1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 107
Текст из файла (страница 107)
В теоретической физике процесс, распространяющийся описзнным здесь способом, называется плоской волной. Особенно важен тот случай, когда возбуждение изменяется со временем периодически. Если частота колебания есть аь то такое явление может быть представлено функцией и Ааы Ма+йг+гла' ', где л обозначает, как обычно, число, обратное длине волны г, 1г= 1 а Т а' Для волнового уравнения в трехмериом пространстве можно иайти и другие решения, представляющие сферическую волну, распространяющуюся из заданной точки, например из нзчала координат. Сферическзя волна определяется тем свойством, что в любой фиксировзнный момент времени геометрическим местом постоянного значения возбуждения является сфера с центром в источнике возбуждения, скаакем, в начале координат, т. е.
во всех точках каждой такой сферы возбуждение имеет одинаковое значение, Для того чтобы нзйти решения, облздаюшие этим свойством, надо преобразовать лаплзсиан 7зп к сферическим координатам (г, 0, ~0) (см. гл. 7, й 5, п' 3), а затем сделать допущение, что искомая функция и зависит только от г и 1 и уже ие зависит от 0 и а. Полагая в волновом уравнении, преобразованном к сферическим координатам, производные от и по 0 и по у равными нулю, приведем его к следующему виду: 2 1 1 и„+ — и, = —, пп или (ги)гг = —, (ги)ьэ Отсюда ясно, что фущсция гв=ги является решением одномерного 1 волнового уравнеиия тв„= —, гвп, рассмотренного выше. Следовательно, гг аа то=у(г — а1) + д(г+ а1), откуда у (г — аГ1+ л(г+ ат) и Г о10 гл. те сведения о диээеоеиаиальных гяавненнях 1с Читатель сам легко проверит, что фуохция такого типа действительно удовлетворяет уравненюо о асс = —, яэ ас 1 физически функция и = — г (г — й) представляет волну, распрог страняющуюся из начала координат о окружающее пространство со скоростью а.
4. Уравнения Максвелла в ваа)уме. В качестве заключительного примера рассмотрим систему урааноний с частнымн производными, известных под названием уравненай Максвелла и лежащих в основе электродинаиикн. Мы не станем пнтгться подойти к этилс уравнениям с физической точки зрения и только воспользуемся имн для иллсострации различных математических понятий, развитых выше. Электромагнитное состояние в оокууме определяется двумя векторами: электрическим вектором Е=)Еь Е„Ео) и магнитным вектором Н=)Нь Но, Но). Эти вектора (точнее, вектор-функции точки) удовле~воряют уравнениям Максвелж: го! Е+ — й —— О, 1 дН го1Н вЂ” — — = О, 1 дЕ с дс (сИ) где с есть скорость света в вакуум.
В координатной записи уравнения Максвелла имеют следующей оид: дЕ, да !с дйс — !+- дх' с дГс — 1+- ду с дЛ, дЕ д!с с -д, — О, дЕс ду дЕ, 'да дЕ, дх дЛ, дН, дЛ, 1дЕ, — ' — — ' — — — '=О, ду да с дг дЛ, дЛ, !дЕ, — ' — — ' — — — '=О, да дх с дс дЛс дН, 1 дЕо дх ду с дс Таким образом, для координат векторов Е и Л, рассматриваемых как функции точки и времени, это-система шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Выведем теперь несколько важен!следствий уравнений Максвелла, 1) Вычислим дивергеицию от обоих уравнений (М). Так как д)чго)Р=О (см. конец гл.
П), а оорядок дифференцирования по времени и вычисления дивергенция !которое состоит в дифферен- а а. пигащгы гилани!нй с частнымн пяоизводньгмн 5! ! цировании по координатам х, у, з) можно переставить, то получим д!ч Е= сопя!, д1ч Н =- сопя!, т. е. г)!чЕ и д!чН не зависят от времени. Если допустить, что эти постоянные интегрирования равны нулю в начзльный момент, то они всегда останутся равными нулю. 2) Рассмотрим какую-либо замкнутую поверхность 8, лежащую в электромагнитном поле, и возьмем обьемные интегралы по области О, ограниченной этой поверхностью: ~~ !)д!чЕг!ч' и ~~~с!!нНИК Применяя теорему Гаусса (стр. 411) к этим тройным интегралам, мы нх преобразуем в интегралы по поверхности 8 от проекций й'„ и Н, на нормаль к этой поверхности.
Так как д!чЕ=О и д!чН=О, то отсюда вытекает, что ЦЕ„а'а=О и ЯН„а!с=О. 3 5 Эти поверхностные интегралы называются потоком электрической и магнитной напряженности через поверхность $. Полученный результат можно поэтому формулировать так: при сделанных выше допущениях поток электрической напряженности и поток магнитной напряженности через любую вамкнугую поверхность равны нулю. 3) Мы получим еще одно следствие из уравнений Максвелла, рзссматривая кусок поверхности Х, ограниченный кривой Г, лежащей на этой поверхности. Спроектируем обе части векторных уравнений (М) на нормаль и к поверхности Х. Вспомнив, что проекция любого вектора А на направление м обозначается через А„, получим 1 дЕл 1 дГ„ (го! Е)„= — — — (го! Н)„= — — ° с дг с дг Эти уравнения мы проинтегрируем по куску поверхности Х с элементом площади Ис и левые чзсти преобразуем по теореме Стокса (гл.
Ч, $ 6, п' 1) в криволинейный интеграл по граничной кривой Г, а в правой части вынесем дифференцирование по ! за знак поверхностного интеграла. В результате получим где а левой части символы Е, и Н, обозначают проекции векторов Е н Н на направление касательной к кривой Г в сторону ее обхода, б12 гл. ш. сзвдзння о дивввзвнцилльных грлвнзннях 14 а направление нормального вектора п на Х образует с направлением обхода границы Г правый винт.
Содержание последних двух интегральных формул можно выразить словесно так: криволинейный интеграл напряженности электрического (магнитного) поля вдоль замкнутой кривой пропорционален скорости изменения магнитного (электрического) потока через поверхность, натянутую на эту кривую, причем коэффициент пропорциональности равен — — ( — ) . 4) В заключение установим связь между уравнениями Мзксвелла и волновым уравнением. Из уравнений (М) можно исключить вектор. функцию Н.
Лля этой цели дифференцируем второе уравнение по г, дН а затем подставляем — ив первого уравнения. Получится дг 1 д»Е г с» дг» ' Так как го(го!и=исай д(чи — Чзи (см. конец гл. !!), а в нашем случае 6(чЕ= О, то окончательно имеем ЧзЕ= —, —,. Аналогично можно из уравнений (М) исключить Е, причем для Н получится уравнение Ч Н= — —, 1 д'Н с" дтз ' Таким образом, обе вектор-функции Е и Н удовлетворяют волновому уравнению з 1 Ч и= —,и„; з это значит, что любая координата каждого из векторов Е н Н удов- летворяет волновому уравнению.
Упражнения 1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения с частными производными: а) изу — — О; б! и,,=О. 2». Решить уравнение и„„+би„+би =е"»У путем приведения его я знз1 исч — а(',, Ч). 3. Нывести дифференциальное уравнение с частными производными для лв;, параметрического семейства шаровых поверхностей з» = 1 — (л — з)' — (у — Ь)'. 4». Обозначим через и (х, г) дважды непрерывно двфферевцир)смое решение волнового уравнения 1 изл= »ии (з)О).
в з. прнмвры ррлвннний с члстными пронзводнымн 513 Пусть р(х) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функции, удовлетворяющая условияч , (О) = ,Р (О) = 7. (О) = О. найти для х)0 н с~О то решение и(х, г), которое определяется краевым условием и(0, Г)=р(Г) при ЬгвО и начальными условиями и(х, 0)=и!(х, 0)=0 при х~О. Б. Найти решение уравненпя удовлетворяющее условиям и(х, 0)= и(О,у) =1, в виде степенного ряда.
6. з) Для дифференциального уравнения и'+и' =! г у найти частные решения вида и =у(х)+а(у), б) Найти частные решения уравнения и„и =! вида и=у (х) +Л(у) и вида и =У(х) й(у). 7*. Доказать, что если г= и (х, у; а, Ь) является решением дифферен- циального уравнения с частными пропзводныл~н Р(х, у, г, г„, г ) = О, зависящим от двух парлметров а и Ь, то огибающая любого однопарамет- рнческого семейства решений, выделенно1о нз г= и (х, у; а, Ь), тоже является решением.
8. Воспользоваться результатом упр. 7 для нлхождения новых решений 1 уравнения нз Об, полагая Ь=да в его решении и=ах+ — у+Ь (где А— постоянная). 9. Найти решения урзвнення д'г , дгг дг д" удовлетворяющие также уравнению ( — ) =аг( — ). 10. Доказать, что если К есть однородная функция от х, у и г, то уравнение имеет решение, яаляюц1ееся степенью выражения (х" +у" +г'). 17 Р. Курант ГЛАВА 7И ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАПИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В 1.
Введение 1. Постановка задачи. Вспомним теорию обычных максимумов и минимумов дифференцируемой функции г'(хь хь ..., х„) от л независимых переменных. Необходимое условие (гл. Н1, э 6, п' 2) для существования экстремума такой функции в некоторой области изменения иеаависимых переменных записывается так; ф=О илв ассад~=О или Г'„,=О (1=1, 2, ..., л). Эти уравнения выражают стационарный характер функции у в соответствующей точке. Вопрос о том, являются ли эти стационарные точки действительно точками максимума или минимума, может быть решен только после дальнейшего исследования. В противоположность необходимым условиям, которые являются уравнениями, достаточные условия экстремума выражаются неравенгтвамш Вариационное исчисление тоже занимается нахождением экстремумов (и вообще стационарных значений).
Однако здесь мы встречаемся с совершенно новой ситуацией. Дело в том, что функции, об акстремумах которых теперь пойдет речь, будут зависеть уже не от одной независимой переменной или от конечного числа независимых переменных; эти своеобразные функции, называемые функционалами, зависят от выбора одной или нескольких функций. Это значит, что для определения функционала требуется знание поведения одной нли нескольких функций или кривых (или, порою, поверхностей); те функции, от выбора которых зависит функционал„ можно назвать аргументными функциями или функциональными аргументами. Всеобщее внимание к задачам этого типа привлек в 1696 г.
Иоанн Бернулли постановкой задачи о брахистохроне. В вертикальной плоскости ху (ось у направлена вертикально вниз) даны две точки А(хч, у,) и В(хь у1), причем х, )хь, уч)уь Требуется соединить эти точки такой гладкой кривой у=о(х), что материальной точке, скользящей без трения по этой кривой, под действием одной только силы тяжести понадобится на путь от А до В наименьшее возможное время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
