) (1=1, 2, ..., и) якобиан будет определителем л-го порядка дч, дт, дул дх, дх, ' " дх, дхл дхл ''' дх, д(х„х„..., х ) дел дхл дх„ ''' дхл Прн любом числе измерений якобиан результирующего преобразования равен произведению якобианов составляющих преобразований д(1~ Ц~" (л) д(чь Чи" ъ1л) д(1~ $л " $л) д (чи чп ..., чл) д (х„х„... „хл) д (х„х„...., хл) И здесь из последней дюрмулы вытекает, что якобиан обратного преобразования равен единице, деленной на якобиан исходного преобразования. Теоремы, касающиеся умножения и разложения преобразований, обращения преобразования, а также взаимной зависимости преобразований остаются в силе при любом числе измерений. Ла и доказательства совершенно аналогичны случаю и=2, и нет нужды их здесь повторять.
Упражнения 1. Если у(х) есть непрерывно диффереицнруемая функция, то преобразование и=у(х), о= — у+ху(х) имеет единственное обратное преобразование в любой области плоскости ху, в которой У (х) фо. Это обратное преобразование имеет следующий вид: х=л(и), у= — и+ил(и), 2. Преобразование называется конформкым (см. дальше 2 4, и'3), если оно сохраняет угол между любыми двумя кривыми. а) Доказать, что инверсия х х'+у" является канформиым преобразованием. б) Доказать, что инверсия переводит любую окружность в другую икр)жиость или в прямую. в) Вычислить якобиаи инверсии.
!76 гл. ш. паптвпвнив дмввнвенцияльмого исчислвния 1в 3. Доказать, что в криволинейном треугольнике, образованном тремя окружностями, проходящими через одну точку О, сумма углов равна в. 4. Дано преобразование плоскости и=у (х, у), о=ф(х, у). Доказать, что если функции у и ф уловлетворяют тождествам в =ф„ и 7„= — ф„, то это преобразование является конформным (см. упр. 2). ха у~ 5. Уравнение — + — = 1 (а) Ь) определяет два значения Г, завил †ь — г сящнх от х и у: г,=л(х,у), г,=р(х,у).
з) Доказать, что кривые Г, =сопэ1 н Г,= сопв1 являются все эллипсами и гиперболами с общимн фокусами (софокусные кривые второго порядка). б) Доказать, что кривые Г, =сопз1 ортогональны кривым Г,=сопл!. в) Пары чисел Г, н Г, можно использовать в качестве криволинейных координат (так называемых бис)охальных координат).
Выразить х и у через этн координаты, г) Выразить якобивн †' через х и у. д (го г,) д(х, у) д) Найти условие, при котором две кривые, передставленные в бифо- кальной системе координат параметрическими уравнениями Гг =уг (Л), гл =уз (Л) н Гг = д, (И), га = Ка (и), взаимно ортогональны. 6. а) Доказаттч что уравнение для неизвестной Г х' у' л' — + — + — =! (а)Ь)с) л — Г б — Г с — Г имеет три различных действительных корня Го Г„с„лежащих в промежутках: — со<с,< с, с<с, <Ь, Ь<Г, <а, при услозви, что точна (х, у, л) не лежит на какой-либо координатной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
