1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 103
Текст из файла (страница 103)
и. у, без правой части у = 0 является линейная функция с, + с,х. По первому методе п й ищем сначала частное решение у(х, П этого уравнения, удовзетво- Э ! 490 гл. ч!. свпдяния о диооввннцилльных неимениях по 1 х= —. [Другими словами, весом каната можно пренебречь по сравнению 2' с силойР[ Эта физическая задача формулируется матеамачески следующим образом. Требуется найти непрерывную функцию у(х! ао следующим данным: 1) она является решеняелл дифференциального урлвления у" =0 всюду 1 в интервале 0(х(1, за исключением точки х,= —, 2) она удовлетво- л 2' ряет краевым условиялл у (0) =О, у(1) =1 и 3) ее прокмоаная у'(х) совер- 1 шает в точке х,=-2- скачок величины Р)Т. Для нахождения этого решения целесообразяо п)с!ставить его в следующем виде: у (х) = ах+ Ь при 0 ~ х (— 1 у (х) = с (1 — х) + л( при -- ~ х:а1.
1 2 Условия у(0)=0 и у(1) =1 сразу дают Ь=О и а'=!. Условие непрерыв- 1 ности функции у(х) в точке х=-х- дает ! ч а= — „+1. 1 Наконец, требование, чтобы произволная у'(х) при пе)егоде точки х,=— слева направо соиершила скачок вверх на величину Р)2 приводит к уравнению Р Из этих двух уравнений находим остальные коэффацленты а=! — —, 2Т' Р с= — 1 — —, и следовательно, искомое решение определено. 2Т' П р и и е р 2. Нагруженная балка. Совершенно ~налогично обстоит дело у нзгруженной батки (рис.
105). Пусть и случае отсутствия изгиба средняя линия балки совпадает с отрезком [О, а[ ост х. Тогда прогиб балки у(х) под лаиянием силы, действующей по верикааи параллельно оси у, удовлетасрает л. д. у. четвертого порядка у =у (х), !г р(х) Рис. 105. причем Ч (х) = — ', где р (х) — ли- нейная плотность нагрузки, Š— модуль упругости материала балки (равный напряжению, деллвному на вызванное им удлинение), 1 — момент инерции поперечного сеченлябалки относительно горизонтальной прямой, проходящей через центр масль поперечного сече- (х л)л иия. Теперь (см.
п'8) у(х, 1)= и общее ргплние нашего л.д.у. 3! ш1 з 4. лннгйнып пиввклвнпилльныв лвлвнвния лювого полядкл 491 с правой частью можно записать в таком виде; у(х)=с,+с,х-(-саха-)-сах"-(- ~у(Е), лЕ, (х — Е) ' 3' 'о (А) где е„е„са, с,— произвольные постоянные интегрирования. Но реальная физическая задача состоит не в нахождении общего решения, а в отыскании частного решения, удовлетворяющего определенным краевым условиям. Если, например, концы балка заделаны, то краевые условия таковы: у(0) =О, у (а) =О, у'(О) =О, у'(а) =О. Тогда сразу видно, что г,=с, =О, а коэффициенты е, и с, определятся иэ условий Таким образом, возникает следующая математическая задача.
Требуется найти решение у(х) уравненич у' =О, обладающее следующими свойствами: 1) у (х) непрерывно на отрезке (О; Ц вместе со своими первой и второй производными, 2) оно удовлетворяет краевым условиям у (0) = у (1) = ' ~~~\' =у'(0) =у' (1) = Оп 3) третья производнаяу"'(х) совершает при переходе через точку х = х, скачок величины Р)П, а в остальных точках отрезка Ж [О; 1 она непрерывна. ели весомая балка оперта в тон Рис. 106. ке х = х,(рис. 106), т.
е. в этой точке прогибу предписано знзченпе у (х,) =О, то наличие опоры можно заменить действием сосредоточенной в х, силы (реакции опоры). Согласно закону механики: действие равно противодействию, реакция опоры равна и противоположна силе, с которой балка давит на опору. Величина этой силы сразу найдется из формулы Р = ЕУ ( у"' (ха + 0) — у'" (ха — 0) ], а с„а'+ сааа + ~ э (Е)-,, — аЕ= О, (а — Е)' о а 2гаа+йс,аа+ ~ у(Е), «Е=О. , (а — Е)а 21 о Для бзлки случай наличия сосредоточенных сил тоже вызывает особый интерес. И здесь сосредоточенную силу, приложенную в точке х=к„пред- ставляют себе возникшей из нагрузки Р(х), распределенной непрерывно по интервалу от х,— а до х,+а) как и в задаче с канатом, а устремляют к нулю, в Р(х) заставляют йри атом возрастать таким образом, что суммарная ла+Ь нагрузка ~ р(Е) гтЕ=Р остается постоянной.
Это число Р называют тогда лов величиной сосредоточенной силы, приложенной в точке х=х,. Как и в при- мере 1, интегрируем обе части нашего дифференциального уравнения от х, — а до х, + а, а затем совершаем предельный переход а О. В итоге получаем, что наличие в точке х, сосредоточенной сязы Р эквивалентно математическому условию, что третья производная у'"(х) искомого решения должна совершить в точке х = ха скачок, величина которого у"'(.т, + 0) — у"'(х,— 0) = —, Р йу 492 гл.
У1, ОВРлениЯ о диФФеРениияльных УРдвнРчиЯх 1!0 у'ч =!. Общее рещение этого л. д. у., по формуле (Л), есть многочлен четвертой 1 степени, у которого коэффициент при х' равен —, В виде такого много- 4! ' члена его следует записать дзя каждой полонины рассматриваемого интервала. В левой половине мы представим общее решение в виде 1 у = Ьа + Ь,х + Ь,.к' + Ь,хз + — — х', а в правой половине — в виде 1 у = с„+ с, (х — 1) + с, (х — 1)' + с, (.к — 1)' + —, (х — 1)'.
Так как балка на концах х = 0 и х = 1 заделана, то у(О)=у(!) =У (0) =У(1) =О, откуда вытекает, что Ь,=Ь, = с,=с, =О. Далее, у(.к),у'(х) и у" (х) должны быть непрерывны в точке х= —, т. е. значения у;-1, у' ! — ! и у" '11 вычисленные из обоих многочленон, должны совладать, а значение у,— ) (2 ) должно равняться нулю. Это дает 1 ! 1 1 ! 1 — Ьа + -- Ьт + — — = — са — — с„+ .— = О, 4 " и ' 384 4 " 8 384 3 1 3 1 Ь, + — Ьт+ — = — са+ — с, — —, 4 .. 48 — . 4 з 48 1 1 2Ь + 3Ь, + — = 2с, — 3с, + —.
а 8 8' Из этих урзвнений находин остззьные коэффициенты: ! Ь, = с, = —., 9о ' 1 Ь, = — с„= — —. 24 1 Сила же реакции опоры в точке х = — равна „,Г! ~ „,,'1 ', Г !) г' !1 У'" ( о + 0) — У"' ( — — 0' = (бса — .Ц вЂ” (ОЬа+ 2 ! 1 2 причему(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению у = — всюду !! р (х) еу на (О; 1), за исключением точки х=х„н краевым условиям у(0) =у(1) = =У (О) =У (1) = 0 и У(кй) =О.
Кроме того, у, у' и у" остаются непрерывными также и в точке х=х,. Для иллюстрации рассмотрим балку, простирающуюся от точки х=О до точки х=1, причем эти ее копща заделаны; балка несет равномерную 1 нагрузку линейной плотности р (х) = 1 н оперта в точке .к = — (рис. 106). Дза упрощения примем Е! = 1; тогда проп.'б балки удовлетворяет дифференциальному урзвненню В зз.потвнцилл гяавитлционного и элвктяостлтичвского поля 493 5 6.
Потенциал гравитационного н электростатического поля. Уравнение Лапласа Ло сих пор мы азнимались только обыкновенными дифференциальными уравнениями. Теперь мы познакомимся с несколькими тнпичнымн примерами дифференциальных уравнений с частными производными (см. т.
1, начало главы Х1). Напомним, что дифференциальное уравнение с частными произзоднымн служит для нахождения функции от нескольких переменных; оио спязывает независимые переменные, зависящую от них искомую функцию н частные производные от этой функции. Мы начнеи с теории потенциала и днфференцизльного уравнения Лапласа, которому он удовлетворяет.
1. Потенциал непрерывного распределения массы нли заряда. В гл. 1Ч, $7, и' 4 мы уже рассматривали силовые поля, порождаемые массами по закону тяготения Ньютона, и представили в них силу поля как градиент потенциала. В качестве обобщения рассмотренных ранее случаев мы теперь будем считать массу или заряд р положительной или отрицательной величиной. Правда, отрицательные массы не предусматриваются в обычной теории тяготения Ньютона, но в теории электричества роль массы играет заряд или количество электричества, которое может быть как положительным, так и отрицательным, а закон взаимодействия зарядов Кулона имеет тот же вид, что и закон Ньютона.
Если заряд р сосредоточен в одной точке М(6, «Ь ч), то выражение У (к — $)' + ( у — ч)'+ (з — 1)' называется потенциалом этого точечного заряда в точке Р(х, у, г). Можно было бы также сказать, что — есть одно из выражений потени г пиала этого заряда, Дело в том, что функцию — +С, при любом зная ченнн постоянной С, можно с равным правом называть потенцналом заряда ж так как она имеет тот же градиент н дает то же самое силовое поле. Если имеется дискретное число и таких зарядов )лм сосредоточенных в точках Мл($л, э)л, "«), которые часто называют псточникалпг или лолюсалпй то потенциал этой системы зарядов равен (см. гл.!Ч, Ф 7, п'4) (7=- У вЂ” ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
