1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Напомним, что, согласно доказанной выше теореме, в этом случае определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке интервала (а, р).] [5. Фундаментальные системы решений л. д. у. беэ правой части. Структура его общего решения. Всякая система и линейно независимых частных решений л. д. у. п-го порядка 1. [и]=-О называется фундаментальной системой решени й.
Докажем, что любое л. д. у. и-го порядка без правой части — (1) пе4 — имеет фундаментальные системы решений. Для этого выберем какое-либо число Е из интервала а(х(~, в котором все а„(х) непрерывны (й=О, 1, 2, ..., л) и аь(х) ни разу не обращается в нуль, и возьмем систему решений иг(х), ия(х), .:., и„(х), определяемых начальными данными 476 гл. ш. сввдвния о дивввгкициалькия гаазнениях 1а где Ь)Я), Ьс'), ..., Ьсь» — ') — пРоизвольиые числа, подчиненные едииствеи- ному условию, чтобы определитель Ьсь Ь'!' ... Ь'-') ! ! Ь!»! Ь~я! Ь)»-!) я я Ь)Ы Ь") ... Ь)" ') » » ''' » матрицы этих чисел был отличен от нуля, Этот определитель В равен, очевидно, зиачеиию 'кг(5) определителя Вронского Ф'(х) построенной нами системы частных решений в точке х=$.
Согласно теореме существоваиия (п» 1), эта система решений существует и одиозиачио определена, а так как йг(Е) ,— 6 О, наша система решеиий ия(х), и,(х),... ..., и„(х) линейно независима. Тем, самым существоваиие фуидамеитальиых систем' решений доказаио. и,"=-О, ..., и)» — О=.О, ! и,"=О, ..., и! — !)=-О, и,"=1, ..., я!» — )) =О, и,'=О, я,'=1, и,' = О, и! = 1, и, О, и,=о, Такая фундаментальная система решений называется нормальной. )Тля иее, очевидно, И'($) =1. Знание какой-либо фуидаментальиой системы даииого л.
дс у. без правой части дает возможность построить яиожество всех его решеиий иа осиоваиии следующей теоремы: Всякое решение и(х) л. д. у. л-го я»рядка ь 1и) = О можно представить в виде линейной комбинация и(х) = с,и, (х)+ с,и,(х)+... + с„и„(х) (') всех и частных ресиений какой-либо фукдаменсиа ьной сссстемы данного л. д. у„с постоянными ковфсркфсентами сс, ся,..., с Выражение (*) принял!о называть общим 'ресиением уравнен!ос Е (и'1 = О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Тривиальное решение и(х)— : О, очевидно, содержится в формуле (»); содержится в ией и любое ии решений ис(х) выбранной фундаментальной системы: прис!=! и сь=О, когда й ~ й Пусть теперь и(х) есть любое иетришальиое решение, отличное от иь иь ..., ии Так как ц+ 1 функций а(х), ис(х), ия(х),..., и„(х) Особенно просто строятся фундаментальная система, определяемая следующими начальными усяовияив. В предписанной точке, скажем х = й должно быть: а1 ад линзйныв днэфвгвнцньльныз галвнвния лювого поэядкь 477 удовлетворяют данному л. д. у. Е[и)=О, то имеем «+1 тождеств относительно х: а и'"1+а1«Ш '>+...+а„и =О, ааи1Ю + а,и[ О +...
+ а„и, = О, а,и<Ю + а~и1» — П -'-... + а„и, = О, аяиэо + а,и<"-' > +... + а„и„= О, которые можно рассматривать как систему «+1 линейных однород- ных алгебраических уравнений для «+ 1 неизвестных коэффициентов аь причем заведомо известно, что эта.система уравнений имеет не- тривиальное решение аь аь..., а Поэтому определитель системы, равный, очевидно, определителю Вронского «+ 1 функций и(х), и1 (х), ия(х),..., а„(х), должен быть тождественно равен нулю в интервале (;Ь С другой стороны„.дифференцируя по х наше л. д. у. азино+ аги1 '> +... + а„1«'+ а„и= О, найдем, что каждая из «+1 функций и, иь иь..., и„является ре- шением л. д.
у. «+1-го порядка беа правой части ааи<"+'1+(а;+а~)и<">+(а,'+ая)«Ш Ы+...+(а,', ~+а„)и'+а,',«=0, имеющего тот же основной интервал (»,4а), в котором все коэффи- циенты непрерывны, и тот же коэффициент при высшей производной аа(х), не обращающийся в нуль нигде в (», р). Поэтому, на основании п' 4 (конец), тождественное обращение в нуль определителя Вронского системы «+1 функций и(х), «1(хЛ...,и„(х) является достаточным критерием их линейной зависимости и, следовательно, существует тождество Лаи(х)+ Л1и1(х)+ Л,и,(х)+... + Л„и (х) =О, в котором не все коэффициенты. Ль Ль Лэ..., Л рваны нулю. Яснсь что Ла ~ О, ибо в противном случае, функции аь иь..., и„оказались бы линейно зависимыми, вопреки предположению, что они составляют фундаментальную систему.
Стало быть, Л, Л, Лл и(х)= — — 'и~(х) — — „* ия(х) —...— — "и„(х)= 6 я я = с1«~ (х)+ сяи,(х)+... + с„и„(х), что и требовалось доказать.] В заключение заметим, что дае различные фундаментальные системы решений иь иэ ..., и„и Ц, Уь ..., У„выражаются одна через другую с помощью линейного преобразования л (7г =,~~~~ 7ыиь а-! 47$ гл. ш, сведения о дивяевенцилльных лвлвненнях 16 Мы рассмотрим его более подробно, так как оно имеет очень важные приложения.
Пусть и1(х) и и,(х) — фундаментальная система решений этого уравнения. Ее определитель Вронского 1е'= игия' — ияи,', а его производная Ю'= и1и,' — и,и,"..Так как Е[и1)шО и 7.[ил)=О, и,Ц Д) — Ци~)=а1те+ЬУУ=О. то ИнТегрируя, получим 1п [ Ят( и=:: — ~ — г(х+ 1и ( С [, с ь (х) 3 а (х) откуда ( а Се- л -,г(х, где С вЂ” постоянная интегрирования. Этой формулой часто пользуются й более полной теории дифференциальных уравнений второго порядка. Достойно упоминания другое свойство уравнения (А): л, д. у. второго порядка без правой части всегда можно преобразовать в (нелинейное) дифференциальное уравнение первого порядка типа Риккатн.
Уравнением Риихати называется уравнение вида е'-1-р(х)от+~у(х)п+г (х)=О. Наше уравнение (А) преобразуется в уравнение Рнккати введением Новой искомой функции г с помощью подстановки и'=их, так что и'=и'а+их'=их'+ил'. В результате уравнение (А) приводится к следующему виду: аг'+ ал'+ Ьг + с = О. Третье свойство уравнения (А). Если известно озно частное решение о(х) л. д.
у. второго порядка без правой части, то задачу его интегрирования можно привести к решению л. д. у. первого порядка и, стало быть, выполнить в квадратурах. Действительно, полагая и=го, где х(х) есть новая искомая функция, получим новое урав- нение аг" о+ 2аг'и'+ Ьх'о + х(. [о) = О; так как о является решением уравнения (А), то Е[о) =О и уравнение (А) приводится к виду аол" + (2а о' + Ьо) г' = О, с постоянными коэффициентами 1ы и с определителем преобразования, не равным нулю. 8. Частный случай л. д. у. второго порядка. Такое дифференциальное уравнение имеет следующий вид: Ци) т а(х) и' +Ь(х)и'+ с(х) и= О, (А) ! е дннвйный днваьвйнцидльный гглвнкннй люйого поаядка 479 Это л.
д. у. первого порядка относительно неизвестной функции тв=г'=л'(х). Вместе с тем это уравнение с отделяющимися переменными. Из него можно найти тп простым интегрированием, а затем нз г'=ти,получим г вторичным интегрированием и, наконец, найдем общее решение и= ло! оно содержит полагающиеся две произвольные постоянные, появившиеся в итоге двух квздратУр. Прим ер. Л. д. у. второго порядка 2, 2 У вЂ” у +-.у=о х хь равносильно уравнению Риккати 2 2 л'+ л' — — л+ — = О, х х' где я= —. Исходное уравнение имеет честное решенно у=х или,япрежу у нем обозначении, о = х.
Следовательно, оно приводится преобразованием у = ло = лх к виду Отсюда л=Сх-]-С, и общее решение первоначального уравнения будет у= Сх'+ С,х. Подчеркйем, что если известно одно частное решение о(х) линейного дифференциального уравнения и-го порядка т.(п] =О,' то преобразованием и = ол уравнение приведется к виду такого же л. д. у. (и†1)-го порядка для новой искомой функции я. Упражнения 1. Доказать, что если числа а„а„..., ал все различны, а Р, (х), Р, (х), ..., Рл (х) — произвольные многочлены, не равные тождественно нулю, ага ах а ах то функции я,(х)=Р,(х)а ', г,(х)=Р,(х)е ', ..., та(х)=Рь(х)е линейно независимы.
2. Показать, что уравнение Бернулли (т. 1, гл. Х1, 9 1, и' 4) у'+а(х)у=Ь(х)ул. (а=,Е1) можно преобразовать в линейное дифференциальное уравнение для новой искомой функции я=у' ". Воспользоваться зтим свойством для решения следующих уравнений: а) ху'+у=у'1пх; б) хт!'(ху'.+у) =а'; в) (1 — х') у' — ху = аху'. 3. Показать, что дифференциальное ураянение Риккатн у'+Р (х)у'-!лЯ (х)у+ Я(х) =О можно преобразовать в дифференциальное уравнение Бернулли, если изве- стно его частное решение у,=у, (х), а следовательно (см.
упр. 2), его тогда можно преобразовать и в линейное дифференциальное уравнение.' Т!ользуясь зтим, найти общее решение уракнения у' — х'у'+х' — ! = О, зная его частное решение у,=х. 4. Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений а) у'=у'+2х — х' и б) у'= — у' — у+2х+х'+х4. 480 гя.
ш. свидания о диоеевинциьльных твавнвниях бз. Выразить общее решение дяфференцнального уравнения у' = у'+ 2х — х' с понощью определенных интеграааа, используя частное решение, найденное з упр.,4, Построить на плоскоста ху зскиз интегральных кривых етого дифференциального уравненна. бз. Пусть у„ ун у„ у, — четыре частных решения уравнения Риккати (ср. упр. 3). Доказать, что зыражеаае Уз Уз, Уз Уз Уз Уз'Уз Уз имеет постоянное значение. 7. Показать, что если известны дза решения, у,(х) и у, (х), уравнения Риккатн, то его общее решение булат 1(тз-Уз1ВЛ у — у,=с(у-у,) е тле е †произвольн постоянная.
Пользуясь зтнн, найти общее решение дифференциального уравнения 1 у' — утйх=узсоах —— созх ' зная, что оно имеет частные решения вида а солях. 6. Доказатгь что уРавнения а) (1 — х)у'+ху' — у=-О и б) 2х(2х — Иу — (4х'+ 1)У'+у(2х+1) =О имеют совпадающее частное решеане; найти его, а затем определить об. решение каждого из зтих уравненай, 7. Л. д. у. л-го порядка бев правой части с постоиниыми ковффициеитами. 'Мы видели з т. 1, гл. Х1, й 3, что простейшие колебзтельные процессы, протекающие бев участия внешней силы, описываются л.
д. у. второго порядка вида у'+азу'+азу=О с постоянными ковффициентзмк .Более, сложные колебвтельные проблемы приводят к л. д. у. и-го порядка Ь(у]жУ<а)+ату("з)+атр(' т)+...+а ~У'+а„У=О с постоянными действнтельньшв коэффициентами., Это уравнение можно решить тем же методои что и в частном случае л=2 '(т. 1, гл. Х1, $4, и"2). Положим у=е)".
Подставив вту функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, получим Е (еьл) ш е"*(Лл + азЛл-з + атЛл-а+ + а зЛ + и„) = О Так как е нигде не обращается в нуль, -то чясло Л должно удовлетворять следующему алгебразческому уравненню стецента ш у (Л) ю Л'+ а з Л" '+... + а„,Л +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
