1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Математическая формулировка задачи основывается на физическом аь положении, что при движении по кривой у = ь (х) скорость В 1. ВВВДВИИВ (а — длина дуги кривой) равна 1/23(у — уа), т. е. пропорциональна корню квадратному из высоты падения. Поэтому время, затраченное иа путь от А до В, будет «1 «1 Т= — — с(х = — ~ух ас 'а 1 ( 1/1+У'" аадх рад рУ вЂ” Уо (ср. т. 1, стр. 343). Если опустить несущественный множитель $' 2я и положить уа — — 0 (что ие влечет за собой утраты общности), то получится следующая постановка задачи. Среди всех непрерывно диффереицируемых функций у=э(х), у ~ О, для которых у (ха) = О, <р (хг) =уь найти такую, которая сообщает интегралу «~ 1Я= ~ ~/ +У г(х «« иаимеиьшее возможное зиачепие.
Ниже (й 2, в коице и' 3) мы решим эту задачу и получим ответ, что кривая у=у(х) должна быть цпнлоидой. Этот результат весьма поразил совремеиииков Бериулли. Здесь мы желаем только подчеркнуть, что задача Бернулли и элемеитариые задачи иа максимумы и минимумы являются совершенно различными проблемами. Выражение у(~) зависит от всего поведения функции э; его зиачеиий иельзя определить, устаиавливая аиачеиия конечного числа иезависимых перемеииых, т. е.
это выражение нельзя рассматривать как фуикциго в обычном смысле. Это функционал ь зависящий от функции 1~(х), и характер этого выражения как функционала мы и отмечаем фигурными скобками. А вот еще одна задача того же типа. Две точки А(хь уа) и В(хь у~) (где х1 .«ха, уа)0, у1 >0) требуется соединить кривой у=о(х), лежащей выше оси х и обладающей тем свойством, что поверхность, образуемая вращением этой кривой вокруг оси х, имеет наггменьшую возможную ллои1адь.
Впоследствии мы узнаем, что решеиием является цепная линия. Пользуясь выражением, полученным в т. 1, стр. 329, для площади поверхности вращения, и опуская иесуществеииый множитель 2я, приходим к следующей математической постановке задачи. Среди всех непрерывно диффереицируемых функций у = у (х), для которых ч (ха)=ум о(х1)=уь о(х))0, найти такую, которая сообщает иитегралу «~ наименьшее возможиое эиачеиие. 1Р 516 гл. чп, элвмвнты вляиьционного исчисления 1! К тому же типу принздлежит и элементарная геокетрическая задача о нахождении кратчайшей линии, соединяющей дяе точки А и В на плоскости.
Действительно, аналитическое содержяние задачи состоит в том, что требуется найти такие две функция х(Е) и у(1) параляетра 1 в интервале 1« =1 =.1>, для которых задзны значения х(1«)=хя х(1!)=х! и У(1«)=уя у(1!)=у! и которые обладают тем свойствоч, что интеграл дх ду) ~ )/х«+у«с!1 ся принимает для них наименьшее возыо»кное значение. Решеиасм является, конечно, прямая линия. В отличие от этой задачи, о нахождении кратчаавей линии, соединяющей две точки на плоскости, соответствующзя задача о нахождеши геодезических, т.
е. кратчайкснх .«линд кя заданной поверхности 6(х, у, з)=0, не является тривиальной, Задача об определении геодезических линий состоит в следующею: требуется соединить две точки (хья Уяя зь) и (хь Уя, г!) заданной повеРхссти кратчайшей возможной кривой, лежащей на этой поверхнзсти. На аналитическом языке задача ставится так. Среди всех троек функций х(1), у(1), г(1) параметрз 1, удовлетворяющих уравнению а(х, у, з)=0 тождественно относительно 1, прячем х(1«)=хь У(1«)=уя г(10)=гяя х(1!)=.«! У(г!)=У! г(г!)=ля, найти такую тройку функций, когорая сообщаег интегралу ~ )Я'хз+ УЯ+ «г,11 с> наименьшее возможное значение. К тому же типу задач принадлежит такмсе цзолсрякелсрмясеская задача о нахождении замкнутой кривой заданной длины, заключающей нем!большую возлсожную площадь; эта задача была уже рассмотрена в гл. 111, Йополнения, э 5, и мы там доказали, что искохой кривой является окружность.
(Буквальный смысл слов изоперяяетрическая яадача — задача с заданным (постоянным) периметром.) Доказательство, данное в гл. к', Лополнения, 5 5, при»якима только к выпуклым кривым; однако следующее Рассуждение позволяет распространить результат непосредственно на любую кркв1ю. Рассмотрим выпуклую кривую К «охватывающую> кривую С (ср. гя.
П, Дополнения, стр. 121, упр. 21, г. е. выпуклую кривую наименьшей площади, зжлючающую в себе внутревнюяо область кривой С. Эта кривая К состосп яз выпуклых дуг кривой С и из отрезков касательных к С, которые касаются втой кривой С в двух точках и, так сказать, срезают вогнутые части кривой С. Очивядно, что площадь «охватываяощей» кривой К превосхояиг площадь б17 в т, введении кривой С, если последняя не выпукла, а периметр кривой К, напротив, меньше периметра С. Заставим теперь К равномерно расширяться, так что она все зрел|я сохраняет свою форму, пока из нее не получится кривая К', имеющая заданный периметр. То~да К' будет кривой, имеющей тот же первметр, что и С,но заключающей бпльшую площадь. Отсюда вытекает, что в изопериметрической задаче о нахождении замкн1той кривой, содержащей наибольшую площадь, можно с самого начала ограничиться рассмотрением только выпуклых кривых.
Простейшая общая постановка того типа задач, о котором здесь шла речь, такова; Дана функция Р (х, р, у') от трех аргументов х, р и ф', которая непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в рассматриваемой области своих аргументов. Если в этой функции Г заменить р функцией у=р(х), а р' — ее производной у'= 7'(х), то г' станет функцией от х, а интеграл 3(Т) = $ Р(х, у, у') с(х ло будет определенным числом, зависящим от всего поведения функции у =р(х), т, е. )(р) является «функцией от функции у(х)» или функционалом. Так вот основная задача вариационного исчисления формулируется так: Среди всех фуннций р(х), определенных и непрерывных в интервале хе(х(хт, имеющих в этом интервале непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющих краевым условиям о(х,) =уа и ~р(х,)=уь найти такую, для которой интеграл 1(~) имеет наименьшее возможное значение (или наибольшее возможное значение).
При рассмотрении этой задачи весьма существенным пунктом являешься класс допусглимьтх функц1тй р(х). Сама задача требует лишь, чтобы после подстановки 7(х) подынтегральная функция Р была кусочно непрерывной функцией от х, а это обеспечено, если производная ~р'(х) кусочно непрерывна. Мы же сделали «условия допустимости» более строгими, потребовав, чтобы первые и даже вторые производные были непрерывны. Тем самым поле, в котором надлежит искать максимум или минимум, конечно, суживается. Мы увидим, однако, что это ограничение в действительности не повлияет на искомое решение, т. е.
функция, решающая задачу в более широком поле, всегда найдется в суткенном, ограниченном поле функций, имеющих непрерывные первую и вторую производные. Задачи описанного типа встречаются очень часто в геометрии и физике. Мы отметим здесь лишь один пример. Основной принцип геометрической оптики можно формулировать как вариационную задачу этого типа. Рассмотрим луч света в плоскости ху и предположим, что скорость света является заданной функцией о=п(х,у,у), зависящей от точки (х, у) и от направления у', где у=р(х) есть уравнение светового пути, ау'= ~'(х) — соответствующая производная. б18 гл.
чп. элвмвнты вапидционного исчисления 12 [Это значит, что свет распространяется в неоднородной з не изотропной среде.» Тогда лринцил Ферлга о наименьшем времени распространения света формулируется так: Действительный путь, по которому свет проходит от данной точки А до данной точки В, всегда таков, что время, затраченное яа него, меньше того времени, которое потребовалось бы свету на преодоление любого другого пути от А до В. Обозначим через 1 время, а через з переменную длину дуги любой кривой у=о(х), соединяющей точки А и В. Тогда время, которое требуется свету для прохождения дуги этой кривой от А до В, выражается интегралом Х1 т )[о»= ~ — = ~ ) +у, Их.
ле Хр Для того чтобы по принципу Ферма определить действительный путь света, надлежит решить задачу о нахождении функции у=у(х), для которой этот интеграл имеет наименьшее возяожное значение. Ясно, что в этом виде оптическая задача действительно равносильна той общей задаче, которая была поставлена зышц причем фигурируюгцая там функция Р выражается через скорость света о так: У ~+у' Р =, . Впрочем, в большинстве задач оптики скорость о(к, у, у')' света о не зависит от направления и является только функцией точки: о=о(х, у) [Среда — изотропная, но не однородная.» 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
